2019年高中數(shù)學(xué) 課后提升訓(xùn)練三 1.2.1 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 新人教A版選修2-2一、選擇題(每小題5分,共40分)1.已知直線y=kx是y=lnx的切線,則k的值為()A.B.-C.D.-【解析】選C.y=k,所以x=,切點(diǎn)坐標(biāo)為,又切點(diǎn)在曲線y=lnx上,所以ln=1,所以=e,k=.2.下列命題中正確的是()若f(x)=cosx,則f(x)=sinx若f(x)=0,則f(x)=1若f(x)=sinx,則f(x)=cosx若f(x)=,則f(x)=A.B.C.D.【解析】選C.當(dāng)f(x)=sinx+1時(shí),f(x)=cosx;當(dāng)f(x)=2時(shí),f(x)=0;若f(x)=,則f(x)=-.3.(xx南寧高二檢測(cè))質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是s=,則質(zhì)點(diǎn)在t=4時(shí)的速度為()A.B.C.D.【解析】選B.s=.當(dāng)t=4時(shí),s=.4.若曲線y=在點(diǎn)(a,)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18,則a等于()A.64B.32C.16D.8【解題指南】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率,利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線的方程,再求出切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn),然后根據(jù)三角形的面積公式列方程求a的值.【解析】選A.因?yàn)閥=-,所以當(dāng)x=a時(shí),y=-,所以在點(diǎn)(a,)處的切線方程為y-=-(x-a),令x=0,得y=,令y=0,得x=3a.所以3a=18,解得a=64.【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)y=ex在點(diǎn)(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為()A.e2B.2e2C.e2D.【解析】選D.因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí),y=e2,所以切線方程為y-e2=e2(x-2).當(dāng)x=0時(shí),y=-e2,當(dāng)y=0時(shí),x=1.故切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為|-e2|1=.5.(xx天津高二檢測(cè))已知f(x)=xa,若f(-1)=-4,則a的值為()A.4B.-4C.5D.-5【解析】選A.求導(dǎo)得f(x)=axa-1,因?yàn)閒(-1)=-4,所以a(-1)a-1=-4,所以a=4.6.函數(shù)y=2x-x2的圖象大致是()【解析】選A.分別畫(huà)出函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x2的圖象,如圖所示,由圖可知,f(x)與g(x)有3個(gè)交點(diǎn),所以y=2x-x2=0,有3個(gè)解,即函數(shù)y=2x-x2的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),故排除B,C,當(dāng)x=-3時(shí),y=2-3-(-3)2<0,故排除D.7.設(shè)曲線y=xn+1(nN*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,則x1x2xn的值為()A.B.C.D.1【解析】選B.對(duì)y=xn+1(nN*)求導(dǎo),得y=(n+1)xn.令x=1,得在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率k=n+1.在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1),令y=0,則xn=,故x1x2xn=.8.(xx山東高考)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3【解題指南】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,求導(dǎo)后,表示出兩“切線”的斜率,判斷它們的乘積是否為-1.【解析】選A.(1)對(duì)于函數(shù)y=sinx,y=cosx,設(shè)圖象上存在這樣兩點(diǎn)(x1,sinx1),(x2,sinx2),那么兩切線的斜率k1=cosx1,k2=cosx2,令k1k2=cosx1cosx2=-1,則x1=2k,x2=2k+(x2=2k,x1=2k+),kZ,即存在這樣的兩點(diǎn),所以具有T性質(zhì).(2)對(duì)于函數(shù)y=lnx,y=,k1k2=,而x1>0,x2>0,所以k1k2-1,所以函數(shù)y=lnx不具有T性質(zhì).(3)對(duì)于函數(shù)y=ex,y=ex,k1=,k2=,顯然均大于0.所以函數(shù)y=ex不具有T性質(zhì).(4)對(duì)于函數(shù)y=x3,y=3x2,k1=3,k2=3,顯然k1k2-1,所以函數(shù)y=x3不具有T性質(zhì).二、填空題(每小題5分,共10分)9.函數(shù)y=x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak,)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,其中kN*,若a1=16,則a1+a3+a5的值是_.【解題指南】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,再求其與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo).【解析】因?yàn)閥=2x,所以過(guò)點(diǎn)(ak,)的切線方程為y-=2ak(x-ak),又該切線與x軸的交點(diǎn)為(ak+1,0),所以ak+1=ak,即數(shù)列ak是等比數(shù)列,首項(xiàng)a1=16,其公比q=,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.答案:21【補(bǔ)償訓(xùn)練】(xx廣州高二檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=lnx在x=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線與直線ax-y+3=0垂直,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi).【解析】因?yàn)閥=lnx的導(dǎo)數(shù)為y=,即有曲線y=lnx在x=e處的切線斜率為k=,由于切線與直線ax-y+3=0垂直,則a=-1,解得a=-e.答案:-e10.過(guò)曲線y=cosx上點(diǎn)P且與過(guò)這點(diǎn)的切線垂直的直線方程為_(kāi).【解析】因?yàn)閥=cosx,所以y=-sinx,曲線在點(diǎn)P處的切線斜率是-sin=-,所以過(guò)點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為,所以所求的直線方程為y-=,即2x-y-+=0.答案:2x-y-+=0三、解答題11.(10分)(xx濟(jì)寧高二檢測(cè))已知曲線y=5,求:(1)這條曲線與直線y=2x-4平行的切線方程.(2)過(guò)點(diǎn)P(0,5)且與曲線相切的切線方程.【解析】(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),由y=5,得y=,所以切線斜率為,因?yàn)榍芯€與直線y=2x-4平行,所以=2.所以x0=,所以y0=.則所求切線方程為y-=2,即16x-8y+25=0.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(0,5)不在曲線y=5上,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M(t,u),則切線斜率為,又切線斜率為,所以=.所以2t-2=t,又t0,解得t=4.所以切點(diǎn)為M(4,10),斜率為.所以切線方程為y-10=(x-4),即5x-4y+20=0.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)拋物線y=x2與直線y=x+a (a是常數(shù))有兩個(gè)不同的交點(diǎn),記拋物線在兩交點(diǎn)處切線分別為l1,l2,求a值變化時(shí)l1與l2交點(diǎn)的軌跡.【解析】將y=x+a代入y=x2整理得x2-x-a=0,因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以=(-1)2+4a>0,得a>-.設(shè)兩交點(diǎn)為(,2),(,2),<,由y=x2知y=2x,則切線l1, l2的方程分別為y=2x-2,y=2x-2.設(shè)兩切線交點(diǎn)為(x,y),則因?yàn)?是的解,由根與系數(shù)的關(guān)系,可知+=1,=-a.代入可得x=,y=-a<.從而,所求的軌跡方程為直線x=上的y<的部分.【能力挑戰(zhàn)題】已知曲線y=f(x)=.(1)求曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程.(2)求曲線過(guò)點(diǎn)Q(1,0)的切線方程.(3)求滿足斜率為-的曲線的切線方程.【解析】因?yàn)閥=,所以y=f(x)=-.(1)顯然P(1,1)是曲線上的點(diǎn).所以P為切點(diǎn),所求切線斜率為函數(shù)y=在P(1,1)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).即k=f(1)=-1.所以曲線在P(1,1)處的切線方程為y-1=-(x-1),即為y=-x+2.(2)顯然Q(1,0)不在曲線y=上.則可設(shè)過(guò)該點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為A,那么該切線斜率為k=f(a)=.則切線方程為y-=-(x-a).將Q(1,0)代入方程得:0-=(1-a).解得a=,代回方程整理可得:切線方程為y=-4x+4.(3)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為B(b,),則切線斜率為k=-=-,解得b=,那么B(,),B(-,-).代入點(diǎn)斜式方程得y-=-(x-)或y+=-(x+).整理得切線方程為y=-x+或y=-x-.