2019年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.3空間向量基本定理3.1.4空間向量的坐標(biāo)表示學(xué)案蘇教版選修2-1學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量基本定理及其意義.2.掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量線性運算的坐標(biāo)運算知識點一空間向量基本定理(1)定理如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使pxe1ye2ze3.(2)基底與基向量如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個向量都可由向量e1，e2，e3線性表示我們把e1，e2，e3稱為空間的一個基底，e1，e2，e3叫做基向量空間任何三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底(3)正交基底與單位正交基底如果空間一個基底的三個基向量是兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底，當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用i，j，k表示(4)推論設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得xyz.知識點二空間向量的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k分別為x，y，z軸方向上的單位向量，對于空間任意一個向量a，若有axiyjzk，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫向量a在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)特別地，若A(x，y，z)，則向量的坐標(biāo)為(x，y，z)知識點三坐標(biāo)運算設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3) (R)ab(a0)b1a1，b2a2，b3a3 (R)思考(1)空間向量的坐標(biāo)運算與平面向量的坐標(biāo)運算表達形式上有什么不同？(2)已知a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab，且b1b2b30，類比平面向量平行的坐標(biāo)表示，可得到什么結(jié)論？答案(1)空間向量的坐標(biāo)運算多3個豎坐標(biāo)(2)ab.題型一空間向量的基底例1已知e1，e2，e3是空間的一個基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，試判斷，能否作為空間的一個基底解假設(shè)，共面則存在實，使得，e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3，e1，e2，e3不共面，此方程組無解，不共面，可以作為空間的一個基底反思與感悟空間向量有無數(shù)個基底判斷給出的某一向量組中的三個向量能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷它們是否共面，如果從正面難以入手，常用反證法或是一些常見的幾何圖形幫助我們進行判斷跟蹤訓(xùn)練1已知點O，A，B，C為空間不共面的四點，且向量a，向量b，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是_(填序號)或答案解析ab且a，b不共線，a，b，共面，與a，b不能構(gòu)成一組空間基底題型二用基底表示向量例2如圖，四棱錐POABC的底面為一矩形，PO平面OABC，設(shè)a，b，c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點，試用a，b，c表示，.解連結(jié)BO，則()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.反思與感悟(1)空間中的任一向量均可用一組不共面的向量來表示，只要基底選定，這一向量用基底表達的形式是惟一的；(2)用基底來表示空間中的向量是向量解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，解題時注意三角形法則或平行四邊形法則的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1，設(shè)a，b，c，P是CA1的中點，M是CD1的中點用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2).解如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中連結(jié)AC，AD1，(1)()()(abc)(2)()(2)abc.題型三空間向量的坐標(biāo)表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，并且PAAD1，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求向量的坐標(biāo)解以AD，AB，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則M(0，0)，N(，)(，0，)反思與感悟建系時要充分利用圖形的線面垂直關(guān)系，選擇合適的基底，在寫向量的坐標(biāo)時，考慮圖形的性質(zhì)，充分利用向量的線性運算，將向量用基底表示跟蹤訓(xùn)練3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，并且PAAD1，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求向量、的坐標(biāo)解如圖所示，因為PAADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，所以可設(shè)e1，e2，e3.以e1，e2，e3為基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因為()e2e3(e3e1e2)e1e3，所以，(0,1,0)1已知A(2,3，1v)關(guān)于x軸的對稱點是A(，7，6)，則，v的值分別為_答案2,10,7解析A與A關(guān)于x軸對稱，2與向量m(0,1，2)共線的向量是_(填序號)(2,0，4) (3,6，12)(1,1，2) (0，1)答案解析(0，1)m，與m共線的向量是(0，1)3已知向量a，b，c是空間的一個基底，下列向量中可以與p2ab，qab構(gòu)成空間的另一個基底的是_(填序號)2a；b；c；ac.答案解析p2ab，qab，p與q共面，a、b共面而c與a、b不共面，c與p、q可以構(gòu)成另一個基底，同理ac與p、q也可構(gòu)成一組基底4.如圖在邊長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，取D點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，O，M分別是AC，DD1的中點，寫出下列向量的坐標(biāo)._，_.答案(2,0,1)(1,1,2)解析A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，(0,0,1)(2,0,0)(2,0,1)，(1,1,2)5.如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，點O為空間任一點，設(shè)a，b，c，則向量用a，b，c表示為_答案abc解析2，2()，ba2(c)，abc.1.空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底；基底選定后，任一向量可由基底惟一表示2向量的坐標(biāo)是在單位正交基底下向量的表示在表示向量時，要結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，充分利用向量的線性運算