2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料平面幾何名定理四個(gè)重要定理：梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點(diǎn)）ABC的三邊BC、CA、AB上有點(diǎn)P、Q、R，則AP、BQ、CR共點(diǎn)的充要條件是。托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于其對(duì)角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。例題講解1設(shè)AD是ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：。2過ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：。3D、E、F分別在ABC的BC、CA、AB邊上，AD、BE、CF交成LMN。求SLMN。4以ABC各邊為底邊向外作相似的等腰BCE、CAF、ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點(diǎn)。5已知ABC中，B=2C。求證：AC2=AB2+ABBC。6已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：。7ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于P，作PEAB于E，延長ED交AC延長線于F。求證：BCEF=BFCE+BECF。8正六邊形ABCDEF的對(duì)角線AC、CE分別被內(nèi)分點(diǎn)M、N分成的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。（23-IMO-5）9O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，分別以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距離，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距離。求證：（1）aRabdb+cdc; (2) aRacdb+bdc;(3) Ra+Rb+Rc2(da+db+dc)。10ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。求證：H、G、O三點(diǎn)共線，且HG=2GO。（歐拉線）11O1和O2與ABC的三邊所在直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，EG、FH的延長線交于P。求證：PABC。12如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分BAD。在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：GAC=EAC。例題答案：1.分析：CEF截ABD（梅氏定理）評(píng)注：也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一作CF的平行線。2.分析：連結(jié)并延長AG交BC于M，則M為BC的中點(diǎn)。DEG截ABM（梅氏定理）DGF截ACM（梅氏定理）=1評(píng)注：梅氏定理3. 梅氏定理4. 塞瓦定理5. 分析：過A作BC的平行線交ABC的外接圓于D，連結(jié)BD。則CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。評(píng)注：托勒密定理6.評(píng)注：托勒密定理7.評(píng)注：西姆松定理（西姆松線）8.評(píng)注：面積法9.評(píng)注：面積法10. 評(píng)注：同一法11. 證明：連結(jié)BD交AC于H。對(duì)BCD用塞瓦定理，可得因?yàn)锳H是BAD的角平分線，由角平分線定理，可得，故。過C作AB的平行線交AG的延長線于I，過C作AD的平行線交AE的延長線于J。則，所以，從而CI=CJ。又因?yàn)镃I/AB，CJ/AD，故ACI=-BAC=-DAC=ACJ。因此，ACIACJ，從而IAC=JAC，即GAC=EAC。