17.1勾股定理第一課時 (袁 梅) 教學(xué)目標 1 ?核心素養(yǎng)： 通過學(xué)習(xí)勾股定理，初步發(fā)展基本的幾何直觀和邏輯推理能力 ^ 2?學(xué)習(xí)目標 (1) 觀察以直角三角形的三邊為邊長的正方形面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)勾股定理的結(jié) 論. (2) 能證明勾股定理. (3) 應(yīng)用勾股定理解決簡單的問題 . (4) 了解勾股定理相關(guān)的史料，知道我國古代在研究勾股定理上的杰由成就 3 .學(xué)習(xí)重點 探索并證明勾股定理. 4 .學(xué)習(xí)難點 勾股定理的探索和證明. 二、教學(xué)設(shè)計 (一)課前設(shè)計 1 .預(yù)習(xí)任務(wù) 任務(wù)1：閱讀教材P22- P24,思考：勾股定理的內(nèi)容是什么？你還有哪些方 法可以證明勾 股定理？ 任務(wù)2:怎樣利用勾股定理求線段的長？你能將此公式進行哪幾種變形？ 2 .預(yù)習(xí)自測 1. 求下圖中的字母代表的正方形的面積： A= ,B=. Ji / I B I A / 『J、 \ \\ / 144 I / \ wo I / I / 625 \ 1- - -I \ 、 1 81 \ 第1題圖 2. 如圖，求未知邊c=, 預(yù)習(xí)自測 1. 225, 225 2. 25, 12 (二)課堂設(shè)計 1.知識回顧 (1)正方形的面積怎樣計算？ (2) 經(jīng)過證明被確認為 叫做定理. 2.問題探究 問題探究一、觀察圖形的面積關(guān)系，發(fā)現(xiàn)勾股定理的結(jié)論 ?活動一觀察與思考： (1)等腰直角三角形三邊關(guān)系 如圖1,三個正方形的面積有什么關(guān)系？由此聯(lián)想到等腰直角三角形的三邊有何 數(shù)量關(guān)系? 圖1 圖2 (2)兩條直角邊分別為3、4個單位的直角三角形三邊關(guān)系 如圖2,正方形A的面積為 單位，正方形 B的面積為 單位，正方 形C的面積可以用“割”的方法，將正方形分割成 4個直角邊分別為 、 的全等直角三角形與 1個邊長為 的正方形面積之和；也可用“補”的方法 ， 用1個邊長為 的正方形面積減去 4個直角邊分別為 、__的全等直角 三角形的面積)，即正方形 C的面積為 位. 通過計算可以發(fā)現(xiàn)兩直角邊分別為 3、4個單位的直角三角形的三邊關(guān)系為 (3)兩條直角邊分別為任意整數(shù)個單位的直角三角形三邊關(guān)系 請你在下列方格圖中，畫一個直角邊為整數(shù)的直角三角形， 探究你所畫的直角三 角形是否也有 上述性質(zhì)？ 1 1 ! ____ r T I 1— r I-- 1 kHMBHHl r i j ? ? 」 ■ . L . 1 1 I 1 ?活動二猜想結(jié)論：根據(jù)以上觀察你發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊有怎樣的數(shù)量關(guān) 系？ 命題：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 ？ 符號表示：在 Rt △ ABC中，若BC=, AC=b AB=C則’ . 問題探究二驗證勾股定理|重點、難點知識 ?活動一大膽猜想，從「 ”的“式結(jié)構(gòu)”來看，可以聯(lián)想到正方形 面積的“形結(jié)構(gòu)” 如圖3,構(gòu)造由邊長分別為「‘、’‘，的正方形面積來證明. ?活動二 集思廣益，證明勾股定理 2 2 如圖4,用“補”的方法，可得 匚=()2 - 4 X 化簡整理得 a + = c1 如圖5,用“割”的方法，可得匚〈( a2 + b2 = c2 )2 +4 X 化簡整理得 B 圖3 圖4 圖5 ?活動三 感受我國數(shù)學(xué)家趙爽的證明 教材P23- P24, P30,閱讀我國古代數(shù)學(xué)家趙爽對勾股定理的研究，并完成課本 拼圖法證明勾 股定理？ 2 2 2 勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為 「‘、，斜邊為，貝 ?活動四反思過程，公式變形 公式變形：b2 = c2- a2 — b=： :; a 2 = c2-b2 - a = ■? 1 問題探究三勾股定理的簡單應(yīng)用 |重點★ ?活動一初步運用，運用定理求線段長 例1在Rt △ ABC中，/ C=90,/ A、/ B、/ C的對邊分別是J X 【知識點：勾股定理；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】 (1) (2) 若■ =3, 若=8, =5,求; =17,求; (3) 若:; =1 : 2, =5,求 2 + b2 = c2 ?"『. 詳解： (1)v- ? * * (2)略 力=1 : 2,可設(shè)口 =可 b = 2尢，則x4- (2x) = ,解得* =2 . 事, 點撥：已知直角三角形的兩邊長，利用勾股定理求第三邊長時，關(guān)鍵是弄清已知 什么邊，求什 么邊，靈活運用公式求解 ?活動二變式應(yīng)用 例 2 在 Rt △ ABC 中, AB=4 AC=6 求 BC 的長 . 【知識點：勾股定理，二次根式的運算；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】 詳解：此題與上題相比，未指明哪個角為直角，即不清楚誰為斜邊，所以應(yīng)分兩 類進行計算? 當 AC 為斜邊 時，則! AEy - AC ,即任■■-;②當BC為斜邊時， 則沉‘，即：’、.綜上，BC的值為；或 2 巫. 點撥：利用勾股定理解題時若未明確直角邊、斜邊，則應(yīng)分類討論進行計算 ? 3 ?課堂總結(jié) 【知識梳理】 (1) 勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為 ，斜邊為 ?，則「 「 . F2 2 F272 (2) 公式變形： b2 = c2- a2 f :: ； a2 = c2-b2— a = ■■ - : ： 【重難點突破】 (1)勾股定理揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系 ？已知‘、＞ (為斜邊)中 的任意兩邊，能求生第三邊，①已知 "、 ,貝『二川；②已知\ ，則 (~2 2 (~2 2 =；③已知、‘，則’「. (2)運用勾股定理時應(yīng)注意：①確定該三角形是直角三角形；②分清直角邊和 斜邊，若未明 確直角邊、斜邊，則應(yīng)分類討論 ？ (3) 勾股定理的發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想和驗證，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和 數(shù)學(xué)結(jié)合思想 . (4) 面積法驗證勾股定理的關(guān)鍵是，要找到一些特殊圖形 ( 如直角三角形、正 方形、梯形 ) 的面積之和等于整體圖形的面積，從而達到驗證的目的 . 4. 隨堂檢測 1. 下列說法正確的是 () 2 2 2 A.若，是^ ABC的三邊長，則 八」-「一「 B.若"、？是RtA ABC的三邊長，貝U二U「 C.若■ ‘、； ？是 RtA ABC 的三邊長，/ A=90o,則：. D.若◎、、匚是Rt^ ABC的三邊長，/ C=90，則/ += 【知識點：勾股定理；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】 【參考答案】 D . 【解析】運用勾股定理時應(yīng)注意：確定該三角形是直角三角形；并分清直角邊和 定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 ?故選 D. 2. 在 Rt △ ABC 中， / C=9(5 ， Z A、 / B、 / C 的對邊分別是 旅亡. 1) ) 若口 =6， h =8 ，貝卜 = ; 2) ) 若 a=9, =15 ，貝即 = . 【知識點：勾股定理，二次根式的運算；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】 【參考答案】 10; 12 【解析】根據(jù)勾股定理， C=…廣-" --;; b=廠-―- ■ 3) 在 RtA ABC 中,/ B=9C, AB=5 AC=10 貝 U BC=. 【知識點：勾股定理，二次根式的運算；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】 【參考答案】 廠 【解析】根據(jù)勾股定理， BC="八廠一『「 ■ i匚. 4) 直角三角形的兩邊分別為 3 、 4, 則第三邊的長為 【知識點：勾股定理，二次根式的運算；數(shù)學(xué)思想：分類討論】 【參考答案】 5 或? 斜邊，根據(jù) 3 、 4 分別為 【解析】 由于此題并未明確誰是直角邊，所以應(yīng)該分類討論：①若 直角邊，則根據(jù)勾股定理可求斜邊長為 5; ②若 4 為斜邊，則根據(jù)勾股定理可求 另一直角邊為