2015專題七：排列、組合、二項式定理一、核心知識點(diǎn)歸納：一、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1 .分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案， 在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那 么完成這件事共有 N = m+ n種不同方法.2 .分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第 1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件 事共有N = mx n種不同的方法.注息：1 .分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨(dú)立 的.2 .分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事， 步步之間是相關(guān)聯(lián)的.二、排列與組合1 .排列與排列數(shù)(1)排列:從n個不同元素中取出 m(m< n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n個不同元素中取出 m 個元素的一個排列.(2)排列數(shù)：從n個不同元素中取出 m(mwn)個元素的所有不同排列的個數(shù)，口4做從n個不同元素中取出 m個元素的排列數(shù)，記作 Am.2 .組合與組合數(shù)(1)組合：從n個不同元素中取出 m(mw n)個元素合成一組，叫做從 n個不同元素中取出 m個元素的 一個組合.(2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出 m(m< n)個元素的所有不同組合的個數(shù)：叫做從 n個不同元素中 取出m個元素的組合數(shù)，記作 Cmn.3 .排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式排列數(shù)公式Am= n(n 1)(n 2) -(n m+ 1)_ n!(n m )組合數(shù)公式m_AmCn - A m A mn(n 1)(n m+ 1)m!_n!m! (n m )!性質(zhì)(1)An=n!_;(2)0! =1(1)C0 = 1；(2)Cm = CF_；(3)Cm+Cm1=Cm+1備注n, m N*且 m< n汪思：1 .易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題與順序有關(guān)，組 合問題與順序無關(guān).2 .計算 Am時易錯算為 n(n-1)(n-2) - (n- m).3 .易混淆排列與排列數(shù)，排列是一個具體的排法，不是數(shù)是一件事，而排列數(shù)是所有排列的個數(shù)， 是一個正整數(shù).4 .排列問題與組合問題的識別方法：識別方法排列若交換某兩個兀素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取兀素順序有關(guān)組合若交換某兩個兀素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取兀素順序無關(guān)5 .組合數(shù)的性質(zhì)中(2)的應(yīng)用主要是兩個方面，一個簡化運(yùn)算，當(dāng) m>2時，通常將計算 Cm轉(zhuǎn)化為計 算C二m二是列等式，由 &=cy可得x=y或x+ v= n.性質(zhì)主要用于恒等變形簡化運(yùn)算.三、二項式定理1 .二項式定理(1)定理：公式(a+b)n = cnan+C1anTb+ dankbk+ Cnbn(nC N*)叫做二項式定理.(2)通項：Tk+i = Cnan kbk為展開式的第k+ 1項.2 .二項式系數(shù)與項的系數(shù)(1)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)cn(kC0,1,，n)叫做二項式系數(shù).(2)項的系數(shù)：項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與二項式系數(shù)是兩個不同的概念.3 .二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等,即Cm=Cn m增減性當(dāng)kv *時，二項式系數(shù)逐漸增大；, n+ 1 , 一，一，一，一， 當(dāng)女>守時，二項式系數(shù)逐漸減小取大值當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項 /2+1項j的二項式系數(shù)最大，最大值為C n2 ;當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項了1項和第n 21+1項）的二項式系數(shù)相等，且n1n+1同時取得最大值，最大值為Cn或Cn工4 .各二項式系數(shù)的和（a+b）n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n,即C土CC土二 Cjj+冕=2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇刎的二項式系數(shù)的和，即儲+C：+第+=C0+o| +C：+=2n 1. 一、/ 在思1 .二項式的通項易誤認(rèn)為是第k項實(shí)質(zhì)上是第k+ 1項.2 . （a+b）n與（b+a）n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，所以公式中的第一個量 a與第二個量b的位置不能顛倒.3 .易混淆二項式中的“項”，“項的系數(shù)”、“項的二項式系數(shù)”等概念，注意項的系數(shù)是指非字 母因數(shù)所有部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指d%=0,1,，n）.二、典型例題講解：一、計數(shù)原理考點(diǎn)一分類加法計數(shù)原理防自主練透型1 .在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有（）A. 50 個B. 45 個C. 36 個D. 35 個解析：選C 利用分類加法計數(shù)原理：8+7+6+ 5+ 4+3 + 2+1 = 36（個）.2.五名籃球運(yùn)動員比賽前將外衣放在休息室，比賽后都回到休息室取衣服.由于燈光暗淡，看不清 自己的外衣，則至少有兩人拿對自己的外衣的情況有（）A. 30 種B. 31 種C. 35 種D. 40 種解析：選B 分類：第一類，兩人拿對：2XC2 5= 20種；第二類，三人拿對：C35=10種；第三類，四人拿對與五人拿對一樣，所以有 1種.故共有20+10+1 = 31種.3. （2013三門峽模擬）有4位教師在同一年級的 4個班中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時要求每位 教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有（）A. 8種B. 9種C. 10 種D. 11 種解析：選B 設(shè)四位監(jiān)考教師分別為 A, B, C, D,所教班分別為a, b, c, d,假設(shè)A監(jiān)考b,則余 下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有 3種不同方法，同理 A監(jiān)考c, d時，也分別有3種不同方法，由分類加 法計數(shù)原理共有 3 + 3+3=9（種）.考點(diǎn)二分步乘法計數(shù)原理防和生共耐型典例P三棱 柱AiBiCi不涂共有c3 x C2（2014本溪模擬）如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐P-ABC與正 _/弋ABC-AiBiCi組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面染色（底面色），要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有 種.八二；二71G解析先涂三棱錐P-ABC的三個側(cè)面，然后涂三棱柱的三個側(cè)面，阻XC：XC2=3X2X ix 2=i2種不同的涂法.答案i2針對訓(xùn)練在航天員進(jìn)行的一項太空實(shí)驗(yàn)中，先后要實(shí)施6個程序，其中程序 A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步,程序B和C實(shí)施時必須相鄰，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有（）A. 24 種B. 48 種C. 96 種D. i44 種解析：選C 第一步安排A有2種方法；第二步在剩余的 5個位置選取相鄰的兩個排 B, C,有4種 排法，而B, C位置互換有2種方法； 第三步安排剩余的3個程序，有A3種排法，共有2X4X2X A，= 96種.考點(diǎn)三兩個原理的綜合應(yīng)用院師生共砰型典例（20i4黃岡質(zhì)檢）設(shè)集合I = i,2,3,4,5,選擇集合I的兩個非空子集A和B,若集合B中最小的元素大于集合 A中最大的元素，則不同的選擇方法共有（）A. 50 種B. 49 種C . 48 種D . 47 種解析從5個元素中選出2個元素，小的給集合 A,大的給集合B,有C2= i0種選擇方法；從5個 元素中選出3個元素，有C5 = i0種選擇方法，再把這 3個元素從小到大排列，中間有2個空，用一個隔板將其隔開，一邊給集合A, 一邊2合集合 B,方法種數(shù)是2,故此時有i0X 2 = 20種選擇方法；從5個元素中選出4個元素，有C4=5種選擇方法，從小到大排列，中間有 3個空，用一個隔板將其隔開，一邊給 集合A, 一邊給集合B,方法種數(shù)是3,故此時有5X3=i5種選擇方法；從5個元素中選出5個元素，有 C5=i種選擇方法，同理隔開方法有4種，故此時有iX4=4種選擇方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，總計為i0+20+i5+4 = 49種選擇方法.故選 B.答案B| 本例中條件若變?yōu)椤?A=i,2,3,4 , B = 5,6,7 , C = 8,9現(xiàn)從中取出兩個集合，再從這兩個題蓼集合中各取出一個元素，組成一個含有兩個元素的集合”，則可以組成多少個集合？變解：選集合A, B,有C4C3=i2;(2)選集合 A, C,有 C4C2=8；選集合B, C,有C1C2=6;故可以組成12+ 8+6=26個集合.針對訓(xùn)練上海某區(qū)政府召集 5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開年終總結(jié)經(jīng)驗(yàn)交流會，其中甲企業(yè)有 2人到會，其余4家企業(yè) 各有1人到會，會上推選 3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為 .解析：若3人中有一人來自甲企業(yè)，則共有C2c4種情況，若3人中沒有甲企業(yè)的，則共有 C4種情況，由分類加法計數(shù)原理可得，這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有C2c4+c4=16（種）.答案：16二、排列組合考點(diǎn)一排列問題卜自豐練透型1 .數(shù)列 an共有六項，其中四項為 1,其余兩項各不相同，則滿足上述條件的數(shù)列 an共有（）A. 30 個B. 31 個C. 60 個D. 61 個解析：選A 在數(shù)列的六項中，只要考慮兩個非1的項的位置，即得不同數(shù)列，共有A2=30個不同的數(shù)列.2. （2013東北三校聯(lián)考）在數(shù)字1,2,3與符號“ + ”，“”這五個元素的所有全排列中，任意兩個數(shù) 字都不相鄰的全排列方法共有（）A. 6 種B. 12 種C. 18 種D. 24 種解析：選B本題主要考查某些元素不相鄰的問題，先排符號“ + ”，“ ”，有A2種排列方法，此時兩個符號中間與兩端共有3個空位，把數(shù)字1,2,3 “插空”，有A3種排列方法，因此滿足題目要求的排列方法共有A2A3=12種.3. （2013西安檢測）8名游泳運(yùn)動員參加男子100米的決賽，已知游泳池有從內(nèi)到外編號依次為1,2,3,4,5,6,7,8的8條泳道，若指定的3名運(yùn)動員所在的泳道編號必須是3個連續(xù)數(shù)字（如：5,6,7）,則參加游泳的這8名運(yùn)動員被安排泳道的方式共有（）A. 360 種B. 4 320 種C. 720 種D. 2 160 種解析：選B 法一：先從8個數(shù)字中取出3個連續(xù)的數(shù)字共有 6種方法，將指定的3名運(yùn)動員安排在 這3個編號的泳道上，剩下的5名運(yùn)動員安排在其他編號的5條泳道上，共有6A3A5= 4 320種安排方式.法二：先將所在的泳道編號是 3個連續(xù)數(shù)字的3名運(yùn)動員全排列，有A3種排法，然后把他們捆綁在一 起當(dāng)作一名運(yùn)動員，再與剩余5名運(yùn)動員全排列，有 A6種排法，故共有 A3A6=4 320種安排方式.類題通法求解排列應(yīng)用題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊兀素或特殊位置捆綁法把相鄰兀素看作一個整體與其他兀素一起排列，同時注意捆綁兀素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮/、受限制的兀素的排列，再將不相鄰的兀素插在前面兀素排列的空檔中先整體后局部“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法考點(diǎn)二組合問題幣生共研型典例（2013重慶高考）從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派 5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小 組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）.解析直接法分類，3名骨科，內(nèi)科、腦外科各 1名；3名腦外科，骨科、內(nèi)科各 1名；3名內(nèi)科， 骨科、腦外科各1名；內(nèi)科、腦外科各 2名，骨科1名；骨科、內(nèi)科各 2名，腦外科1名；骨科、腦外科 各 2 名,內(nèi)科 1 名.所以選派種數(shù)為 c3 c4 C1+C3 c3 c5+c3 c1 c4+c4 c2c3+c3 c2 c4+c2 c2 c5= 590.答案590針對訓(xùn)練（2013四平質(zhì)檢）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生 都有，則不同的組隊方案共有 （）A. 70 種B. 80 種C. 100 種D. 140 種解析：選A 法一（間接法）：當(dāng)選擇的3名醫(yī)生都是男醫(yī)生或都是女醫(yī)生時，共有C3+C4=14種組隊方案.當(dāng)從9名醫(yī)生中選擇3名醫(yī)生時，共有 C3= 84種組隊方案，所以男、女醫(yī)生都有的組隊方案共有 8414= 70 種.法二（直接法）：當(dāng)小分隊中有1名女醫(yī)生時，有 C4c2= 40種組隊方案；當(dāng)小分隊中有 2名女醫(yī)生時， 有C2c5 =30種組隊方案，故共有 70種不同的組隊方案.考點(diǎn)三分組分配問題多維探究型角度一整體均分問題1 .國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)有 6個免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有 種不同的分派方法.8。2。2。2 0解析：先把6個畢業(yè)生平均分成 3組，有方法，故6個畢業(yè)生平均分到 3所學(xué)校，共有C6C3C2種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有a3=6種A320202 一3 A 3 = 90種分派方法.A3答案：90角度二 部分均分問題2 .將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁 4個人，每人至少1本的不同分法共有 種.（用數(shù)字 作答）解析：把6本不同的書分成 4組，每組至少1本的分法有2種.301010！有1組3本，其余3組每組1本，不同的分法共有 C6C3C2C1 = 20種;A3有2組每組2本，其余2組每組1本，不同的分法共有C6C2 c2c2A2 A211=45 種.所以不同的分組方法共有20+45=65 種.11然后把分好的4組書分給4個人，所以不同的分法共有65XA4= 1 560種.答案：1 560角度三不等分問題3 .將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有 種不同的分法.解析：將6名教師分組，分三步完成:第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有 C1種取法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有 C5種取法;第3步，余下的3名教師作為一組，有 C3種取法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有 c6c5c3 = 60種取法.再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有a3=6種分法，故共有60X 6 = 360種不同的分法.答案：360三、二項式定理考點(diǎn)一二項式中的特定項或特定項的系數(shù)A自主填透型1 . （2013江西高考）卜235展開式中的常數(shù)項為（）A. 80B. 80C. 40D. 40解析：選 CTr+1 = C5（x2）"rF j J=C5 （2）r x10-5，令105r=0,彳#r= 2,故常數(shù)項為C5x（2）2= 40.2. （2014浙江五校聯(lián)考）在卜2+：，5的展開式中x的系數(shù)為（）C. 20D. 40解析：選 B + = C5(x2)"re；r=C5x103r,，X 的系數(shù)為 c5=10,故選 B.3. (2013安徽高考)若的展開式中x4的系數(shù)為7,則實(shí)數(shù)a =解析：二項式x+f-f展開式的通項為8 4rTr+i = Cfarx -3,，令 8-r=4,可得 r=3,故 C3a3 = 7,易得 31 a = 2.,1答案：2類題通法求二項展開式中的指定項，一般是利用通項公式進(jìn)行化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)r+1,代回通項公式即可.考點(diǎn)二二項式系數(shù)和或各項系數(shù)和問題網(wǎng)生共研理(3x_A_1典例(1)(2014北京西城一模)若3x 3卜m的展開式中二項式系數(shù)之和為128,則展開式中y的系I 電x Jx數(shù)是()A. 21B. -21C. 7D. 7(2)(2013 成都診斷)若(12x)4=aO + aix+ a2+a3x3+a4x4,則 a1 + a2+a3+a4=.(_7 包解析(1)-2m=128,，m=7,展開式的通項Tr+i=C7(3x)7-g r=C73(1)rx3,令 7-|r=-3,解得 r = 6, .弓的系數(shù)為 C637 6(- 1)6= 21,故選 A.3x(2)令 x=1 可得 a0+ai+a2+a3+a4=1,令 x=0,可得 a0=1,所以 a1 + a2 + a3+a4=0.答案(1)A (2)0一題多能 在本例(2)中條件不變，問題變?yōu)椤扒笸?必1|+忸2|+咫|+忸4|的值”.解：由題意知(1 + 2x)4= aO+|ai|x+|a2|x2+|a3|x3+|a4|x4,令 x= 1 得 a+|ai|+|a2|+|a3|+|a4|= 34=81.針對訓(xùn)練口" s2 01322 013 a1 , a232013右(12x)= a0+ax+ a2x + + a2 0i3x,則？ + ?+ 22013 =.解析：當(dāng)x= 0時，左邊=1,右邊=a。，a0=1.當(dāng)x=2時，左邊=0,右邊=ap+al+al+界建，- o= i+a21"+ a?+ +!2.即 a1+ a2+ + a2 013 = 12 22答案：1考點(diǎn)三多項式展開式中的特定項（系數(shù)問題）多維探究型在高考中，常常涉及一些多項式二項式問題，主要考查學(xué)生的化歸能力, 歸納起來常見的命題角度有：（1 "個多項式和的展開式中的特定項（系數(shù) 戶題；（2肘個多項式積的展開式中的特定項（系數(shù) 列題；（3項展開式中的特定項（系數(shù)劉題.角度一 幾個多項式和的展開式中的特定項問題1 .g2 4+j+X）的展開式中的常數(shù)項為（）A. 32B. 34C. 36D. 38解析：選 DE32 4 的展開式的通項為 Tm+1=CT（x3）4m 1 X ,m=cm（-2）mx12 4m,令 12 4m= 0,解得m=3, k+XI8的展開式的通項為 Tn+1=Cnx8ng；n=C8x8-2n,令8-2n=0,解得n=4,所以所求常數(shù) 項為 C3（ 2）3+c8 = 38.角度二幾個多項式積的展開式中的特定項（系數(shù)）問題2. （2013全國課標(biāo)卷H ）已知（1+ax）（1+x）5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=（）A. 4B.-3C. 2D. - 1解析：選D 展開式中含x2的系數(shù)為c2+aC5=5,解得a=-1,故選D.角度三三項展開式中特定項（系數(shù)）問題3. j|+1+42的展開式中的常數(shù)項為 .（用數(shù)字作答）解析：原式=：+2產(chǎn)+2尸點(diǎn)（x+啦）25=32%（x+V2）10.求原式的展開式中的常數(shù)項，轉(zhuǎn)化為求（x+，2）10的展開式中含x5項的系數(shù)，即c1o/2）5.所以所求的常數(shù)項為C50 ( .2)5= 63 232 2答案：歲