單擊以編輯,母版標(biāo)題樣式,單擊以編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,*,第五章 直線與平面的相對位置 兩平面的相對位置,§5-1 直線與平面平行 兩平面平行,§5-2 直線與平面的交點(diǎn) 兩平面的交線,§5-3 直線與平面垂直 兩平面垂直,基本要求,1,基本要求,（一）平行問題,1 熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； 2 熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。,（二）相交問題,1 熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和作兩個(gè)面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。 2 熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。 3 掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見性的方法。,（三）垂直問題 掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。,（四）點(diǎn)、線、面綜合題 1 熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法； 2 能對一般畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。,2,§5-1 直線與平面平行 兩平 面平行,一直線與平面平行,幾何條件：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。,有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。,例題1,例題2,二平面與平面平行,幾何條件：若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。,兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的投影。,例題3,例題4,例題5,3,一、,直線與平面平行,若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行,P,C,D,B,A,4,例題1 試判斷直線,AB,是否平行于定平面,f,g,f,g,b,a,a,b,c,e,d,e,d,c,結(jié)論：直線,AB,不平行于定平面,5,例題2 試過點(diǎn),K,作水平線,AB,平行于,CDE,平面,b,a,a,f,f,b,c,e,d,e,d,k,k,c,6,二、兩平面平行,若屬于一平面的相交兩直線對應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行,P,S,E,F,D,A,C,B,7,例題3 試判斷兩平面是否平行,f,e,d,e,d,f,c,a,a,c,b,b,m,n,m,n,r,r,s,s,結(jié)論：兩平面平行,8,例題4 已知定平面由平行兩直線,AB,和,CD,給定。試過點(diǎn),K,作一平面平行于已知平面 。,e,m,n,m,n,f,e,f,s,r,s,r,d,d,c,a,a,c,b,b,k,k,9,例題5 試判斷兩平面是否平行。,結(jié)論：兩平面平行,e,f,e,f,s,r,s,d,d,c,a,a,c,b,b,r,P,H,S,H,10,§5-2 直線與平面的交點(diǎn) 兩平 面的交線,直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點(diǎn)，交點(diǎn)既在直線上又在平面上，因而交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。兩平面的交線是直線，它是兩個(gè)平面的共有線。求線面交點(diǎn)、面面交線的實(shí)質(zhì)是求共有點(diǎn)、共有線的投影。,一、,直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn),二、,兩平面的交線是直線,三、,直線與,特殊位置,平面相交,四、,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,五、,直線與一般位置平面相交,六、,兩一般,位置,平面相交,11,一、,直線與平面相交,P,直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，它是直線與平面的共有點(diǎn)。,B,K,A,12,M,B,C,A,二、平面與平面相交,F,K,N,L,兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有,13,三、特殊位置線面相交,特殊位置線面相交，其交點(diǎn)的投影可利用直線或平面的積聚性投影直接求出。 （,l）,當(dāng)直線為一般位置，平面的某個(gè)投影具有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影可在直線的另一個(gè)投影上找到。 （2）當(dāng)直線的某個(gè)投影具有積聚性，平面為一般位置時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影與直線的積聚性投影重合，另一個(gè)投影可利用在平面上找點(diǎn)的方法在平面的另一個(gè)投影上得到。,直線與,特殊位置,平面相交,判斷直線的可見性,14,b,b,a,a,c,c,m,m,n,n,直線與,特殊位置,平面相交,由于,特殊位置,平面的某些投影有積聚性,，,交點(diǎn)可直接求出。,V,H,P,H,P,A,B,C,a,c,b,k,N,K,M,k,k,15,判斷直線的可見性,V,H,P,H,P,A,B,C,a,c,b,k,N,K,M,b,b,a,a,c,c,m,m,n,k,k,n,特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。,16,四、一般位置平面與,特殊位置,平面相交,求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題,由于,特殊位置,平面的某些投影有積聚性,，,交線可直接求出。,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,判斷平面的可見性,17,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,n,l,m,m,l,n,b,a,c,c,a,b,f,k,f,k,V,H,M,m,n,l,P,B,C,a,c,b,P,H,k,f,F,K,N,L,18,判斷平面的可見性,V,H,M,m,n,l,B,C,a,c,k,f,F,K,N,L,b,b,a,c,n,l,m,c,m,a,l,n,f,k,f,k,結(jié) 果,19,判斷平面的可見性,b,b,a,c,n,l,m,c,m,a,l,n,f,k,f,k,V,H,M,m,n,l,B,C,a,c,k,f,F,K,N,L,20,五、直線與一般,位置,平面相交,一般位置線面相交由于直線和平面的投影都沒有積聚性，求交點(diǎn)時(shí)無積聚性投影可以利用，因此通常要采用輔助平面法求一般位置線面的交點(diǎn)。一般位置線、面相交求交點(diǎn)的步驟：,（,l）,含已知直線作特殊位置輔助平面；,（2）求輔助平面與已知平面的交線；,（3）求交線與已知直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。,以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn),示意圖,以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn),示意圖,判別可見性,示意圖,21,f,e,e,f,b,a,a,c,b,c,1,2,以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn),Q,V,2,1,k,k,步驟,：,1、 過,EF,作正垂平面,Q,。,2、求,Q,平面與,ABC,的交線,。,3、求交線,與,EF,的交點(diǎn),K,。,22,A,B,C,Q,過,MN,作平面,Q,垂直于,V,投影面,M,N,以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖,23,1,2,以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn),。,P,H,1,f,e,e,f,b,c,a,a,c,b,步驟,：,1、 過,EF,作鉛垂平面,P,。,2、求,P,平面與,ABC,的交線,。,3、求交線,與,EF,的交點(diǎn),K,。,k,k,2,24,C,A,B,過,MN,作,平面,P,垂直于,H,投影面,N,M,P,E,F,K,以,鉛,垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖,25,直線,EF,與平面,ABC,相交，判別可見性。,利用重影點(diǎn)。,判別可見性,(,),f,e,e,f,b,a,a,c,b,c,1,2,4,3,2,1,3,4,（,）,k,k,26,H,V,a,b,c,c,e,a,A,B,b,C,F,E,f,f,k,K,k,e,直線,EF,與平面,ABC,相交，判別可見性,示意圖,1,(,2,),(,4,),3,利用重影點(diǎn)。,判別可見性,27,六、兩一般位置平面相交,求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題,因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。,兩一般位置平面相交,求交線,示意圖,判別可見性,例題6,28,兩一般位置平面相交，求交線步驟：,1、用直線與平面求交點(diǎn)的方法求出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn),K,、,E,。,求兩平面的交線,b,a,c,c,b,a,l,l,n,m,m,n,P,V,Q,V,1,2,2,1,k,k,e,e,2、連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出交線,KE,。,29,兩一般位置平面相交求交線的方法,利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。,M,B,C,A,F,K,N,L,30,利用重影點(diǎn)判別可見性,兩平面相交，判別可見性,b,a,c,c,b,a,l,l,n,m,m,n,k,e,e,k,3,4,( ),3 4,2,1,( ),1,2,31,a,c,b,a,c,b,f,e,e,f,k,k,例題6,試過,K,點(diǎn)作一直線平行于已知平面,ABC,，,并與直線,EF,相交,。,32,分析,F,P,C,A,B,E,K,H,過已知點(diǎn),K,作平面,P,平行,于,ABC,；,直線,EF,與平面,P,交于,H,；,連接,KH,，,KH,即為所求。,33,作圖步驟,m,n,h,h,n,m,f,f,a,c,b,a,c,b,e,e,k,k,P,V,1,1,2,2,1、過點(diǎn),K,作平面,KMN,/,ABC,平面。,2、過直線,EF,作正垂平面,P,。,3、,求平面,P,與平面,KMN,的交線。,4、求交線 與,EF,的交點(diǎn),H,。,5、,連接,KH,，,KH,即為所求。,34,§5-3 直線與平面垂直 兩平面垂直,一、直線與平面垂直,幾何條件,定理1,定理2,例題7,例題8,例題9,例題10,二、兩平面垂直,幾何條件,例題11,例題12,例題13,35,直線與平面垂直的幾何條件,：,若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該,平面的一切直線。,V,H,P,A,K,N,D,C,B,E,36,定理1：,若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。,V,P,A,K,N,D,C,B,E,H,a,a,d,c,b,d,c,b,e,e,k,n,k,n,37,定理2（逆）：,若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。,a,c,a,c,n,n,k,f,d,b,d,b,f,k,V,P,A,K,N,D,C,B,E,H,38,例題7：平面由,BDF,給定，試過定點(diǎn),K,作平面的法線。,a,c,a,c,n,n,k,f,d,b,d,b,f,k,39,h,h,例題8：試過定點(diǎn),K,作特殊位置平面的法線。,h,h,h,h,k,k,S,V,k,k,P,V,k,k,Q,H,40,例題9：平面由兩平行線,AB,、,CD,給定，試判斷直線,MN,是否垂直于定平面。,e,f,e,m,n,m,n,c,a,a,d,b,c,d,b,f,41,例題10 試過點(diǎn),N,作一平面，使該平面與,V,面的夾角為60 °，與,H,面的夾角為45 °。,n,n,42,分析：平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為補(bǔ)角,H,P,A,K,F,D,C,B,E,f,43,直徑任取,NM,作圖過程,|,y,M,-,y,N,|,|,z,M,-,z,N,|,m,h,m n,m,k,|,z,M,-,z,N,|,|,y,M,-,y,N,|,30,°,45,°,m n,m,n,k,h,n,n,44,兩平面垂直的幾何條件,若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。,A,D,45,反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。,A,D,兩平面垂直,兩平面不垂直,A,D,46,g,例題11 平面由,BDF,給定，試過定點(diǎn),K,作已知平面的垂面,h,a,c,a,c,h,k,k,f,d,b,d,b,f,g,47,例題12 試判斷,A,BC,與相交兩直線,KG,和,KH,所給定的平面是否垂直。,g,h,a,c,h,a,c,k,k,b,b,g,f,f,d,d,結(jié)論：因?yàn)?AD,直線不在,A,BC,平面上，所以兩平面不垂直。,48,例題13 試過定點(diǎn),A,作直線與已知直線,EF,正交。,a,e,f,a,f,e,49,E,Q,分析,過已知點(diǎn),A,作平面與已知直線,EF,垂直交于點(diǎn),K，,連接,AK，AK,即為所求。,F,A,K,50,作圖過程,2,1,a,e,f,a,f,e,1,2,2,1,P,V,a,e,f,a,f,e,1,2,k,k,51,本章結(jié)束,52,