單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第,*,頁(yè),復(fù) 變 函 數(shù),（,第四版,）,第四章 級(jí) 數(shù),§,1,復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),§,2,冪級(jí)數(shù),§,3,泰勒級(jí)數(shù),§,4,洛朗級(jí)數(shù),10/19/2024,1,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,§,1,復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),1. 復(fù)數(shù)列的極限,復(fù)級(jí)數(shù)也是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具.,函數(shù)的解析性等價(jià)于函數(shù)能否展成冪級(jí)數(shù).,復(fù)數(shù)列,10/19/2024,2,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,Th1.,證明,利用不等式,:,10/19/2024,3,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,2. 級(jí)數(shù)概念,(1) 定義,級(jí)數(shù):,前,n,項(xiàng)和:,(部分和),否則.發(fā)散,10/19/2024,4,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,Th2.,必要條件:,運(yùn)算性質(zhì):,且:,(,C,為復(fù)常數(shù)),（作用：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題轉(zhuǎn)化為,實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題）,10/19/2024,5,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,(2) 絕對(duì)收斂與條件收斂.,結(jié)論:,i ),ii ),Th3,模,10/19/2024,6,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,iii ),iv),10/19/2024,7,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,例1.,解:,1),下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.,1),2),而,10/19/2024,8,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,解:,2),例2.,解:,1),下列級(jí)數(shù)是否收斂?是否絕對(duì)收斂?,10/19/2024,9,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,解:,2),(不易分實(shí)部,虛部),對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.,10/19/2024,10,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,解:,3),因?yàn)?(萊布尼茲型交錯(cuò)級(jí)數(shù)), 原級(jí)數(shù)收斂.,條件收斂, 原級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂.,10/19/2024,11,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,補(bǔ)例:,考察,解:,1),下列級(jí)數(shù)的斂散性:, 原級(jí)數(shù)發(fā)散.,而,10/19/2024,12,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,解:,2),收斂.,(公比 |,q,| < 1), 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.,10/19/2024,13,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,解:,3),收斂., 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.,而,10/19/2024,14,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,補(bǔ)例:,判別,解:,1),級(jí)數(shù),的斂散性.,發(fā)散.,故級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂.,10/19/2024,15,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,續(xù)上頁(yè) 解:1),解:,2),均收斂, 原級(jí)數(shù)發(fā)散.,(萊布尼茲型交錯(cuò)級(jí)數(shù)),10/19/2024,16,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,§,2,冪級(jí)數(shù),1. 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),部分和,z,在,D,內(nèi)處處收斂;,和函數(shù),和,即,10/19/2024,17,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,例:,解:,當(dāng),z,=1 時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于 0,當(dāng),z,= 1 時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,當(dāng) |,z |,>1時(shí), 顯然發(fā)散.,10/19/2024,18,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,2. 冪級(jí)數(shù)及其收斂圓,一般式:,取,= 0.,10/19/2024,19,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,(有與實(shí)函類似的結(jié)論),(1),(2),阿貝爾定理,z,0,x,y,O,10/19/2024,20,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,證,10/19/2024,21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,10/19/2024,22,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,10/19/2024,23,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,利用阿貝爾定理, 可以定出冪級(jí)數(shù)的收斂范圍, 對(duì)一個(gè)冪級(jí)數(shù)來說, 它的收斂情況不外乎三種:i) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的. 這時(shí), 根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.ii) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除,z,=0外都是發(fā)散的. 這時(shí), 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.iii) 既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù), 也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù). 設(shè),z,=,a,(正實(shí)數(shù))時(shí), 級(jí)數(shù)收斂,z,=,b,(正實(shí)數(shù))時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散.,10/19/2024,24,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,顯然,a,<,b, 將收斂域染成紅色, 發(fā)散域?yàn)樗{(lán)色.,R,C,R,O,a,b,C,a,C,b,x,y,10/19/2024,25,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,(3),1,o,僅在,z,= 0,收斂;,2,o,在整個(gè),z,平面收斂;,在,1,o,2,o,兩種情形中, 稱,R,為 0 和 ,10/19/2024,26,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,總之:,R,為,收斂半徑,則,(收斂,圓內(nèi),部),(收斂,圓外,部),(收斂,圓周,上),10/19/2024,27,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,例:,收斂半徑均是1.,1) 其一般項(xiàng),z,n,0, 無收斂點(diǎn).,2) 在點(diǎn),z,=1 發(fā)散, 在其它點(diǎn)都收斂.,在收斂圓周 |,z,| = 1 上,10/19/2024,28,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,3. 收斂半徑的求法,(1) 比值法:,(2) 根值法:,例2:,(P,113,),求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,10/19/2024,29,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,解:,1),在收斂圓周 |,z,| =1 上, R = 1,(,p,= 3時(shí)的,p, 原級(jí)數(shù)在收斂圓周上是處處收斂的.,級(jí)數(shù),),10/19/2024,30,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,解:,2),在收斂圓周 |,z,1 | =1 上,解:,3),10/19/2024,31,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,a,n,有界,上極限,下極限,上確界,k,單調(diào)減少,必有極限,下確界,k,單調(diào)上升,必有極限,數(shù)列,去掉前,k,項(xiàng),以后的有界數(shù)列的,下確界,.,10/19/2024,32,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,另有一求收斂半徑的方法:,柯西,哈達(dá)瑪法,例:,解:,(Cauchy-Hadanmard),10/19/2024,33,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,補(bǔ)例:,證:,1),2),1) 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,R,1,2) 若,R,=1, 則除,z,= 1外,收斂圓周上處處收斂.,10/19/2024,34,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,而,同理,當(dāng),= 0 時(shí), 即,z,= 1,無法下結(jié)論,.,從而,原級(jí)數(shù)收斂(狄里克雷判別法).,10/19/2024,35,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,補(bǔ)例：,解:,用比值審斂法.,不能套求半徑公式,10/19/2024,36,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,注:,故,原級(jí)數(shù)收斂半徑,缺項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂半徑時(shí),則其,收斂半徑,若先求出極限,10/19/2024,37,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,4. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì),(1),加,減,乘,法.,由絕對(duì)收斂性,則在 |,z,| =,R,內(nèi), 兩級(jí)數(shù)可做,即,書中漏寫,z,n,10/19/2024,38,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,注意:,上兩式的,意思是,|,z,| <,R,時(shí),等號(hào)成立,而,不是說,右邊級(jí)數(shù)的收斂半徑為 R,(可能大于,R,) .,(見書P,115,例13 ),10/19/2024,39,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,重要的代換 (復(fù)合運(yùn)算),例4.,解:,10/19/2024,40,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,從而,設(shè) |,b,a,| =,R, 上式右端的收斂半徑,R,= |,b,a,|,(方法和結(jié)論以后常用),10/19/2024,41,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,(2),(3),f,(,z,)在收斂圓可逐項(xiàng)求導(dǎo).,如何解釋?,而在收斂圓上至少有一個(gè)奇點(diǎn);,10/19/2024,42,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,(4),10/19/2024,43,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,§,3,泰勒級(jí)數(shù),我們,已知,：一個(gè)冪級(jí)數(shù)的,和函數(shù),在它的收斂,圓的內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù).,問題,:任何一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?,1.,泰勒定理,.,設(shè),f,(,z,) 在,D,內(nèi)解析,只要圓,k,: |,z,-,z,o,|<d,含于,D,. 則,f,(,z,) 在,k,內(nèi),能展成冪級(jí)數(shù),泰勒級(jí)數(shù),其中,系數(shù),泰勒系數(shù),.,且展開式唯一.,10/19/2024,44,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,略證:,設(shè),z,為,k,內(nèi)任一點(diǎn), 按柯西積分公式,在圓周,k,上,有,10/19/2024,45,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,代入,得,此等號(hào),須證,(要條件),10/19/2024,46,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,唯一性,注:,1,o,2,o,若另有展式,即,如果,f,(,z,) 在,z,o,解析,那末使,f,(,z,) 在,z,o,的,泰勒,展開式,成立的圓域的半徑,R,就等于從,z,o,到,f,(,z,),的距,z,o,最近一個(gè)奇點(diǎn),之間的距離.即,R,=|,-,z,o,|,當(dāng),z,o,= 0時(shí), 級(jí)數(shù)稱為,麥克勞林級(jí)數(shù),.,10/19/2024,47,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,2. 解析函數(shù)的等價(jià)定義,(1),(2),1,o,f,(,z,)在,z,o,某鄰域內(nèi),可導(dǎo),;,2,o,f,(,z,) =,u,+,iv,的實(shí)部,u, 虛部,v,在點(diǎn),z,o,的某鄰域,內(nèi)有,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且滿足,C,-,R,條件.,f,(,z,)在,z,o,解析,f,(,z,)在,z,o,的某鄰域可展成冪級(jí)數(shù),f,(,z,)在,D,內(nèi)解析,f,(,z,)在,D,內(nèi)任一點(diǎn)的某鄰域可展成冪級(jí)數(shù),至此得函數(shù),f,(,z,)在一點(diǎn),z,o,解析的,四種等價(jià),說法:,10/19/2024,48,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,4,o,3. 幾個(gè)常用初等函數(shù)的,泰勒,展開式,3,o,任一條分段光滑閉曲線,有,f,(,z,)在,z,o,的某鄰域內(nèi),連續(xù),且對(duì)此鄰域內(nèi)的,f,(,z,)在,z,o,的,某鄰域內(nèi),可展開,成冪級(jí)數(shù).,求導(dǎo),10/19/2024,49,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,續(xù)上頁(yè),積分,10/19/2024,50,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,4.,展開解析函數(shù),f,(,z,) 成冪級(jí)數(shù),(1),直接法,:,(2),間接法,:,的主要方法,:,利用已知展式以及冪級(jí)數(shù)的分析運(yùn),算性質(zhì)和其他數(shù)學(xué)技巧, 求展開式.,其中有:,代換法.,部分分式法:,(,最多的是代換,10/19/2024,51,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,續(xù)上頁(yè),微分方程法:,利用被展開函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,建立微分方程.,逐項(xiàng)積分法:,逐項(xiàng)求導(dǎo)法:,冪級(jí)數(shù)乘法:,分解為兩個(gè)已知展開式函數(shù)的乘積.,冪級(jí)數(shù)除法:,待定系數(shù)法:,長(zhǎng)除法,其他:,如, 利用,組合,搭配,等等.,10/19/2024,52,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,例一.,解:,( 用,代換法,關(guān)鍵將,f,(,z,) 變形為含所需因式的形式,并可利用已知展開式得到需要的冪級(jí)數(shù) ),10/19/2024,53,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,方法二:,轉(zhuǎn)下頁(yè),10/19/2024,54,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,續(xù)上頁(yè),10/19/2024,55,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,例二.,解:,對(duì)方程,逐次求導(dǎo), 得,(得一微分方程),10/19/2024,56,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,由于,f,(,z,)只有,唯一奇點(diǎn),z,=1,練習(xí):,所以,收斂半徑為1,f,(,z,)可在 |,z,| <1 內(nèi)展開, 其展開式為,用類似方法求,的麥克勞林級(jí)數(shù).,10/19/2024,57,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,例三.,解:,故有,是偶函數(shù),所以冪級(jí)數(shù)只有,偶次冪項(xiàng),設(shè),10/19/2024,58,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,比較,兩端同次冪,系數(shù),，得,解出,法二：,直接用長(zhǎng)除法,(升冪排列),10/19/2024,59,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,§,4,洛朗級(jí)數(shù),由上一節(jié)知:,雙邊冪級(jí)數(shù),:,在圓 |,z,z,o,| =,R,內(nèi)解析的函數(shù),f,(,z,)可以,展成冪級(jí)數(shù),那么在環(huán),R,1,< |,z,z,0,|<,R,2,內(nèi)解析的函數(shù)呢?,它也可以展成冪級(jí)數(shù),10/19/2024,60,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,定義:,則,收斂,均收斂,(1)的收斂域?yàn)?在收斂圓環(huán)內(nèi)的雙邊冪級(jí)數(shù)的,和函數(shù),為一,解析函數(shù),.,其,公共圓環(huán)域,(2)的收斂域?yàn)?R,1,< |,z,z,o,| <,R,2,為,10/19/2024,61,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,1. 洛朗定理.,其中,且,展開式,唯一,.,設(shè),f,(,z,)在圓環(huán)域,R,1,< |,z,-,z,o,| <,R,2,內(nèi)處處解析,那末,洛朗展開式,這里C為在圓環(huán)域內(nèi)繞,z,o,的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線.,洛朗級(jí)數(shù),(即一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析,的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的.,這個(gè)級(jí)數(shù)就是,f,(,z,)的,洛朗級(jí)數(shù),) .,10/19/2024,62,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,注:,1,o,2,o,3,o,一般,f,(,z,)在,C,內(nèi)不是處處解析,不能,對(duì),c,n,的表達(dá)式應(yīng)用,高階求導(dǎo),公式.,泰勒級(jí)數(shù)是洛朗級(jí)數(shù)的,特殊,情形.,(,此時(shí),R,1,= 0,c,n,= 0 ),洛朗級(jí)數(shù)的,解析部分,洛朗級(jí)數(shù)的,主要部分,(,正則部分,),4,o,用公式計(jì)算,c,n,很,難,一般不用,.,(恰恰相反,我們,后面要用,c,n,求積分,10/19/2024,63,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,2.,將圓環(huán)內(nèi)解析函數(shù)展成洛朗級(jí)數(shù)的方法,例：,解：,直接法,直接法:,用公式求,c,n,.,.,求導(dǎo)、積分、代換等方法展開.,間接法,: 利用已知函數(shù)的泰勒展式,再利用,10/19/2024,64,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,解：,間接法：,10/19/2024,65,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,間接法中常用公式：,例1：,解:,內(nèi)處處是解析的. 試把,f,(,z,) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù).,10/19/2024,66,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,(結(jié)果中,不含,z,的,負(fù)冪項(xiàng),原因,f,(,z,)在,z,= 0 處是,解析,的),10/19/2024,67,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,解:,ii),10/19/2024,68,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,10/19/2024,69,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,解:,iii),10/19/2024,70,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,注:,此例是同一個(gè)函數(shù)在,不同的圓環(huán),中的洛朗展式, 這里,展式不同,與洛朗展式的唯一性并無矛盾.,10/19/2024,71,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,問:,解:,此例若改成在兩個(gè)孤立奇點(diǎn),z,=1 和,z,= 2的最大的去心鄰域內(nèi)的洛朗展式如何求?,10/19/2024,72,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,例2:,看教材(P,134,),注意: ,10/19/2024,73,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,補(bǔ)例一:,解:,在 0 < | z,i,| < 1 內(nèi),展為洛朗級(jí)數(shù).,使,f,(,z,) 解析且以,i,為中心的圓環(huán)域有,10/19/2024,74,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,而,10/19/2024,75,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,在 1 < | z ,i,| < +內(nèi), 因?yàn)?10/19/2024,76,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,補(bǔ)例二:,解:,轉(zhuǎn)下頁(yè),10/19/2024,77,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,(對(duì)有理分式函數(shù),f,(,z,). 先,分解,為,部分分式, 仍是有效的方法),10/19/2024,78,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,補(bǔ)例三:,解:,1),在1 <| z | < 2 內(nèi), 有,奇點(diǎn),z,=±,i,z,=2,轉(zhuǎn)下頁(yè),10/19/2024,79,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,2),在 0 < | z 2 | < 內(nèi), 有,續(xù)上頁(yè) 解 1),10/19/2024,80,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,解:,補(bǔ)例四:,(習(xí)題P,144,17),內(nèi)展為洛朗級(jí)數(shù).,不能,. 因?yàn)?的鄰域內(nèi)總有,z,k,存在,且,所以不能展成洛朗級(jí)數(shù).,10/19/2024,81,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,