姓 名：陳旭光離散數(shù)學(xué)作業(yè)2學(xué) 號(hào)：87得 分：教師簽名：離散數(shù)學(xué)集合論部分形成性考核書面作業(yè)本課程形成性考核書面作業(yè)共3次，內(nèi)容主要分別是集合論部分、圖論部分、 數(shù)理邏輯部分的綜合練習(xí)，基本上是按照考試的題型（除單項(xiàng)選擇題外）安排練習(xí)題目，目的是通過綜合性書面作業(yè)，使同學(xué)自己檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄 弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握.本次形考書面作業(yè)是第一次作業(yè)，大家要 認(rèn)真及時(shí)地完成集合論部分的綜合練習(xí)作業(yè).要求：學(xué)生提交作業(yè)有以下三種方式可供選擇：1 .可將此次作業(yè)用A4紙打印出來，手工書寫答題，字跡工整，解答題要有 解答過程，完成作業(yè)后交給輔導(dǎo)教師批閱.2 .在線提交word文檔3 .自備答題紙張，將答題過程手工書寫，并拍照上傳.一、填空題1 .設(shè)集合 A 1,2,3, B 1, 2,則 P(A)-P(B )=1,2,2,3,1,3,1,2.3, A B=1,2,2,3,1,3,1,2,3.2 .設(shè)集合A有10個(gè)元素，那么A的幕集合P(A)的元素個(gè)數(shù)為 1024.3 .設(shè)集合 A=0, 1,2, 3 , B=2, 3, 4, 5 , R 是 A 到 B 的二元關(guān)系, R x, y x A且y B且x, y A B則 R 的有序?qū)蠟?,2,2,3,1,3,1,2,3.4 .設(shè)集合 A=1,2, 3, 4 , B=6, 8, 12 ,A 到 B 的二元關(guān)系R= x,y y 2x, x A, y B那么 R 1= 1,2,2,3,1,3,1,2,3.5 .設(shè)集合 A= a, b, c, d , A 上的二元關(guān)系 R=< a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>, 則R具有的性質(zhì)是反自反性.6 .設(shè)集合 A= a, b, c, d , A 上的二元關(guān)系 R=< a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>, 若在R中再增加兩個(gè)元素<c, b>, <d, c>，則新得到的關(guān)系就具有對(duì)稱性.7 .如果Ri和R2是A上的自反關(guān)系，則R1UR2, RiAR2, R1-R2中自反關(guān)系 有 2 個(gè).8 .設(shè)人=1,2上的二元關(guān)系為R=< x, y>|x A, y A, x+y =10,則R的自反閉包為<1,1>,<2,2>.9 .設(shè)R是集合A上的等價(jià)關(guān)系，且1 , 2,3是A中的元素，則R中至少包 含 <1,1>,<2,2>,<3,3>等元素.10 .設(shè) A=1 , 2, B=a, b, C=3 ,4, 5,從 A 到 B 的函數(shù) f =<1, a>, <2, b>,從 B 到 C 的函數(shù) g=< a,4>, < b, 3>,則 Ran（g f）=4,3.二、判斷說明題（判斷下列各題，并說明理由.）11 若集合 A = 1 , 2, 3上的二元關(guān)系 R=<1, 1>, <2, 2>, <1,2>,則1 1） R是自反的關(guān)系；（2） R是對(duì)稱的關(guān)系.解：（1）結(jié)論不成立.因?yàn)殛P(guān)系R要成為自反的，其中缺少元素<3, 3>. 論不成立.因?yàn)殛P(guān)系R中缺少元素<2, 1>2 .設(shè)人=1 , 2, 3, R=<1 , 1>, <2, 2>, <1, 2> , <2, 1>,則 R 是等價(jià) 關(guān)系.解：不是等價(jià)關(guān)系因?yàn)?是A的一個(gè)元素，由于<3,3>不在R中，R不具有自反性，等價(jià)關(guān)系R必須有（對(duì)A中任意元素a, R含<a,a> ）,所以R不是A上的等價(jià)關(guān)系！3,若偏序集<A, R>的哈斯圖如圖一所示, 則集合A的最大元為a,最小元不存在.解：錯(cuò)誤，按照定義，圖中不存在最大元和最小元4設(shè)集合A=1, 2, 3, 4 ， B=2, 4, 6, 8 ，判斷下列關(guān)系 f 是否構(gòu)成函數(shù)f：A B ，并說明理由(1) f=<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8> ；(2) f=<1, 6>, <3, 4>, <2, 2> ；(3) f=<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,> 解：(1)不構(gòu)成函數(shù)，因?yàn)樗亩x域 DomwA(2) 也不構(gòu)成函數(shù)，因?yàn)樗亩x域 DomwA(3) 構(gòu)成函數(shù)， 首先它的定義域Dom(f) =1, 2, 3, 4= A ， 其次對(duì)于A中的每一個(gè)元素a,在B中都有一個(gè)唯一的元素b,使2口 f三、計(jì)算題1設(shè) E 1,2,3,4,5, A 1, 4, B 1, 2, 5, C 2,4 ，求：(1) (A B) C；(2) (A B)- (B A) (3) P(A) P(C)；(4) A B解：(1) (A B) C=1 1,3,5=1,3,5(2) (A B)- (B A) = 1,2,4,5-1=2,4,5(3) P(A) = ， 1 ， 4 ， 1,4P(C) = ， 2 ， 4 ， 2,4P(A) P(C)=1 ， 1,4(4) 4)A B = (A B)- (B A)=2,4,52設(shè)A=1,2,1,2 ， B=1,2,1,2 ，試計(jì)算(1) (A B) ；(2) (APB) ;(3) AXB.解：( 1)( A B) =1,2(2) (APB) =1,2(3) A 電=<1,1>,<1,2>,<1,1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,1,2>,<1,1>,<1,2>,<1,1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,1,2>3 .設(shè)人=1 , 2, 3, 4, 5, R=<x, y>|x A, y A且 x+y 4 , S=<x, y>|x A, y A 且 x+y<0,試求 R, S, R?S, S?R, R-1, S-1 , r(S), s(R).解：R=<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>S=R?S=S?R=R-1=<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>S1 =r(S)=<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>s(R)=<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>4 .設(shè)人=1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, R是 A 上的整除關(guān)系,B=2, 4, 6.(1)寫出關(guān)系R的表示式；(2 )畫出關(guān)系R的哈斯圖；(3)求出集合B的最大元、最小元.解：(1) R=<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>, <2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>關(guān)系代的哈斯圖(2)(3)集合B沒有最大元，最小元是2.四、證明題1試證明集合等式： A (B C)=(A B) (A C)解：設(shè)，若x A (B C),則x A或x B C即x A或x B且x A或x C即xAB且xAC即 x T=(A B) (A C)所以 A (B C) (A B) (A C)反之若 x (A B) (A C),則 x A B 且 x A C即x A或x B且x A或x C即x A或x B C即 x A (B C)所以 (A B)(A C) A (B C)因此A (B C)=(A B)(A C)2試證明集合等式A (B C)=(A B) (A C) 解：設(shè) S=A (B C),T = (A B) (A C)若 x S,則 x A 且 x B C 即 x A 且 x B 或 x A 且 x C，也即 x A B 或 x A C 即 x T 所以S T反之，若 x T ，則 x A B 或 x A C即x A且x B或x A且x C也即 x A 且 x B C 即 x S 所以 T S因此 T=S.3 .對(duì)任意三個(gè)集合A, B和C,試證明：若A B = A C,且A ，則B = C解：設(shè) x A, y B則x,y AxB,因?yàn)?AxB = AxC ,故乂,丫 AxC,則 y C,所以 B C，設(shè)x A, z C,則<x,z> ZxB,因?yàn)?AxB = AxC ，故 <x,z> AxB, 則 z B 所以 C B故得 A=B4 .試證明：若R與S是集合A上的自反關(guān)系，則RAS也是集合A上的自 反關(guān)系解：Ri 和 R2 是自反的，x A, <x, x> R2,則<乂，x> R1CR2,所以是Ri AR2自反的。