矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形
,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,8.7,矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形,一、多項(xiàng)式的伴侶矩陣,二、矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形,三、例題講析,四、練習(xí),一、多項(xiàng)式的伴侶矩陣,對數(shù)域 上的一個(gè)多項(xiàng)式,稱矩陣,為多項(xiàng)式 的伴侶陣。,1,、定義,以上命題表明,給定一個(gè) 次多項(xiàng)式,2,、命題,一般地,:,已知一個(gè)矩陣,對于它的每一個(gè)非常數(shù)不變因子,都能求出其伴侶陣,.,注:,一定有一個(gè) 階矩陣,它的特征,矩陣只有一個(gè)非常數(shù)的不變因子,.,的伴侶陣 的不變因子為,于是,設(shè) 是 階方陣,其特征矩陣 中非常數(shù),的不變因子有 個(gè),:,因而有,令,3,、方法,作 階矩陣,其中,二、矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形,相似于,。,2,、定義,稱定理中的 為矩陣 的有理,標(biāo)準(zhǔn)形。,矩陣 是數(shù)量矩陣的充分必要條件是它的特征矩陣的不變因子都是非常數(shù)。,1,、定理,13,3,、推論,數(shù)域 上 方陣 在上相似于唯一的一個(gè)有理標(biāo)準(zhǔn)形,稱為 的有理標(biāo)準(zhǔn)形,.,設(shè) 是數(shù)域 上 維線性空間 的線性變換,,則在 中存在一組基,使 在該基下的矩陣是,有理標(biāo)準(zhǔn)形,并且這個(gè)有理標(biāo)準(zhǔn)形由 唯一,決定的,稱為 的有理標(biāo)準(zhǔn)形,.,4,、定理,14,5,、定理,15,求,的有理標(biāo)準(zhǔn)形。,三、例題講析,例,解:,容易看出,故,的有理標(biāo)準(zhǔn)形為,返回,2.,設(shè) ,則 為數(shù)量矩陣的充分必要條件是,它的特征矩陣 的 階行列式因子 是,次的。,1.,設(shè) ,而 為它的不變,因子,證明:,四、練習(xí),