單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,一階微分方程的求解,3.3,電路暫態(tài)分析的目的是為了得到,電路的時(shí)域響應(yīng),。,建立動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)方程，得到一階微分方程組（或一階微分方程），再求該方程組的解。,因此暫態(tài)分析的實(shí)質(zhì)就是如何獲得并且,求解電路的常微分方程,。,3.3 一階微分方程的求解,一階微分方程的求解可歸結(jié)為在給定初始條件下，,求微分方程的初值問題,基本思想：,在初值問題存在唯一解的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，在若干個(gè)時(shí)間離散點(diǎn)上，,用差分方程代替微分方程,，然后逐點(diǎn)求解差分方程，得到各時(shí)間離散點(diǎn) 、處的函數(shù) 近似值、,當(dāng)兩相鄰離散點(diǎn)之間的間隔較小時(shí)，用一階差商,取代一階導(dǎo)數(shù),一.前向歐拉法,令步長(zhǎng) ，則,其近似值為：,近似解的誤差首先是由,差商,近似代替,微商,引起的，這種近似代替所產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差。還有一種誤差稱為舍入誤差，這種誤差是由于計(jì)算時(shí)數(shù)值舍入引起的。,前向歐拉法的幾何意義：,在任一步長(zhǎng)內(nèi)，用一段直線代替函數(shù) 的曲線，此直線段的斜率等于該函數(shù)在該步長(zhǎng),起點(diǎn),的斜率。,歐拉法的幾何意義：過點(diǎn)A0（t0，y0），A1（t1，y1），A n（t n，y n），斜率分別為f（t0，y0），f（t1，y1），f（tn，y n）所連接的一條折線，所以歐拉法亦稱為,歐拉折線法,。,例1.應(yīng)用前向歐拉法解初值問題,取步長(zhǎng),h,=0.1，并把計(jì)算結(jié)果與精確解比較,解：據(jù)前向歐拉法,又,有：,【,思路,】用歐拉法求解常微分方程的初值問題時(shí)，首先熟練掌握歐拉公式的一般形式，根據(jù)具體題目寫出找出歐拉公式的迭代式，并根據(jù)初始條件和所給步長(zhǎng)進(jìn)行迭代求解。,微分方程 是一階線性微分方程，可求出其通解：,則方程的解為：,從而有：,帶入初值 可得,一階非齊次線性微分方程,計(jì)算結(jié)果列表（為前向歐拉法計(jì)算近似值，為精確值）,n,0,1.0,0,0,0,1,1.1,0.271828183,0.345919876,0.074019693,2,1.2,0.684755578,0.866642536,0.181886958,3,1.3,1.276978344,1.607215079,0.330236735,4,1.4,2.093547688,2.620359552,0.526811864,5,1.5,3.187445122,3.967666295,0.780221173,6,1.6,4.620817846,5.720961527,1.100143681,7,1.7,6.466396378,7.963873479,1.497477101,正,分析：,當(dāng)步長(zhǎng)不是很小時(shí)，前向歐拉法的精度不,是很高。步長(zhǎng)取定后，步數(shù)越多，誤差越,大。,二、后向歐拉法,用一階差商近似代替 在一個(gè),步長(zhǎng)終點(diǎn),的一階導(dǎo)數(shù)，則原微分方程化為：,對(duì)于給定初始條件,的微分方程,其近似值：,在任一步長(zhǎng)內(nèi)，用一段直線,代替函數(shù) 的曲線，此直,線段的斜率等于該函數(shù)在該,步長(zhǎng),終點(diǎn),的斜率。,后向歐拉法的幾何意義：,精確值,近似值,注：后向歐拉法的兩種處理方式,前向Euler法為顯式，后向Euler法為隱式須解出,y,k,+1,.,可用迭代法,y,k+1,(,n,+1),=,y,k,+,hf,(,t,k+1,，,y,k+1,(n),),n=0，1，2，解得,y,k+1,，,其中,y,k+1,(0),=,y,k,+,hf,(,t,k,，,y,k,).,（結(jié)合前向歐拉法，預(yù)報(bào)）,例2.應(yīng)用后向歐拉法解初值問題,取步長(zhǎng)h=0.1，并把計(jì)算結(jié)果與精確解比較,解：據(jù)后向歐拉法,又,計(jì)算結(jié)果列表（,為后向歐拉法計(jì)算近似值，為精確值）,n,0,1.0,0,0,0,1,1.1,0.444282775,0.345919876,-0.098362899,2,1.2,1.106855535,0.866642536,-0.240212999,3,1.3,2.040960612,1.607215079,-0.433745533,4,1.4,3.308409773,2.620359552,-0.688050221,5,1.5,4.980911323,3.967666295,-1.013245028,6,1.6,7.141585856,5.720961527,-1.420624329,7,1.7,9.886697539,7.963873479,-1.922824060,負(fù),三.梯形法及其預(yù)估-矯正法,用一階差商近似地代替函數(shù)在一個(gè),步長(zhǎng)起點(diǎn)和終點(diǎn)的,一階導(dǎo)數(shù)的平均值,梯形公式,（歐拉中點(diǎn)公式）,近似值：,改進(jìn)歐拉法,顯然，梯形公式是隱式法，一般求 需要解方程，常采用迭代法，,初值,由顯式的歐拉公式給出：,然后,將 替代梯形公式等式右邊出現(xiàn)的,當(dāng)步長(zhǎng),h,足夠小，且由前向歐拉法計(jì)算的已是較好,的近似，則,迭代一、二次即可,預(yù)報(bào),校正,迭代次數(shù),幾何意義,Euler法,折線法,改進(jìn)Euler法,平均斜率折線法,例3.應(yīng)用梯形預(yù)估-矯正法解初值問題,取步長(zhǎng),h,=0.1，并把計(jì)算結(jié)果與精確解比較,解：據(jù)前向歐拉法,梯形預(yù)估-矯正,計(jì)算結(jié)果列表（為梯形預(yù)估-矯正法計(jì)算近似值，為精確值）,k,0,1.0,0,0,0,1,1.1,0.342377789,0.345919876,0.003542087,2,1.2,0.858314537,0.866642536,0.008327999,3,1.3,1.592749643,1.607215079,0.014465436,4,1.4,2.598298239,2.620359552,0.022061313,5,1.5,3.936444114,3.967666295,0.031222181,6,1.6,5.678907103,5.720961527,0.042054424,7,1.7,7.909209216,7.963873479,0.054664263,function T Y=Trapezia_reckon(odefun,ab,ya,M),%odefun:,微分方程,a,、,b,：計(jì)算區(qū)間,%ya,：初值,y(a)M,：等分?jǐn)?shù)目,%T:,離散的時(shí)間變量,Y,梯形公式的預(yù)估校正法解,h=(ab(2)-ab(1)/M;,步長(zhǎng),T=zeros(1,M+1);Y=zeros(1,M+1);,T=ab(1):h:ab(2);Y(1)=ya;,for j=1:M,k1=,feval,(odefun,T(j),Y(j);,k2=feval(odefun,T(j+1),Y(j)+h*k1);,Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2);,end,Function y=euler_3_3_2(t,x),y=2/t*x+t2*exp(t,）,T Y=Trapezia_reckon(euler_3_3_2,1 2,0,10),求解器,求解問題,特點(diǎn),說明,ode45,非剛性,一步算法；4，5階Runge-Kutta算法,大部分場(chǎng)合的首選算法,ode23,非剛性,一步算法；2，3階Runge-Kutta算法,使用于精度較低的情形,ode113,非剛性,多步法；變階次的Adams-Bashforth-Moulton 算法,計(jì)算時(shí)間比ode45短,ode23t,剛性,采用梯形算法,適合中度剛性問題的求解,ode15s,剛性,多步法；采用了數(shù)值差分算法,若ode45失效時(shí)，可嘗試使用;,ode23s,剛性,一步法；2階Rosebrock算法,當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比ode15s短,ode23tb,剛性,隱式Runge-Kutta算法,當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比ode15s短,不同求解器的特點(diǎn),在用常微分方程描述一個(gè)電路的暫態(tài)過程時(shí)，往往又包含著多個(gè)變化速度相差十分懸殊的子過程，這樣一類過程就認(rèn)為具有“剛性(stiff)”，描述這類過程的微分方程稱為“剛性問題”。,例如，電路某一變量以,e,-,t,緩慢衰減，而另一變量以,e,-1000,t,快速衰減，兩變量時(shí)間常數(shù)相差很大，建立的常微分方程就具有“剛性”。,剛性問題數(shù)值解的穩(wěn)定性通常被最快的模式控制，剛性問題解答的難度就在于其快變子過程的干擾。當(dāng)我們?cè)噲D在慢變區(qū)間上求解剛性問題時(shí)，盡管快變分量的值已衰減到微不足道，但這種快速變化的干擾仍嚴(yán)重影響數(shù)值解的穩(wěn)定性和精度，一般地說，隱型方法比顯型方法具有更大的穩(wěn)定性，因此使用隱型方法求解剛性方程組更為合適.,在MATLAB中，,ode23t、ode15s、ode23s、ode23tb,適合求解剛性問題。,