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1、 把 一 個 圓 沿 著 它 的 任 意 一 條 直 徑 對 折 ，重 復 幾 次 ， 你 發(fā) 現(xiàn) 了 什 么 ？ 由 此 你 能 得 到什 么 結 論 ？可 以 發(fā) 現(xiàn) ： 圓 是 軸 對 稱 圖 形 ， 任 何 一 條直 徑 所 在 直 線 都 是 它 的 對 稱 軸 。 探索垂徑定理 1 在 一 張 紙 上 任 意 畫 一 個 O， 沿 圓 周 將 圓 剪 下 ， 把 這 個 圓對 折 ， 使 圓 的 兩 半 部 分 重 合 2 得 到 一 條 折 痕 CD3 在 O上 任 取 一 點 A， 過 點 A作 CD折 痕 的 垂 線 ， 得 到 新 的折 痕 ， 其 中 ， 點 M是 兩 條
2、 折 痕 的 交 點 ， 即 垂 足 4 將 紙 打 開 ， 新 的 折 痕 與 圓 交 于 另 一 點 B， 如 圖 .問 題 ： （ 1） 右 圖 是 軸 對 稱 圖 形 嗎 ？ 如 果 是 ， 其 對 稱 軸 是 什 么 ？ （ 2） 你 能 發(fā) 現(xiàn) 圖 中 有 哪 些 等 量 關 系 ？ 說 一 說 你 的 理 由 。 駛 向 勝 利的 彼 岸做 一 做 ： 按 下 面 的 步 驟 做 一 做 歸 納 ：總 結 得 出 垂 徑 定 理 ： 垂 直 于 弦 的 直 徑 平 分 這 條 弦 ， 并且 平 分 弦 所 對 的 弧 。 駛 向 勝 利的 彼 岸由 CD是 直 徑 CD AB 可
3、 推 得 AC=BC, AD=BD. AM=BM, 探 索 垂 徑 定 理 的 逆 定 理 1.想 一 想 ： 如 下 圖 示 ， AB是 O的 弦 (不 是 直 徑 )， 作 一 條平 分 AB的 直 徑 CD， 交 AB于 點 M 同 學 們 利 用 圓 紙 片 動 手 做 一 做 ， 然 后 回 答 ： （ 1） 此 圖 是 軸對 稱 圖 形 嗎 ?如 果 是 ， 其 對 稱 軸 是 什 么 ?（ 2） 你 能 發(fā) 現(xiàn) 圖中 有 哪 些 等 量 關 系 ？ 說 一 說 你 的 理 由 。 駛 向 勝 利的 彼 岸n由 CD是 直 徑 AM=BM 可 推 得 AC=BC, CD AB, A
4、D=BD.平 分 弦 （ ） 的 直 徑 垂 直 于 弦 ,并 且 平 分 弦 所 對 的 兩 條 弧 . n 你 可 以 寫 出 相 應 的 命 題 嗎 ?n 相 信 自 己 是 最 棒 的 !知“二”推“三” 如 圖 ,在 下 列 五 個 條 件 中 :只 要 具 備 其 中 兩 個 條 件 ,就 可 推 出 其 余 三 個 結 論 . OA BCDM 過 圓 心 的 直 線 , AM=BM, CD AB, AC=BC, AD=BD. 垂徑定理及逆定理 OA BCDM條 件 結 論 命 題 垂 直 于 弦 的 直 徑 平 分 弦 ,并 且 平 分 弦 所 的 兩 條 弧 .平 分 弦 (不
5、 是 直 徑 )的 直 徑 垂 直 于 弦 ,并 且 平 分 弦 所 對 的 兩 條 弧 .平 分 弦 所 對 的 一 條 弧 的 直 徑 ,垂 直 平 分 弦 ,并 且 平 分 弦 所 對 的另 一 條 弧 .弦 的 垂 直 平 分 線 經 過 圓 心 ,并 且 平 分 這 條 弦 所 對 的 兩 條 弧 . 垂 直 于 弦 并 且 平 分 弦 所 對 的 一 條 弧 的 直 線 經 過 圓 心 ,并 且 平分 弦 和 所 對 的 另 一 條 弧 .平 分 弦 并 且 平 分 弦 所 對 的 一 條 弧 的 直 線 經 過 圓 心 ,垂 直 于 弦,并 且 平 分 弦 所 對 的 另 一 條
6、 弧 .平 分 弦 所 對 的 兩 條 弧 的 直 線 經 過 圓 心 ,并 且 垂 直 平 分 弦 . 挑戰(zhàn)自我垂徑定理的推論 如 果 圓 的 兩 條 弦 互 相 平 行 ,那 么 這 兩 條 弦 所 平 的 弧 相等 嗎 ? 老 師 提 示 : 這 兩 條 弦 在 圓 中 位 置 有 兩 種 情 況 : OA BC D1.兩 條 弦 在 圓 心 的 同 側 OA BC D2.兩 條 弦 在 圓 心 的 兩 側垂 徑 定 理 的 推 論 圓 的 兩 條 平 行 弦 所 夾 的 弧 相 等 . 2.已 知 ： 如 圖 ， 在 以 O為 圓 心 的 兩 個 同 心圓 中 ， 大 圓 的 弦 AB
7、交 小 圓 于 C， D兩 點 。你 認 為 AC和 BD有 什 么 關 系 ？ 為 什 么 ？證 明 ： 過 O作 OE AB， 垂 足 為 E， 則 AE BE， CE DE。 AE CE BE DE 即 AC BD .A C D BOE1.在 半 徑 為 30 的 O中 ， 弦 AB=36 ， 則 O到 AB的 距 離 是 = 。 OA BP24mm注 意 ： 解 決 有 關 弦 的 問 題 ， 過 圓 心 作弦 的 垂 線 ， 或 作 垂 直 于 弦 的 直 徑 ， 也是 一 種 常 用 輔 助 線 的 添 法 4821AB21AE ABOE 解 ： 222 AEOEOA cm 543
8、AEOEOA 2222 ACAB ABOD ACOE 證 明 ： 90ODAEADOEA AB21AD AC21， AE四 邊 形 ADOE為 矩 形 判 斷 下 列 說 法 的 正 誤 平 分 弧 的 直 徑 必 平 分 弧 所 對 的 弦 平 分 弦 的 直 線 必 垂 直 弦 垂 直 于 弦 的 直 徑 平 分 這 條 弦 平 分 弦 的 直 徑 垂 直 于 這 條 弦 弦 的 垂 直 平 分 線 是 圓 的 直 徑 平 分 弦 所 對 的 一 條 弧 的 直 徑 必 垂 直 這 條 弦 在 圓 中 ， 如 果 一 條 直 線 經 過 圓 心 且 平 分 弦 ， 必 平 分 此 弦 所
9、對 的 弧 分 別 過 弦 的 三 等 分 點 作 弦 的 垂 線 ， 將 弦 所 對 的 兩 條 弧 分 別 三 等 分 D A B O cm 35 E D C B A P O cm 52 垂 徑 定 理 2 駛 向 勝 利的 彼 岸 問 題 ： 你 知 道 趙 州 橋 嗎 ?它 是 1300多 年 前 我 國 隋 代 建 造 的 石拱 橋 , 是 我 國 古 代 人 民 勤 勞 與 智 慧 的 結 晶 它 的 主 橋 是 圓 弧形 ,它 的 跨 度 (弧 所 對 的 弦 的 長 )為 37.4m, 拱 高 (弧 的 中 點 到弦 的 距 離 )為 7.2m， 你 能 求 出 趙 洲 橋 主
10、 橋 拱 的 半 徑 嗎 ？ 趙 州 橋 主 橋 拱 的 半 徑 是 多 少 ？ A B 18.737.421AB21AD D C A B O cm 413 船能過拱橋嗎 變 形 題 ： 如 圖 ,某 地 有 一 圓 弧 形 拱 橋 ,橋 下 水 面 寬 為 7.2米 ,拱 頂 高 出水 面 2.4米 .現(xiàn) 有 一 艘 寬 3米 、 船 艙 頂 部 為 長 方 形 并 高 出 水面 2米 的 貨 船 要 經 過 這 里 ,此 貨 船 能 順 利 通 過 這 座 拱 橋 嗎？ 解 :如 圖 ,用 表 示 橋 拱 , 所 在 圓 的 圓 心 為 O,半 徑 為 Rm,經 過 圓 心 O作 弦 AB
11、的 垂 線 OD,D為 垂 足 ,與 相 交 于 點 C.根據(jù) 垂 徑 定 理 ,D是 AB的 中 點 ,C是 的 中 點 ,CD就 是 拱 高 .由 題 設 得 AB AB AB AB .5.121,4.2,2.7 MNHNCDAB ABAD 21 ,6.32.721 DCOCOD .4.2 R在 Rt OAD中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得, 222 ODADOA .)4.2(6.3 222 RR即解 得 R3.9（ m） . 在 Rt ONH 中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得,22 HNONOH .6.35.19.3 22 OH即 .21.25.16.3 DH 此 貨 船 能 順 利
12、 通 過 這 座 拱 橋 .OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5 DH=OH-OD 練一練 在 直 徑 為 650mm的 圓 柱 形 油 槽 內 裝 入 一 些 油 后 ， 截 面如 圖 所 示 .若 油 面 寬 AB = 600mm， 求 油 的 最 大 深 度 . BA OED 600 變形題 在 直 徑 為 650mm的 圓 柱 形 油 槽 內 裝 入 一 些 油 后 ， 截 面 如圖 所 示 .若 油 面 寬 AB = 600mm， 求 油 的 最 大 深 度 . BA O600 650DC 方法規(guī)律 想一想 E O A B D C 已 知 ： 如 圖 ， 直 徑 CD AB， 垂
13、 足 為 E . 若 半 徑 R = 2 ， AB = , 求 OE、 DE 的 長 . 若 半 徑 R = 2 ， OE = 1 ， 求 AB、 DE 的 長 .32 由 、 兩 題 的 啟 發(fā) ， 你 能 總 結 出 什 么 規(guī) 律 嗎 ？ 方法總結n 對 于 一 個 圓 中 的 弦 長 a、 圓 心 到 弦 的 距 離 d、 圓 半徑 r、 弓 形 高 h， 這 四 個 量 中 ， 只 要 已 知 其 中 任 意 兩個 量 ， 就 可 以 求 出 另 外 兩 個 量 ， 如 圖 有 ： d + h = r 222 )2(adr hda2 O 試一試P93 駛 向 勝 利的 彼 岸挑戰(zhàn)自我
14、填一填 1、 判 斷 ： 垂 直 于 弦 的 直 線 平 分 這 條 弦 ,并 且 平 分 弦 所 對 的 兩條 弧 . （ ） 平 分 弦 所 對 的 一 條 弧 的 直 徑 一 定 平 分 這 條 弦 所 對 的另 一 條 弧 . （ ） 經 過 弦 的 中 點 的 直 徑 一 定 垂 直 于 弦 .（ ） 圓 的 兩 條 弦 所 夾 的 弧 相 等 ， 則 這 兩 條 弦 平 行 . （ ） 弦 的 垂 直 平 分 線 一 定 平 分 這 條 弦 所 對 的 弧 . （ ） 直 徑 平 分 弦 直 徑 垂 直 于 弦 = 直 徑 平 分 弦 所 對 的 弧 直 徑 垂 直 于 弦 直 徑 平 分 弦 （ 不 是 直 徑 ） 直 徑 平 分 弦 所 對 的 弧 直 徑 平 分 弧 所 對 的 弦 直 徑 平 分 弧 直 徑 垂 直 于 弧 所 對 的 弦 垂 徑 定 理 和 勾 股 定 理 相 結 合 ， 構 造 直 角 三 角 形 ， 可 解 決 弦 長 、 半 徑 、 弦心 距 等 計 算 問 題 = 、 圓 的 軸 對 稱 性 、 垂 徑 定 理 及 其 逆 定 理 的 圖 式 不 經 歷 風 雨 ， 怎 么 見 彩 虹沒 有 人 能 隨 隨 便 便 成 功 !
垂徑定理 (2)
