單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第六章變質(zhì)量動(dòng)力學(xué),6,1,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程,1.,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程,設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力為,質(zhì)點(diǎn)系在瞬時(shí),t,的動(dòng)量為,質(zhì)點(diǎn)系在瞬時(shí),t,+d,t,的動(dòng)量為,根據(jù)動(dòng)量定理,得,將上式展開得,略去高階微量,并以,d,t,除各項(xiàng),得,或,（61）,式中 是微小質(zhì)量,d,m,在并入前,對(duì)于質(zhì)點(diǎn),m,得相對(duì)速度,令,（62）,則式（61）改寫為,（63）,上式稱為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程,式中,m,是變量,是代數(shù)量,因 具有力的量綱且與噴氣方向相反,稱為反推力,2.,常用的幾種質(zhì)量變化規(guī)律,（1）質(zhì)量按線性規(guī)律變化,設(shè)變化規(guī)律為,（64）,式中 皆為常數(shù),該式代表質(zhì)量隨時(shí)間呈線性變化,由 知,其反推力為,（65）,可見,當(dāng) 為常數(shù)時(shí),反推力也為常量,且與 方向相反,（2）質(zhì)量按指數(shù)規(guī)律變化,設(shè)變化規(guī)律為,（66）,式中 皆為常數(shù),由 知,其反推力為,（67）,令 表示僅在反推力 作用下變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的加速度,（68）,則當(dāng) 為常量時(shí),也是常量,即由反推力引起的加速度為常量,例,6,1,設(shè)火箭在真空中運(yùn)動(dòng)且不受任何外力作用,方向與火箭運(yùn)功方向相反,單級(jí)火箭,其噴射出的氣體相對(duì)于速度 的大小不變,此問題稱齊奧爾科夫斯基第一類問題,對(duì)這一問題,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程（63）,在運(yùn)動(dòng)方向上的投影為,或,（a）,設(shè)初始時(shí)刻,t,=0,時(shí),將式（a）積分得,（b）,設(shè)火箭燃燒終了時(shí)質(zhì)量為,速度為,v,令,（c）,稱N為質(zhì)量比（有些資料取 為質(zhì)量比）,令,（b）,稱 為火箭的特征速度,它代表這一級(jí)火箭在初始速度 的基礎(chǔ)上所能增加的速度,由式（d）可得,（c）,稱此式為齊奧爾科夫斯基公式,它表明在 已知時(shí),欲使火箭達(dá)到特征速度 所應(yīng)具備的質(zhì)量比,如果火箭在真空中且處于均勻重力場(chǎng)內(nèi),沿鉛直方向向上運(yùn)動(dòng),稱為齊奧爾科夫斯基第二類問題,與第一問題的區(qū)別是有均勻重力作用,運(yùn)動(dòng)微分方程（63）在鉛直方向上的投影為,（f）,設(shè)初始時(shí)刻,t,=0,時(shí),且 為常量,將式（f）積分得,（g）,例,6,2,單級(jí)火箭具有重大的缺欠,任何時(shí)候火箭的反推力不僅要使有效載荷產(chǎn)生加速度,二級(jí)火箭及多級(jí)火箭,而且也要使龐大的殼體產(chǎn)生同樣的加速度,這就限制火箭速度的提高,多級(jí)火箭可以克服這一缺欠,那就是燃料裝得越多其殼體也就越大,當(dāng)前一級(jí)火箭燃料燃燒終了時(shí),連同其殼體一起拋棄,后一級(jí)火箭開始工作,二級(jí)火箭由3部分組成,第一級(jí)火箭,第二級(jí)火箭和載荷,設(shè)第一級(jí)火箭總質(zhì)量為,其內(nèi)攜帶燃料的質(zhì)量為,且,第二級(jí)火箭總質(zhì)量為,其內(nèi)攜帶燃料的質(zhì)量為,載荷的質(zhì)量為,設(shè)燃料從火箭噴出的相對(duì)速度,=常數(shù),方向與火箭速度方向相反,每秒噴出的燃料質(zhì)量也為常數(shù),火箭由靜止開始運(yùn)動(dòng),略去重力,由例6.1式（b）可得,第一級(jí)火箭的燃料全部噴射完時(shí)火箭的速度為,（a）,當(dāng)?shù)诙?jí)火箭的燃料也全部噴射完時(shí) 速度為,（b）,如果取,則由式（a）及（b）可得,如果用單級(jí)火箭,仍采用上面的參數(shù),所求得的速度就要低的多,設(shè)二級(jí)火箭的總質(zhì)量（不含載荷質(zhì)量 ）,為常量,則 的不同分配將影響火箭的速度,將式（a）代入式（b）,記,則 是 的函數(shù),為求 的最大值,將其對(duì) 求導(dǎo),并令,化簡(jiǎn)并只取,M/P,冪級(jí)數(shù)展開的首項(xiàng),得,（d）,滿足式（c）的 將使 達(dá)到最大值,將式（c）代入式（a）（b）,略去 及 的高次項(xiàng),可得,（d）,如果取,則,如果仍用,則由式（d）可得,這顯然比 時(shí)的 要大得多,下面討論多級(jí)火箭,設(shè)各級(jí)火箭的質(zhì)量分別為,各級(jí)火箭內(nèi)的燃料質(zhì)量為,載荷質(zhì)量為,各級(jí)火箭噴射氣體的相對(duì)速度方向都與火箭速度方向相反,大小分別為,不計(jì)重力,則由例61式（b）可以求得,第,i,級(jí)火箭在燃料噴射完畢時(shí)所增加的速度,令,（e）,則得第,n,級(jí)火箭燃料燃燒完畢時(shí)的速度,（f）,利用拉格朗日乘子法,可以求得滿足下式的 將使火箭的總質(zhì)量為最小值,（g）,式中,為拉格朗日乘子,將式（g）代入式（f）,設(shè) 皆為已知,則可以求得,再將求得的,代入式（,g,）,即可得,如果有,則用上面方法可以求得,（h）,（i）,式（i）表明,欲使火箭總質(zhì)量為最小,火箭中每一級(jí)火箭燃燒完畢所增加的速度 值應(yīng)相同,即欲使火箭達(dá)到給定的最終速度,使火箭總質(zhì)量為最小值的條件是,火箭中每一級(jí)燃料燃燒完畢時(shí)所增加的速度必須相同,滿足這一條件時(shí)總質(zhì)量為,（j）,利用 相等這一條件,可以求得多級(jí)火箭中各級(jí)火箭之間的質(zhì)量分配,例如二級(jí)火箭（,n,=2,）,三級(jí)火箭（,n,=3,）,如圖所示,橫坐標(biāo),n,代表火箭級(jí)數(shù),縱坐標(biāo) 代表火箭總質(zhì)量 與載荷質(zhì)量 之比,欲將人造地球衛(wèi)星送入軌道,火箭的最終速度應(yīng)達(dá)到,設(shè),按上面公式可以求得火箭總質(zhì)量的最小值：,一級(jí)火箭（,n,=1,）,（即不可能達(dá)到7.8km/s）,二級(jí)火箭（,n,=2,）,三級(jí)火箭（,n,=3,）,四級(jí)火箭（,n,=4,）,五級(jí)火箭（,n,=5,）,n,級(jí)火箭（,n,）,6,2,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)普遍定理,研究變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量,動(dòng)量矩及動(dòng)能的變化規(guī)律所使用的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理,及動(dòng)能定理統(tǒng)稱變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)普遍定理,1.,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理,（69）,將式（62）（63）代入式（69）得,（610）,記并入（或放出）質(zhì)量的絕對(duì)速度為,即,則式（610）可寫為,（611）,記,（612）,稱 為由于并入（或放出）質(zhì)量的絕對(duì)速度引起的反推力,將其代入式（611）得,（613）,式（613）稱為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式：,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用其上的外力與由于并入（或放出）,質(zhì)量的絕對(duì)速度而引起的反推力的矢量和,將式（613）積分,設(shè),t,=0,時(shí)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為,速度為,得,（614）,式（614）稱為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式,如果并入或放出質(zhì)量的絕對(duì)速度,則式（613）成為,此式與不變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理形式相同,但其,m=m(t),是變量,將其積分有,顯然,即使,也不是常量,2.,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一點(diǎn),O,的動(dòng)量矩為,（615）,式中 為從點(diǎn),O,指向該質(zhì)點(diǎn)的矢徑,點(diǎn),O,為定點(diǎn),將變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式（613）代入可得,（616）,式（616）稱變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力的合力對(duì),該點(diǎn)之矩與由于并入（或放出）,質(zhì)量的絕對(duì)速度引起的反推力對(duì)該點(diǎn)力矩的矢量和,3.,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式（613）可以寫成,（617）,將上式各項(xiàng)點(diǎn)乘,得,由于,因此上式可寫為,（618）,或,（619）,式（618）或（619）稱變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分與放出（或并入）的元質(zhì)量由于,其牽連速度而具有的動(dòng)能的代數(shù)和,等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力合力的元功與由于并入（或放出）,質(zhì)量的絕對(duì)速度引起的反推力所作的元功之和,由于,即,因此式（618）也可以寫成為,（620）,因此變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理也可以這樣敘述：,變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分與并入（或放出）的元質(zhì)量,由于牽連運(yùn)動(dòng)而具有的動(dòng)能之差,等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力的合力與反推力所作的元功之和,例,6,3,圖為傳送砂子的裝置,然后流出斜面,設(shè)砂子以流量,q,=,常數(shù)（,kg/s,）從大漏斗中流下,斜面上砂子是定常流動(dòng),砂子從漏斗鉛直流下,其質(zhì)量保持不變,不計(jì)摩擦,求傾角應(yīng)為多少,以速度 流下傾角為,的傳送帶上并沿斜面下滑,l,長(zhǎng)度,若使砂子在斜面上的速度 為常數(shù),解：,研究傳送帶上的砂子,由變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理式（618）,有,式中 為漏斗流入到傳送帶上的砂子質(zhì)量元,為從傳送帶上流出的砂子質(zhì)量元,為 流出時(shí)的絕對(duì)速度,有,常數(shù),將這些關(guān)系式代入前式得,式中s為砂子沿傳送帶方向的位移,由于流量q,質(zhì)量m及斜面長(zhǎng)度l之間有關(guān)系：,或,因此有,即,得,例,6,4,設(shè)小方塊長(zhǎng)度極短,初始靜止,小方塊最外端在桌邊,總長(zhǎng)度為,l,的一排方塊放在圖所示水平桌面上,求在如下兩種情況下,當(dāng)小方塊已經(jīng)有一半離開桌面時(shí),總質(zhì)量為,數(shù)量很多,相鄰的小方塊互相接觸而不連接,如圖加一水平的常力,留在桌面上的小方塊的速度,（1）忽略桌面上的摩擦力,（,2,）桌面與小方塊間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)為,f,解：,研究仍在桌面上的一群小方塊,并將其視為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn),小方塊離開桌面瞬時(shí),選坐標(biāo),Ox,（1）由于,且無摩擦,將動(dòng)量定理式（,6,10,）投影到軸,Ox,上,有,式中,化簡(jiǎn)后分離變量得,將上式積分,利用初始條件,x=l,時(shí),v,0,當(dāng),x=l/,2,時(shí),有,（2）當(dāng)有摩擦?xí)r,式（610）成為,化簡(jiǎn)后得到,將上式分離變量并積分,利用初始條件,x=l,時(shí),v,0,利用,x=l/,2,時(shí),有,