單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第四章 根軌跡,已知開環(huán)系統(tǒng)的極點和零點，當增益變化的時候，閉環(huán)系統(tǒng)的極點變化的軌跡。,4.1,閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,4.1.1,根軌跡的定義,這一章考慮如下的反饋系統(tǒng)。,設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為（,zi,pj,可能復(fù)數(shù)）：,其中的,Kr,稱為根軌跡增益。,注意：與開環(huán)增益不同！,4.1,閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,根軌跡就是當,Kr,變化時（通常是零變到正無窮大），閉環(huán)極點的軌跡。設(shè)分子和分母的次數(shù)分別為,m,和,n,，通常,n,m,，由于上述方程是,n,次的，故根軌跡有,n,根分支。,上式等價于：,4.1.2,幅值條件和相角條件,其中第一個式子稱為根軌跡的相角條件，第二個式子稱為根軌跡的幅值條件。,注意到,s+z,就是,-z,到,s,的向量，因此點,s,在根軌跡上的充要條件是：,（所有開環(huán)零點到,s,的幅角之和）,-,（所有開環(huán)零點到,s,的幅角之和）,=,的奇數(shù)倍。,例：,作下圖的根軌跡,開環(huán)只有極點，極點到,s,的幅角之和為,奇數(shù)倍。,4,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,根軌跡的起點和終點,由于,當,Kr=0,時，,根軌跡起源于開環(huán)的極點（正好,n,個）。當,Kr=,時，,根軌跡終止于開環(huán)的零點。（多余的,n-m,支奔向何方？）,4,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,實軸上的根軌跡,復(fù)數(shù)零極點對實軸上的根軌跡沒有影響，所以實軸上的根軌跡由實數(shù)零極點確定。,一個實數(shù)在根軌跡上，如果它的右面有奇數(shù)個零極點。,復(fù)平面上的根軌跡,因為這是實數(shù)多項式，復(fù)根成對出現(xiàn)，所以復(fù)平面上的根軌跡關(guān)于實軸對稱。,4,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,無窮遠的根軌跡,有,n-m,支根軌跡趨向無窮大，它們與實軸的夾角分別為,與實軸交點為,這是因為,4,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,實軸上根軌跡的分離和匯合,兩支實軸上的根軌跡必定要分離或者匯合，分離和匯合點是重根?？捎们笾馗霓k法求出這類點。,或者,對應(yīng)正的,Kr,。,4,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,根軌跡與虛軸的交點,利用,Routh,表可以求出臨界穩(wěn)定的,Kr,，和對應(yīng)的虛軸上的極點。,列出,Routh,陣列,使,s,行為零,得對應(yīng)虛極點。,出射角和入射角,出射角是根軌跡離開開環(huán)極點的角度，入射角是進入開環(huán)零點的角度。計算公式為：,入射角,出射角,4,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,例：求,的根軌跡,1,。在復(fù)平面上作出起點與終點,起點：,0,，,-1,，,-2,±j2,終點：,-4,2,。實軸上的根軌跡,（,-,，,-4,，,-1,，,0,3,。實軸上的分離點和匯合點,解方程得到,s=-5.12(,匯合點,), s=-0.48,（分離點）,4,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,例：求,的根軌跡,4,。無窮遠性質(zhì)：,漸近線夾角：,±60,，,180,。實軸交點,（,-5+4,）,/3,5,。與虛軸交點：,±j1.71,Kr=6.64,4,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,6.,分離點和匯合點,s=-5.12, s=-0.48,7,。出射角：約為,-116.5,-5.12,-0.48,練習,A4-1, A4-5(1) (3)(5)(7)(9),A4-6,