復變函數積分的概念
單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第三章 復變函數的積分,1,復變函數積分的概念,一 復變函數積分的定義,二 積分存在的條件及其計算法,三 積分的性質,設,是復平面一條光滑(或按段光滑)的曲線,,如果選定,的兩個可能的方向中的一個作為正方向(或,正向),那么我們可以將,理解為帶有方向的曲線,稱,為,有向曲線,,,如果,是一條以,與,為端點的有向曲,線,如果從,到,為,的正向,則稱從,到,方向,為的有向曲線稱為,反向曲線,記為,除特,別聲明外,有向曲線,的正向總是指起點到終點的方,向,對一簡單閉曲線總是指逆時針方向。,一 復變函數積分的定義,在區(qū)域,定義,設函數,有定義,,為,內一條以,為起點,為終點的光滑的有向曲線,,如果將曲線,從起點到終點依次任意分成,個小弧段,,分點為,在每個小弧段,任取一點,作和式,記,為小弧段,小的弧長,,趨向于零時,,當,如果對,的無論怎樣分法及,在小,弧段上的無論怎樣取法,和式有唯一的極限,,則稱,極限值為函數,在,上的,積分,,記作,即,如果,是閉曲線,則我們將沿閉曲線的積分記為:,上連續(xù),,如果函數,在區(qū)域,即,為,上的連續(xù)函數。,設,設光滑曲線,是由方程:,確定,其正向是從起點,到終點,的方向,其中,為,起點,參數,,是終點,的參數,,且,由于,二 積分存在的條件及其計算法,所以,由線積分存在定理得,當,上面的兩個和式的極,限都是存在的,且有,表明:,1)當,是連續(xù)函數,,是光滑曲線,則,一定存在;,2)計算復函數的積分可以轉化為計算兩個平面上,對坐標的曲線積分。,根據對坐標的曲線積分的計算法,有,因此,如果,是分段光滑的有向曲線,即,是由幾段光,滑的有向曲線,依次首尾相接而構成的,則,我們規(guī)定:,例1,1)從原點,沿曲線,到點,2)從原點,沿曲線,到點,3)從原點,沿實軸到點1,再平行于虛軸到點,計算積分,其中,為,解,1),2),3),從,到,從,到,例2,1)從原點,沿曲線,到點,2)從原點,沿曲線,到點,3)從原點,沿實軸到點1,再平行于虛軸到點,計算積分,其中,為,解,1),2),3),從,到,從,到,例3,設,為正向圓周,計算:,1),2),解,利用,與格林公式,,1),2),原式,原式,例4,設,為正向圓周:,計算,其中,,為正整數。,解,設,的方程為,從,到,則,因此,,當,時,,,當,時,,即,1),2),為常數),3),4),特別,當曲線,弧長為,時,,在,上滿足,則有,三 積分的性質,