單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第三章 復變函數的積分,1,復變函數積分的概念,一 復變函數積分的定義,二 積分存在的條件及其計算法,三 積分的性質,設,是復平面一條光滑（或按段光滑）的曲線，,如果選定,的兩個可能的方向中的一個作為正方向(或,正向)，那么我們可以將,理解為帶有方向的曲線，稱,為,有向曲線,，,如果,是一條以,與,為端點的有向曲,線，如果從,到,為,的正向，則稱從,到,方向,為的有向曲線稱為,反向曲線，記為,除特,別聲明外，有向曲線,的正向總是指起點到終點的方,向，對一簡單閉曲線總是指逆時針方向。,一 復變函數積分的定義,在區(qū)域,定義,設函數,有定義，,為,內一條以,為起點,為終點的光滑的有向曲線，,如果將曲線,從起點到終點依次任意分成,個小弧段，,分點為,在每個小弧段,任取一點,作和式,記,為小弧段,小的弧長，,趨向于零時，,當,如果對,的無論怎樣分法及,在小,弧段上的無論怎樣取法，和式有唯一的極限，,則稱,極限值為函數,在,上的,積分,，記作,即,如果,是閉曲線，則我們將沿閉曲線的積分記為：,上連續(xù)，,如果函數,在區(qū)域,即,為,上的連續(xù)函數。,設,設光滑曲線,是由方程：,確定，其正向是從起點,到終點,的方向，其中,為,起點,參數，,是終點,的參數，,且,由于,二 積分存在的條件及其計算法,所以,由線積分存在定理得，當,上面的兩個和式的極,限都是存在的，且有,表明：,1）當,是連續(xù)函數，,是光滑曲線，則,一定存在；,2）計算復函數的積分可以轉化為計算兩個平面上,對坐標的曲線積分。,根據對坐標的曲線積分的計算法，有,因此,如果,是分段光滑的有向曲線，即,是由幾段光,滑的有向曲線,依次首尾相接而構成的，則,我們規(guī)定：,例1,1）從原點,沿曲線,到點,2）從原點,沿曲線,到點,3）從原點,沿實軸到點1，再平行于虛軸到點,計算積分,其中,為,解,1）,2）,3）,從,到,從,到,例2,1）從原點,沿曲線,到點,2）從原點,沿曲線,到點,3）從原點,沿實軸到點1，再平行于虛軸到點,計算積分,其中,為,解,1）,2）,3）,從,到,從,到,例3,設,為正向圓周,計算：,1）,2）,解,利用,與格林公式，,1）,2）,原式,原式,例4,設,為正向圓周：,計算,其中，,為正整數。,解,設,的方程為,從,到,則,因此，,當,時,，,當,時，,即,1）,2）,為常數),3）,4）,特別，當曲線,弧長為,時，,在,上滿足,則有,三 積分的性質,