單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第四章,特征值和特征向量、,矩陣的相似對(duì)角化,第一節(jié) 特征值與特征向量,一 特征值與特征向量的概念,二 特征值和特征向量的求法,第一節(jié) 特征值與特征向量,三 特征值和特征向量的性質(zhì),一、特征值與特征向量的概念,定義,為階方陣，,為數(shù)，,為維非零向量，,若,則,稱為,的,特征值,，,稱為,的,特征向量,（）,注,并不一定唯一；,階方陣,的特征值，就是使齊次線性方程組,特征向量，特征值問(wèn)題只針對(duì)與方陣；,有非零解的,值，即滿足,的,都是,方陣,的特征值,定義,稱以,為未知數(shù)的一元次方程,為,的,特征方程,定義,稱以,為變量的一元次多項(xiàng)式,為,的,特征多項(xiàng)式,定理,設(shè)階方陣的特征值為,則,證明,當(dāng)是,的特征值時(shí)，,的特征多項(xiàng),式可分解為,令,得,即,證明,因?yàn)樾辛惺?它的展開式中，主對(duì)角線上元素的乘積,是其中的一項(xiàng)，由行列式的定義，展開式中的其它項(xiàng)至,多含個(gè)主對(duì)角線上的元素，,含的項(xiàng)只能在主對(duì)角線上元素的乘積項(xiàng)中,故有,比較，有,因此，特征多項(xiàng)式中,定義,方陣,的主對(duì)角線上的元素之和稱為方陣,的,跡,.,記為,二、特征值和特征向量的性質(zhì),推論,階方陣,可逆,的個(gè)特征值全不為零.,若數(shù),為可逆陣的,的特征值，,則 為 的特征值,推論,則 為 的特征值,推論,則 為 的特征值,推論,則 為 的特征值,推論,特別,單位陣,的一個(gè),特征值為,三、應(yīng)用舉例,、若,為可逆陣,的特征值，則,的一個(gè)特征值為（）,、證階方陣,的滿足，則,的特征值為,或,、三階方陣,的三個(gè)特征值為、，則,（）,、求下列方陣的特征值與特征向量,四、特征向量的性質(zhì),定理,互不相等的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。,定理,互不相等的特征值對(duì)應(yīng)的各自線性無(wú)關(guān)的特征,向量并在一塊，所得的向量組仍然,線性無(wú)關(guān)。,定理,若階矩陣,的任重,特征值,對(duì)應(yīng)的線性無(wú),關(guān)的特征,向量,的個(gè)數(shù)不超過(guò),一 相似矩陣的定義、性質(zhì),二 矩陣可相似對(duì)角化的條件,三 應(yīng)用舉例,第二節(jié) 矩陣相似對(duì)角化,一、定義,定義,設(shè),、,都是階矩陣，若有可逆矩陣,，,使得,則稱,是,的,相似矩陣,，或者說(shuō)矩陣,與,相似,稱為對(duì),進(jìn)行,相似變換,，,對(duì),進(jìn)行運(yùn)算,可逆矩陣,稱為把,變成,的,相似變換矩陣,記作：,二、性質(zhì),（1）反身性：,（2）對(duì)稱性：,（3）傳遞性：,；,，則,；,，,，則,；,（4）,，則,（5）,，則,（6）,，且,可逆，則,定理,若階矩陣,與,相似，則,與,有相同的特征,多項(xiàng)式，從而,與,有相同的特征值,推論,若階矩陣,與對(duì)角矩陣,相似，,就是,的個(gè)特征值,則,而對(duì)對(duì)角陣,有,則,若有可逆,矩陣,使,（8）,，則,的多項(xiàng)式,特別,這樣可以方便地計(jì)算,的多項(xiàng)式,（7）,，則,若能尋得相似變換矩陣,使,對(duì)階方陣,，,稱之為,把方陣,對(duì)角化,三、相似對(duì)角化,定理的推論說(shuō)明，,如果階矩陣,與對(duì)角矩陣,相,似，,那么，使得,的矩陣,又是怎樣構(gòu)成的呢？,則,的主對(duì)角線上的元素就是,的全部特征值,設(shè)存在,可逆，,使得,有,于是有,因?yàn)?可逆，,故,于是,是,的個(gè)線性,無(wú),關(guān)的特征向量。,反之，,即,設(shè),可逆，且,則,若,有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,所以,即,與對(duì)角矩陣,相似,定理,階矩陣,能與對(duì)角矩陣,相似,有階線性無(wú)關(guān)的特征向量,推論,如果階矩陣,有個(gè)不同的特征值，則矩陣,注意,中的列向量,的排列順序要與,的順序一致,（1）,可相似對(duì)角化,（2）,是,的基礎(chǔ)解系中的解向量，,因,的取法不是唯一的，,故,因此,也是不唯一的,（3）,所以如果不計(jì),的排列順序，,的根只有個(gè)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）,又,是唯一的,則,推論,若階矩陣,可相似對(duì)角化,的任重,特征值,對(duì)應(yīng)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征,向量,例題：,3.實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,1.n元實(shí)向量的內(nèi)積、施密特正交化方法、正交矩陣,2.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì),第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,一、,內(nèi)積的定義與性質(zhì),1、定義,設(shè)維實(shí)向量,稱實(shí)數(shù),為向量,與,的,內(nèi)積,，記作,注：,內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，用矩陣形式表示，有,、性質(zhì),（1）對(duì)稱性：,（2）線性性：,（3）正定性：,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),推廣性質(zhì)：,、長(zhǎng)度的概念,二、向量的長(zhǎng)度與夾角,令,為維向量,的,長(zhǎng)度,（,模,或,范數(shù),）.,特別,長(zhǎng)度為的向量稱為,單位向量,.,（1）正定性：,（2）齊次性：,（3）三角不等式：,、性質(zhì),（4）柯西施瓦茲（,CauchySchwarz,）不等式:,當(dāng)且僅當(dāng),與,的線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立.,注,當(dāng),時(shí)，,由非零向量,得到單位向量,是,的單位向量.,稱為把,單位化,或,標(biāo)準(zhǔn)化,.,的過(guò)程,、夾角,設(shè),與,為維空間的兩個(gè)非零向量，,與,的夾,角的余弦為,因此,與,的,夾角,為,例,解,練習(xí),三、正交向量組及其求法,1、正交,當(dāng),，稱,與,正交,.,注,若，則,與任何向量都正交.,對(duì)于非零向量,與,，,2、正交組,若向量組中的向量?jī)蓛烧?，且均為非零向量，則,這個(gè)向量組稱為,正交向量組,，簡(jiǎn)稱,正交組,.,3、標(biāo)準(zhǔn)正交組,由單位向量組成的正交組稱為,標(biāo)準(zhǔn)正交組,.,定理,4、性質(zhì),正交向量組必為線性無(wú)關(guān)組.,定理,若向量,與,與,中每個(gè)向量都正交，,則,的任一線性組合也正交.,5、正交基,若,正交向量組,則稱,為向量空間,上的一個(gè),正交基,.,為向量空間,上的一個(gè)基，,6、標(biāo)準(zhǔn)正交基,若標(biāo)準(zhǔn),正交組,則稱,為向量空間,上的一個(gè),標(biāo)準(zhǔn)正交基,.,為向量空間,上的一個(gè)基，,7、施密特（,Schmidt,）正交化法,設(shè),是向量空間,的一個(gè)基，要求向量空,間,的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，就是,要找到一組兩兩正交的單,位向量,，使,與,等價(jià)，,此問(wèn)題稱為把,這組基,標(biāo)準(zhǔn)正交化,.,1）正交化,令,就得到,的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.,如果,上述方法稱為施密特,（,Schmidt,）,正交化法.,2）標(biāo)準(zhǔn)化,令,是,的一組基，則,就是,注,則,兩兩正交，且與,等價(jià).,上述,方法中的兩個(gè)向量組對(duì)任意的,與,都是等價(jià)的.,四、應(yīng)用舉例,例1,證明：中，勾股定理,成立,的充要條件是正交.,解,所以,成立的充要條件是,即正交.,已知三維向量空間中，,例2,正交，,試求,是三維向量空間的一個(gè)正交基.,解,設(shè),則,即,例4,已知向量,求的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),正交基.,解,設(shè)非零向量 都于正交，,即滿足方程,或,其基礎(chǔ)解系為,令,1）正交化,令,2）標(biāo)準(zhǔn)化,令,五、正交矩陣和正交變換,1、定義,如果階矩陣滿足：,則稱,為,正交矩陣,.,則,可表示為,若,按列分塊表示為,亦即,其中,的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.,的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.,正交矩陣,的個(gè)列（行）向量構(gòu)成向量空間,2、正交矩陣的充要條件,的行向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.,注,3、正交變換,若,為正交矩陣，則,=,線性變換稱為,正交變換,.,設(shè),=,為,正交變換,，則有,經(jīng),正交變換后向量的長(zhǎng)度保持不變,內(nèi)積保持不變,注,從而,夾角保持不變,.,判斷下列矩陣是否為正交矩陣.,定理,對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).,說(shuō)明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說(shuō)明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣,定理,對(duì)稱矩陣的互異特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交.,定理,若階對(duì)稱陣,的任重,特征值對(duì)應(yīng)的線性,無(wú)關(guān)的特征,向量恰有個(gè)（不證）,定理,若為階對(duì)稱陣，則必有正交矩陣,，使得,六、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì),根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化,為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：,將特征向量正交化;,3.,將特征向量單位化.,4.,2.,1.,二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法,例,設(shè)矩陣,求一個(gè)正交矩陣P，使得,為對(duì)角陣。,例,設(shè)三階對(duì)稱矩陣A的特征值為1,2,3;矩陣A的屬于,特征值1，2的特征向量分別為,（1）,A的屬于特征值3的特征向量,。,（2）,求矩陣A,。,