2019-2020年高二數(shù)學 第二章 第1節(jié) 曲線與方程知識精講 理 人教實驗B版選修21【本講教育信息】一、教學內容：選修21 曲線與方程二、教學目標：了解解析幾何的基本思想，了解坐標法研究幾何問題的方法；掌握用幾種重要的方法求曲線的方程的方法和步驟。三、知識要點分析：1、求曲線方程的步驟：（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序實?shù)對（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件p的點M的集合P=Mp（M）；（3）用坐標表示條件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化方程f（x，y）=0為最簡形式；（5）說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上。2、求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、交軌法。（1）直接法：將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程，即直接通過建立x、y之間的關系，構成f（x，y）0，此法是求軌跡的最基本的方法。（2）定義法：運用解析幾何中一些常用定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關系，從而求出軌跡方程。注：用定義法求曲線方程，靈活運用題設重要條件，確定動點滿足的等量關系，結合圓錐曲線定義確定方程的類型。步驟：列出等量關系式；由等式的幾何意義，結合圓錐曲線的定義確定軌跡的形狀；寫出方程。利用“定義法”求軌跡方程的關鍵：找出動點滿足的等量關系。（3）代入法（相關點法或轉移法）：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成的軌跡的動點P（x，y）卻隨著另一動點Q（x1，y1）的運動而有規(guī)律地運動，且動點Q的軌跡為已給定或容易求得，則可先將x1、y1表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程。（4）待定系數(shù)法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可；（5）參數(shù)法：當動點P（x，y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x、y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程（6）交軌法：求兩動曲線交點的軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程。要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念，若是求軌跡則不僅要求出方程，而且還需說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形、在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需說明及討論清楚?！镜湫屠}】例1. 已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數(shù)，求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線 解：建立坐標系如圖所示，設|AB|=2a，則A（a，0），B（a，0）.設M（x，y）是軌跡上任意一點. 則由題設，得=，代入坐標，得=，化簡得（12）x2+（12）y2+2a（1+2）x+（12）a2=0（1）當=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線（y軸）. （2）當1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0，點M的軌跡是以（，0）為圓心，為半徑的圓. 感悟：本題所用的方法是直接法，在所求得的曲線方程中含參數(shù)，應通過對參數(shù)的討論來說明軌跡的類型，即是什么曲線，它的位置，形狀，大小如何，此題易忽視討論=1的情況。建立適當?shù)淖鴺讼?，用直接法求得軌跡方程，再由值的變化討論方程所表示的曲線。例2. 如圖所示，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程。 命題意圖：本題主要考查利用“相關點代入法”求曲線的軌跡方程：錯解分析：欲求Q的軌跡方程，應先求R的軌跡方程，若學生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實質，很難解決此題. 技巧與方法：對某些較復雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程. 解：設AB的中點為R，坐標為（x，y），則在RtABP中，|AR|=|PR| 又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36（x2+y2）又|AR|=|PR|=所以有（x4）2+y2=36（x2+y2），即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動. 設Q（x，y），R（x1，y1），因為R是PQ的中點，所以x1=，代入方程x2+y24x10=0，得10=0整理得：x2+y2=56，這就是所求的頂點Q的軌跡方程. 例3. 已知圓x2+y2=16，A（2，0），若P，Q是圓上的動點，且，求PQ中點的軌跡方程。解：設PQ中點M的坐標為（x，y），由已知圓的參數(shù)方程，可設，（1）又，化簡得代入（1）式，得，所以所求PQ中點的軌跡方程為。例4. 圓過點P（2，1）且和直線相切，圓心在直線y=2x上，求此圓的方程。解：設圓的方程為，由已知，解得a=1，b=2，r=或a=9，b=18，r=13.所以此圓的方程為。注意：求圓的方程，可先設所求圓的標準方程或一般方程，再由題設條件建立方程組，解方程組，確定方程中的待定系數(shù)。例5. 設點A和B為拋物線 y2=4px（p0）上原點以外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。 命題意圖：本題主要考查用“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程。知識依托：直線與拋物線的位置關系。 錯解分析：當設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）時，注意對“x1=x2”的討論。技巧與方法：將動點的坐標x、y用其他相關的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關于x、y的關系。解法一：設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）（x0）直線AB的方程為x=my+a由OMAB，得m=由y2=4px及x=my+a，消去x，得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa， x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2所以故x=my+4p，用m=代入，得x2+y24px=0（x0）故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0（x0），它表示以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點。解法二：設OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得AB的方程為，過定點，由OMAB，得M在以ON為直徑的圓上（O點除外）故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0（x0），它表示以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點。解法三：設M（x，y） （x0），OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以OA為直徑的圓 上，又在以OB為直徑的圓 上（O點除外），+得 x2+y24px=0（x0）故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0（x0），它表示以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點。本講涉及的數(shù)學思想、方法 1、曲線方程的意義；方程恰為曲線C的方程即曲線C恰為方程的曲線的充要條件；已知曲線求方程：求動點的軌跡方程；已知曲線方程求曲線：要做到不多不少剛剛好；曲線與曲線的交點坐標。2、注意動點應滿足的某些隱含條件，注意方程化簡時的等價性，主要是在去分母和兩邊平方時的變形，還要注意圖形可以有不同的位置或字母系數(shù)取不同值時的討論。預習導學案（期中考試復習）（一）預習前知1、什么是算法？2、畫程序框圖的規(guī)則是什么？（二）預習導學探究反思探究反思的任務：算法，程序框圖，概率，常用邏輯用語1、算法的特征：_2、當A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）3、對立事件的概率計算公式：_4、古典概型（1）古典概型的兩大特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；（2）古典概型的概率計算公式：_5、幾何概型的概率公式：P（A）=_6、原命題： 逆命題： 否命題： 逆否命題 ： 7、一般地，如果已知 ，那么我們就說 是 成立的 ；q是p成立的 ； 如果既有，又有qp，那么我們就說 是 成立的 。8、反證法：是從要證明的結論的反面出發(fā)，推出一個矛盾的結果，從而得到原結論成立的證明方法。有些問題直接證明時條件很少或無法從正面得到結論，但用反證法較易。用反證法證題的步驟是：（1） （2） （3） 【模擬試題】（答題時間：90分鐘）一、選擇題1. 如果命題“坐標滿足方程 的點都在曲線 上”不正確，那么以下正確的命題是（ ）A. 曲線 上的點的坐標都滿足方程 . B. 坐標滿足方程 的點有些在 上，有些不在 上. C. 坐標滿足方程 的點都不在曲線 上. D. 一定有不在曲線 上的點，其坐標滿足方程 . 2. 和y軸相切并且和曲線x2+y2=4 （0x2）相內切的動圓圓心的軌跡方程為（ ）。A. y2=4（x1）（x>0）B. y2=2（x+1）（0<x1）C. y2=4（x1）（0<x1）D. y2=2（x1）（0<x1） 3. 已知直線x+2y3=0與圓x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，若OPOQ，則m等于（ ）A. 3B. 3C. 1D. 14. 若中心在原點，焦點坐標為（0，5）的橢圓被直線3xy2=0截得的弦的中點的橫坐標為，則橢圓方程為（ ）A. B. C. D. *5. 已知定圓O內一點P（異于原點O），過P且與圓O相切的圓心軌跡是（ ）A. 線段B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線6. 到定點（，0）和定直線x=的距離之比為的動點軌跡方程是（ ）. A. =1B. =1： C. y2=1D. x2=1二、填空題*7. 高5米和3米的旗桿豎在水平地面上，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A（，0）和B（5，0），則在地面上觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡是_。*8. ABC中，A為動點，B、C為定點，B（，0），C（，0），且滿足條件sinCsinB=sinA，則動點A的軌跡方程為_。9. 已知圓過P（4，2）、Q（1，3）兩點，且在y軸上截得的線段長為4，則該圓的方程為_。三、計算題*10. 已知直角坐標系中，點Q（2，0），圓C的方程為x2+y2=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)（>0），求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。 11. 已知一動圓與圓外切，與圓內切，試求這個動圓圓心的軌跡方程。12. 已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點 向x軸作垂線段PP，求線段PP中點M的軌跡?！驹囶}答案】1、D 分析：舉例，若方程為 ，曲線為第一、三象限的角平分線，易知答案為D。2、C 分析：設動圓圓心為M（x，y），由圖可知x>0，設其半徑為r，則由相切條件， |MO|=2|x|，即， ，又4（x1）=y20， 所求方程為y2=4（x1）（0<x1）。3、A 解析：將直線方程變?yōu)閤=32y，代入圓的方程x2+y2+x6y+m=0，得（32y）2+y2+（32y）+m=0.整理得5y220y+12+m=0，設P（x1，y1）、Q（x2，y2）則=，y1+y2=4. 又P、Q在直線x=32y上，x1x2=（32y1）（32y2）=4y1y26（y1+y2）+9故y1y2+x1x2=5y1y26（y1+y2）+9=m3=0，故m=3.答案：A4、C 解析：由題意，可設橢圓方程為： =1，且a2=50+b2，即方程為=1. 將直線3xy2=0代入，整理成關于x的二次方程. 由x1+x2=1可求得b2=25，a2=75.答案：C5. B6. B7. 提示：在地面上觀測兩旗桿頂端仰角相等的點到兩旗桿距離的比等于兩旗桿高度的比。8、解析：由sinCsinB=sinA，得cb=a，動點A的軌跡應為雙曲線一支，且實軸長為，故其方程為.答案：9、解析：設所求圓的方程為（xa）2+（yb）2=r2則有 由此可寫出所求圓的方程.答案：x2+y22x12=0或x2+y210x8y+4=010、解：設MN切圓C于N，則|MN|2=|MO|2|ON|2，設點M（x，y），則，化簡，得（21）（x2+y2）42x+（1+42）=0 1）當=1時，動點M的軌跡方程為，表示一條直線。 2）當1時，方程化為，表示一個圓。11、解答如下：顯然兩定圓的圓心和半徑分別為設動圓圓心為M（x，y），半徑為R，則由題設有，由橢圓定義可知M在以，為焦點的橢圓上。，.故動圓圓心的軌跡方程為.12、解：設點 M的坐標為，點 的坐標為，則，.因為在圓上，所以將，代入方程得即1所以PP中點M的軌跡是一個橢圓。