2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料二次函數(shù)(I)二次方程問題其實(shí)質(zhì)就是其相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)(圖象與x軸的交點(diǎn))問題，因此，二次方程的實(shí)根分布問題，即二次方程的實(shí)根在什么區(qū)間內(nèi)的問題，借助于二次函數(shù)及其圖象利用形數(shù)結(jié)合的方法來研究是非常有益的。 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0)的二實(shí)根為x1,x2，(x1x2)，=b2-4ac，且、()是預(yù)先給定的兩個(gè)實(shí)數(shù)。 1當(dāng)兩根都在區(qū)間(,)內(nèi)，方程系數(shù)所滿足的充要條件： x1x2，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)f (x)的圖象有下列兩種情形(圖1) 當(dāng)a0時(shí)的充要條件是：0，-b/2a，f()0，f ()0 當(dāng)a0時(shí)的充要條件是：0，-b/2a，f()0，f ()0 兩種情形合并后的充要條件是：0，-b/2a，af()0，af ()0 2當(dāng)兩根中有且僅有一根在區(qū)間（，）內(nèi)，方程系數(shù)所滿足的充要條件： x1或x2，對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)的圖象有下列四種情形（圖2） 從四種情形得充要條件是： f ()f ()0 3當(dāng)兩根都不在區(qū)間，內(nèi)方程系數(shù)所滿足的充要條件： （1）兩根分別在區(qū)間，之外的兩旁時(shí)： x1x2，對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)的圖象有下列兩種情形（圖3）： 當(dāng)a0時(shí)的充要條件是：f ()0，f ()0 當(dāng)a0時(shí)的充要條件是：f ()0，f ()0 兩種情形合并后的充要條件是：af ()0，af ()0 （2）兩根分別在區(qū)間，之外的同旁時(shí)： x1x2或x1x2，對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)的圖象有下列四種情形（圖4）： 當(dāng) x1x2時(shí)的充要條件是：0，-b/2a，af ()0 當(dāng)x1x2時(shí)的充要條件是：0，-b/2a，af ()0 二次函數(shù)與二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相應(yīng)于一元二次函數(shù)的正值、負(fù)值區(qū)間。解不等式與證明不等式成立，經(jīng)常要用到二次函數(shù)的極值性質(zhì)、單調(diào)性、圖象與x軸的位置關(guān)系等。例題講解1. 已知方程x2+2px+1=0有一個(gè)根大于1，有一個(gè)根小于1，則P的取值為。2. 如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的兩個(gè)根一個(gè)小于零，另一個(gè)大于1，試確定m的范圍。 3. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0).若方程f(x)=x無實(shí)根，求證：方程ff(x)=x也無實(shí)根，4. 對(duì)二次函數(shù)f(x)= ax2+bx+c(a0)，求證，必存在x=M0，使f(M)均與a同號(hào)。5. 若a1,a2,an,b1,b2,bn都是實(shí)數(shù)，求證：（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n)6設(shè)二次函數(shù)f(x)= ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的兩個(gè)根x1,x2滿足0x1x21/a。 （1）當(dāng)x(0,x1)時(shí)，證明xf(x)x1 （2）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明：x0x1/2。7當(dāng)K為什么實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的兩個(gè)實(shí)根和分別滿足01和12？ 8函數(shù)y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在-3,3上的最小值是。 課后練習(xí)1f(x)是定義在全體實(shí)數(shù)上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于x=2為軸對(duì)稱，已知當(dāng)x(-2,2時(shí)f(x)的表達(dá)式為-x2+1，則當(dāng)x(-6,-2)時(shí)，f(x)的表達(dá)式是：(A)-x2+1，（B）-(x-2)2+1，(C)-(x+2)2+1，（D）-(x+4)2+1。（） 2已知x2-4x+b=0的一個(gè)根的相反數(shù)為x24x-b=0的根，則x2+bx-4=0的正根為。 3 已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb且f(-1)=-2，又f(x)2x對(duì)一切xR都成立，求a+b=? 4設(shè)0,，關(guān)于x的方程x2-2xcos+1=0有實(shí)根，則4x2+13x+23=。 5已知方程ax2+bx+c=0(a0)有實(shí)根x1與x2，設(shè)P=x1xx+x2xx,q=x1xx+x2xx,r=x1xx+x2xx則ap+bq+cr= 。 6若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)滿足f(x+2)=f(2-x)，那么f(0),f(-xx),f(xx)的大小關(guān)系是（A）f(0)f(xx)f(-xx)，(B)f(xx)f(0)f(-xx)，(C)f(-xx)f(0)f(xx)，(D)f(-xx)f(xx)f(0) 7若sin2x+cosx+a=0有實(shí)根，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？ 8已知x,y都是實(shí)數(shù)，C=x2+y2-xy-x+y，則C的最小值等于。 9代數(shù)式2x2+2xy+2y2+2x+4y+5的最小值為：（A）0（B）5（C）9/2（D）3 10函數(shù)f(x)=x4-2x2+2的單調(diào)增區(qū)間是：（A）1,+)，（B）(-,-1)1,+)，(C)-1,01,+)，(D)以上都不對(duì) 11若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx，有f(x1)=f(x2)(x1x2)則f(x1+x2)= 。 12給定函數(shù)f(x)=x2+ax+b設(shè)P，q是滿足P+q=1的實(shí)數(shù)，證明，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y，均有：pf(x)+qf(y)f(px+qy)，則0p1 課后練習(xí)答案1（D）；2.2；3.110；4.40；5.0；6.(D)；7.-5/4,1；8.-1/3；9.(D)；10.(D)；11.0；12.(略)。 例題答案：1解：記f(x)=x2+2px+1，則f(x)r的圖象開口向上，當(dāng)f(x)與x軸的兩交點(diǎn)一個(gè)在（1,0）左方，另一個(gè)在（1,0）右方時(shí)，必有f(1)0，即：12+2P10，即P1 所以P的取值為（，1） 2解：令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根據(jù)題設(shè)條件，f(x)的圖形是下列兩種情形之一（圖5）： 得充要條件：（1-m2）f(0)0,(1-m2)f(1)0；即1-m20,(1-m2)(2m-m2)0 解得：-1m0 3證明：已知f(x)=ax2+bx+c(a0) 方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0無實(shí)根，f(x)-x仍是二次函數(shù)，f(x)-x=0仍是二次方程，它無實(shí)根即=(b-1)2-4ac0 若a0，則函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸上方， y0，即f(x)-x0恒成立，即：f(x)x對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立。 對(duì)f(x)， 有f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x無實(shí)根 若a0，函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸下方 y0，即f(x)-x0恒成立 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f(x) 0恒成立 對(duì)實(shí)數(shù)f(x)，有：f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x無實(shí)根 綜上可知，當(dāng)f(x)=x無實(shí)根時(shí)，方程f(f(x)=x也無實(shí)根 4分析：這是一道證明題。從圖象上看，當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，f(x)0的解集要么為全體實(shí)數(shù)集合R（0)；要么為（-,x0）(x0,+ )(=0,f(x0)=0)，要么為（-,x1）(x2,+) (0,f(x1)=f(x2)=0)，故總可以找到M0，MR，或M（-,x0）(x0,+)，或M（-,x1）(x2,+)，使f(M)0，因此af(M)0，對(duì)于a0的情形，也是如此，只不過f(M)0，從代數(shù)的角度看問題，af(x)0即a2x2+abx+ac0它有解且解集合中包含著x=M與x=-M（M0）一對(duì)相反數(shù)，因此，需考慮所對(duì)應(yīng)的二次方程的判別式。 證明：f(x)= ax2+bx+c(a0) af(x)= a2x2+abx+ac=1/44a2x2+4abx+4ac=1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac) af(x)0即:1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac)0 亦即(2ax+b)2-(b2-4ac)0 （1）當(dāng)=b2-4ac0時(shí)，af(x)0的解集為(-,+) （2）當(dāng)=b2-4ac=0時(shí)，af(x)0的解集為(-,-b/2a)（-b/2a,+) （3）當(dāng)=b2-4ac0時(shí)，方程af(x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1x2)，相應(yīng)的不等式af(x)0的解集合為：（-,x1）(x2,+) 因?yàn)槿N情況下的解集合均為無窮區(qū)間，故均存在-M與M同屬于解集合，使af(M)0，從而a與f(M)同號(hào)。 5證明：構(gòu)造二次函數(shù) f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+(anx-bn)2=(a12+a22+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+anbn)x+(b12+b22+b2n) 當(dāng)a12+a22+a2n0即a1,a2,an不全為零時(shí)，顯然有對(duì)xR，f(x)0，故f(x)0的判別式：=4（a1b1+a2b2+anbn）2-4(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n)0 即（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n) 當(dāng)a1=a2=an=0時(shí)，結(jié)論顯然成立，故命題成立。 評(píng)注本例中的不等式即是著名的柯西不等式，有時(shí)它也寫作。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1/b1=a2/b2=an/bn時(shí)成立。 6分析該題是一九九七年全國(guó)普通高考理工類數(shù)學(xué)第24題，它綜合考查二次函數(shù)、二次方程和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析、解決問題的能力，當(dāng)年沒有幾個(gè)考生能完整解答此題?？梢詮拇鷶?shù)與幾何兩個(gè)角度展開思考： 從代數(shù)角度看，f(x)是二次函數(shù)，從而方程f(x)-x=0即ax2+(b-1)x+c=0(a0)是二次方程，由于x1,x2是它的兩個(gè)根，且方程中x2的系數(shù)是a，因此有表達(dá)式：f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)進(jìn)而，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和題設(shè)條件，可得第（1）問的證明。 從幾何角度看，拋物線y=f(x)-x開口向上，因此在區(qū)間x1,x2的外部，f(x)-x0，（1）的左端得證。其次，拋物線y=f(x)的開口也向上，又x1=f(x1)，于是為了證得（1）的右端，相當(dāng)于要求證明函數(shù)f(x)在區(qū)間0,x1的最大值是f(x1)，這相當(dāng)于證明f(0)f(x1)，也即Cx1，利用韋達(dá)定理和題設(shè)，立即可得。 至于（）的證明，應(yīng)用配方法可得x0=-b/2a，進(jìn)而利用韋達(dá)定理與題設(shè)，即得證明。 證明：欲證：xf(x)x 只須證：0f(x)-xx1-x 因?yàn)榉匠蘤(x)-x=0的兩根為x1,x2,f(x)=ax2+bx+c(a0)，f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 式即: 0a(x-x1)(x-x2)x1-x a0，x(0,x1),x1-x0,a(x1-x)0 式兩邊同除以a(x1-x)0，得：0x2-x1/a，即：xx21/a+x 這由已知條件：0xx1x21/a，即得：xx2(1/a)1/a+x， 故命題得證。 （2）欲證x0x1/2，因?yàn)閤0=-b/2a，故只須證：x0-x1/2=-b/2a-x1/20 由韋達(dá)定理，x1+x2=(-b-1)/a，(x1+x2)/2=-(b-1)/2a，代入式，有(-(b/2a)-(x1/2)=(x2/2)-(1/(2a)0 ,即：x21/a 由已知：0x1x21/a，命題得證。 評(píng)注證（1）用到了二次函數(shù)的零點(diǎn)式f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 證（2）用到了x0=-(b/(2a),(x1+x2)/2)=-(b-1)/2a)，都是二次函數(shù)二次方程的基礎(chǔ)知識(shí)。 7分析它是一個(gè)一元二次方程的問題，利用求根公式解出、，再解不等式01和12順理成章，但計(jì)算變形較繁難。如果把此題的方程的左端看作是一個(gè)二次函數(shù)的話，結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)來解此題，那就簡(jiǎn)便得多了。 解：設(shè)y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2，則因?yàn)閍=70，且方程f(x)=0有兩實(shí)根，所以它的圖象是開口向上且與X軸相交于兩點(diǎn)（,0）、(,0)的拋物線。由于01，12，可知在x或x時(shí)，f(x)取正值；在x時(shí)，f(x)取負(fù)值。于是，當(dāng)x分列取0,1，2時(shí)，有：f(0)=k2-k-20，f(1)=k2-2k-80，f(2)=k2-3k0解這三個(gè)不等式組成的不等式組，可得-2k-1和3k4。 顯然，上述三個(gè)一元二次不等式解起來要容易得多。 8分析這是1996年北京高中一年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的復(fù)試題，是一個(gè)四次函數(shù)的最值問題。表面上看起來很難。但借助于配方法、換元法及二次函數(shù)極（最）值性質(zhì)，可得結(jié)果。 解：y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 =(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+5 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)+5 =(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+5 =(x2+5x+5)2+4 設(shè)Z=x2+5x+5，則y=Z2+4，對(duì)Z=x2+5x+5=(x+5/2)2-5/4，x-3,3，易知Zmin=-5/4，Zmax=29 y=Z2+4，Z-5/4,29拋物線開口向上，對(duì)稱軸Z=0-5/4,29，ymin=4 故y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在-3,3上的最小值是4。