2019-2020年高中數學競賽輔導資料平面幾何證明1 線段或角相等的證明（1）利用全等或相似多邊形；（2）利用等腰；（3）利用平行四邊形；（4）利用等量代換；（5）利用平行線的性質或利用比例關系（6）利用圓中的等量關系等。2 線段或角的和差倍分的證明（1）轉化為相等問題。如要證明a=bc，可以先作出線段p=bc，再去證明a=p，即所謂“截長補短”，角的問題仿此進行。（2）直接用已知的定理。例如：中位線定理，Rt斜邊上的中線等于斜邊的一半；的外角等于不相鄰的內角之和；圓周角等于同弧所對圓心角的一半等等。3 兩線平行與垂直的證明（1）利用兩線平行與垂直的判定定理。（2）利用平行四邊形的性質可證明平行；利用等腰的“三線合一”可證明垂直。（3）利用比例關系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。例題講解1從O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點作弦AE平行于CD，連結BE交CD于F。求證：BE平分CD。2ABC內接于O，P是弧 AB上的一點，過P作OA、OB的垂線，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT。3已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個交點，兩外公切線P1P2、Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點。求證：O1AO2=M1AM2。4在ABC中，AB>AC，A的外角平分線交ABC的外接圓于D，DEAB于E，求證：AE=。.5ABC的頂點B在O外，BA、BC均與O相交，過BA與圓的交點K引ABC平分線的垂線，交O于P，交BC于M。求證：線段PM為圓心到ABC平分線距離的2倍。6在ABC中，AP為A的平分線，AM為BC邊上的中線，過B作BHAP于H，AM的延長線交BH于Q，求證：PQAB。7菱形ABCD的內切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。求證：MQNP。8ABCD是圓內接四邊形，其對角線交于P，M、N分別是AD、BC的中點，過M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證：KPAB。9以ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點D、E。過D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G，線段DG、EF交于點M。求證：AMBC。例題答案：1. 分析1：構造兩個全等。連結ED、AC、AF。CF=DFACFEDFPAB=AEB=PFB分析2：利用圓中的等量關系。連結OF、OP、OB。PFB=POB注：連結OP、OA、OF，證明A、O、F、P四點共圓亦可。2. 分析：只需證， PMPN=MSNT。（1=2，3=4）APMPBNPMPN=AMBN（BNT=AMS，BTN=MAS）BNTSMAMSNT=AMBN3. 分析：設B為兩圓的另一交點，連結并延長BA交P1P2于C，交O1O2于M，則C為P1P2的中點，且P1M1CMP2M2，故CM為M1M2的中垂線。在O1M上截取MO3=MO2，則M1AO3=M2AO2。故只需證O1AM1=O3AM1，即證。由P1O1M1P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。4. 分析：方法1、2AE=AB-AC 在BE上截取EF=AE，只需證BF=AC，連結DC、DB、DF，從而只需證DBFDCA DF=DA，DBF=DCA，DFB=DAC DFA=DAF=DAG。方法2、延長CA至G，使AG=AE，則只需證BE=CG 連結DG、DC、DB，則只需證DBEDCG DE=DG，DBE=DCG，DEB=DGC=Rt。5.分析：若角平分線過O，則P、M重合，PM=0，結論顯然成立。若角平分線不過O，則延長DO至D，使OD=OD，則只需證DD=PM。連結DP、DM，則只需證DMPD為平行四邊形。過O作mPK，則DD,KP，DPK=DKPBL平分ABC，MKBLBL為MK的中垂線DKB=DMKDPK=DMK，DPDM。而D DPM，DMPD為平行四邊形。6.分析：方法1、結合中線和角平分線的性質，考慮用比例證明平行。倍長中線：延長AM至M，使AM=MA，連結BA，如圖6-1。PQABABQ=180-(HBA+BAH+CAP)= 180-90-CAP=90-BAP=ABQ方法2、結合角平分線和BHAH聯想對稱知識。延長BH交AC的延長線于B，如圖6-2。則H為BB的中點，因為M為BC的中點，連結HM，則HMB/C。延長HM交AB于O，則O為AB的中點。延長MO至M，使OM=OM，連結MA、MB，則AMBM是平行四邊形，MPAM，QMBM。于是，所以PQAB。7.分析：由ABCD知：要證MQNP，只需證AMQ=CPN，結合A=C知，只需證AMQCPN，AMCN=AQCP。連結AC、BD，其交點為內切圓心O。設MN與O切于K，連結OE、OM、OK、ON、OF。記ABO=，MOK=，KON=，則EOM=，FON=，EOF=2+2=180-2。BON=90-NOF-COF=90-=CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM又OCN=MAO，OCNMAO，于是，AMCN=AOCO同理，AQCP=AOCO。8. 分析：延長KP交AB于L，則只需證PAL+APL=90，即只需證PDC+KPC=90，只需證PDC=PKF，因為P、F、K、E四點共圓，故只需證PDC=PEF，即EFDC。DMECNF9. 分析：連結BE、CD交于H，則H為垂心，故AHBC。（同一法）設AHBC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面證M1、M2重合。OM1DFOM1=。OM2EGOM2=。只需證OGDF=EGOF，即RtOEGRtODFDOF=DHB=EHC=EOG。