專題 4.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 【考情分析】 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin 2xcos 2x1， tan x sin xcos x 2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 ， 的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式 2 【重點知識梳理】 知識點一 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin 2cos 21(R) (2)商數(shù)關(guān)系：tan . sin cos (k 2，k Z) 2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧 技巧 解讀 適合題型 切弦互化 主要利用公式 tan 化成正弦、 sin cos 余弦，或者利用公式 tan 化成正 sin cos 切 表達式中含有 sin ，cos 與 tan “1”的變換 1sin 2cos 2cos 2(1tan 2) (sin cos )22sin cos tan 4 表達式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化 和積轉(zhuǎn)換 利用關(guān)系式(sin cos ) 212sin cos 進行變形、轉(zhuǎn)化 表達式中含有 sin cos 或 sin cos 知識點二 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2k(kZ) 2 2 正弦 sin sin_ sin_ sin_ cos_ cos_ 余弦 cos cos_ cos_ cos_ sin_ sin_ 正切 tan tan_ tan_ tan_ 【典型題分析】 高頻考點一 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 【例 1】 （2020河南鄭州中學(xué)模擬）已知 5，則 cos2 sin 2 的值是( ) sin 3cos 3cos sin 12 A. B 35 35 C3 D3 【答案】 A 【解析】(1)由 5 得 5，可得 tan 2，則 cos2 sin 2cos 2sin cos sin 3cos 3cos sin tan 33 tan 12 .故選 A. cos2 sin cos cos2 sin2 1 tan 1 tan2 35 【變式探究】 （2020河北正定中學(xué)模擬）已知 為第二象限角， sin ，cos 是關(guān)于 x 的方程 2x2( 1)xm0(mR)的兩根，則 sin cos ( )3 A. B. 1 32 1 32 C. D3 3 【答案】B 【解析】因為 sin ，cos 是方程 2x2( 1)xm 0(mR)的兩根，所以 sin cos ，sin 3 1 32 cos ，可得(sin cos )212sin cos 1m ，解得 m .因為 為第二象限角，所 m2 2 32 32 以 sin 0，cos 0，即 sin cos 0，因為(sin cos )212sin cos 1m1 ，所以 sin 32 cos .故選 B. 1 32 1 32 高頻考點二 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 【例 2】 （2020山東省實驗中學(xué)模擬）已知 cos a，則 cos sin 的值是 ( 6 ) (56 ) (23 ) 【答案】0 【解析】因為 cos cos cos a，sin sin cos a，所以( 56 ) (6 ) (6 ) (23 ) 2 (6 ) (6 ) cos sin 0.( 56 ) (23 ) 【變式探究】 （2020河南商丘一中模擬）設(shè) f() (12sin 0)， 2sin cos cos 1 sin2 cos(32 ) sin2(2 ) 則 f .( 236) 【答案】 3 【解析】因為 f() ，所以 f 2sin cos cos 1 sin2 sin cos2 2sin cos cos 2sin2 sin cos 1 2sin sin 1 2sin 1tan .( 236) 1 tan( 236) 1 tan( 4 6) 1 tan 6 3 高頻考點三同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及應(yīng)用 【例 3】 （2020新課標）已知 ，且 ，則 （ ） ()0,cos285sin A. B. 5 3 C. D. 13 59 【答案】A 【解析】 ，得 ，cos28526cos80 即 ，解得 或 （舍去） ，23403s2 又 . 25(0,)sin1cos 【方法技巧】同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法 (1)利用 sin2cos 21 可實現(xiàn) 的正弦、余弦的互化，利用 tan 可以實現(xiàn)角 的弦切互化 sincos (2)由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值，因為利用“平方關(guān)系” 公式，需求 平方根，會出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論 (3)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于 sincos，sincos，sin cos 這三個式子，利用 (sincos)212sincos，可以知一求二 (4)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1sin 2cos 2，sin 21cos 2，cos 21sin 2. 【變式探究】(2019高考全國卷) 已知 ，2sin 2 cos 21，則 sin ( )( 0，2) A. B. C. D. 15 55 33 255 【答案】B 【解析】由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 12 sin 21，即 2sin cos 1sin 2.因為 ，所以 cos ，所以 2sin 1sin 2 ，解得 sin ，故選 B。( 0，2) 1 sin2 1 sin2 55 高頻考點四 同角三角函數(shù)的基本式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 【例 4】 （2020浙江省寧波中學(xué)模擬）已知 f(x) (nZ) cos2（n x）sin2（n x）cos2（2n 1） x (1)化簡 f(x)的表達式； (2)求 f( )f( )的值 2 018 5041 009 【解析】(1)當 n 為偶數(shù)，即 n2k(kZ)時， f(x) cos2（2k x）sin2（2k x）cos2（22k 1） x sin 2x； cos2xsin2（ x）cos2（ x） cos2x（ sin x）2（ cos x）2 當 n 為奇數(shù)，即 n2k1( kZ)時， f(x) cos2（2k 1） xsin2（2k 1） xcos22（2k 1） 1 x cos22k （ x）sin22k （ x）cos22（2k 1） （ x） cos2（ x）sin2（ x）cos2（ x） （ cos x）2sin2x（ cos x）2 sin 2x， 綜上得 f(x)sin 2x. (2)由(1)得 f( )f( ) 2 018 5041 009 sin 2 sin 2 018 1 0082 018 sin 2 sin 2( ) 018 2 2 018 sin 2 cos 2 1. 018 018 【方法技巧】同角三角函數(shù)基本關(guān)系在求值與化簡時，常用方法有 (1)弦切互化法：主要利用公式 tanx 進行切化弦或弦化切，如 ， sinxcosx asinx bcosxcsinx dcosx asin2x bsinxcosxc cos2x 等類型可進行弦化切 (2)和積轉(zhuǎn)換法：對于 sincos，sincos，sin cos 這三個式子，利用 (sincos)212sin cos 可以知一求二 (3)巧用“1”的變換： 1sin 2cos 2cos 2(1tan 2)sin 2 tan .( 1 1tan2) 4 【變式探究】 （2020哈爾濱三中模擬）已知x0，sin(x)cos x . 15 (1)求 sin xcos x 的值； (2)求 的值 sin 2x 2sin2x1 tan x 【解析】(1)由已知，得 sin xcos x ， 15 兩邊平方得 sin2x2sin x cos xcos 2x ， 125 整理得 2sin xcos x . 2425 (sin xcos x)212sin x cos x ， 4925 由 x0 知，sin x 0， 又 sin xcos x 0， 1225 cos x 0，sin xcos x 0， 故 sin xcos x . 75 (2) sin 2x 2sin2x1 tan x 2sin xcos x sin x1 sin xcos x 2sin xcos xcos x sin xcos x sin x . 242515 75 24175