專題 1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 【核心素養(yǎng)分析】 1.理解命題的概念。 2.了解“若 p，則 q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系。 3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義。 4.重點考查數(shù)學抽象、邏輯推理能力的核心素養(yǎng)。 【知識梳理】 知識點一 命題及其關(guān)系 1命題 用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判 斷為假的語句叫做假命題 2四種命題及其相互關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 (2)四種命題的真假關(guān)系 兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性； 兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系 知識點二 充分條件與必要條件 1充分條件、必要條件與充要條件的概念 若 pq，則 p 是 q 的充分條件，q 是 p 的必要條件 p 是 q 的充分不必要條件 pq 且 qp p 是 q 的必要不充分條件 pq 且 qp p 是 q 的充要條件 pq p 是 q 的既不充分也不必要條 件 pq 且 qp 【特別提醒】 1充要條件的兩個結(jié)論 (1)若 p 是 q 的充分不必要條件，q 是 r 的充分不必要條件，則 p 是 r 的充分不必要條件 (2)若 p 是 q 的充分不必要條件，則綈 q 是綈 p 的充分不必要條件 2一些常見詞語及其否定 詞語 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一個是 不等于 不大于 【典例剖析】 高頻考點一 四種命題及其相互關(guān)系 例 1、（2020福建三明一中模擬）命題“若 x21，則1x1”的逆否命題是() A若 x21，則 x1 或 x 1 B若1x1，則 x21 或 x1 D若 x1 或 x1，則 x21 【答案】D 【解析】命題的形式是“若 p，則 q”，由逆否命題的知識，可知其逆否命題為“若綈 q，則綈 p”的形式， 所以“若 x21，則1x1”的逆否命題是“若 x1 或 x1，則 x21”故選 D. 【規(guī)律方法】由原命題寫出其他三種命題的方法 由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將原命題的條件與結(jié)論互換即得逆命 題，將原命題的條件與結(jié)論同時否定即得否命題，將原命題的條件與結(jié)論互換的同時進行否定即得逆否命 題。 【變式探究】 （2020浙江杭州十四中模擬）有下列四個命題，其中真命題是( ) “若 xy1，則 lg xlg y0”的逆命題； “若 abac，則 a(bc)”的否命題； “若 b0，則方程 x22bxb2b0 有實根”的逆否命題； “等邊三角形的三個內(nèi)角均為 60”的逆命題 A B C D 【答案】B 【解析】 “若 xy1，則 lg xlg y0”的逆命題為“若 lg xlg y0，則 xy1”，該命題為真命題； “若 abac，則 a(bc)”的否命題為“若 abac，則 a 不垂直(b c)” ，由 abac 可得 a(bc) 0，據(jù)此可知 a 不垂直(bc)，該命題為真命題； 若 b0，則方程 x22bxb2b0 的判別式 ( 2b)24(b2b) 4b0，方程有實根，為真 命題，則其逆否命題為真命題； “等邊三角形的三個內(nèi)角均為 60”的逆命題為“ 三個內(nèi)角均為 60的三角形為等邊三角形”，該命題為 真命題 綜上可得，真命題是.故選 B. 高頻考點二 充分條件與必要條件的判斷 例 2、(1)(2019 高考天津卷 )設(shè) xR，則“x25x0”是“|x 1|1”的() A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 (2)(2019高考北京卷 )設(shè)函數(shù) f(x)cos xbsin x(b 為常數(shù))，則“b0”是“f(x)為偶函數(shù)”的() A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【答案】(1)B(2)C 【解析】(1)由 x25x0 可得 0 x5，由|x1|1 可得 0 x2.由于區(qū)間(0，2)是(0 ，5)的真子集，故 “x25x0”是 “|x1|1 ”的必要而不充分條件 (2)b0 時，f(x)cos x，顯然 f(x)是偶函數(shù)，故“b0”是“f(x)是偶函數(shù)”的充分條件；f(x) 是偶函 數(shù)，則有 f(x)f(x) ，即 cos(x)bsin(x)cos xbsin x，又 cos(x)cos x，sin(x) sin x，所以 cos x bsin xcos xbsin x，則 2bsin x0 對任意 xR 恒成立，得 b0，因此“b0”是“f(x)是偶函數(shù)” 的必要條件因此“b0”是“f(x)是偶函數(shù)” 的充分必要條件，故選 C. 【規(guī)律方法】充要條件的判斷方法 (1)定義法：根據(jù) pq，q p 進行判斷. (2)集合法：根據(jù)使 p，q 成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷 . (3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷.這 個方法特別適合以否定形式給出的問題. 【變式探究】（2020吉林長春外國語學校模擬）設(shè) xR，則“2x0”是“(x1)2 1”的() A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】2x0，則 x2，(x1)2 1，則1x1 1，即 0 x2，據(jù)此可知，“2x0”是 “(x1)21” 的必要不充分條件 高頻考點三 充分條件、必要條件的應(yīng)用 例 3、 （2020湖南株洲二中模擬）已知 Px|x 28x200，非空集合 Sx|1mx1m.若 xP 是 xS 的必要條件，求實數(shù) m 的取值范圍。 【解析】由 x28x200，得2x10， P x|2x10. xP 是 xS 的必要條件，則 SP. 解得 m3. 1 m 2，1 m10，) 又 S 為非空集合，1m1m，解得 m0. 綜上，m 的取值范圍是0，3. 【方法技巧】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵點 (1)先合理轉(zhuǎn)化條件,常通過有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象將恒成立問題和有解問題轉(zhuǎn)化為最值問題等 ,得到關(guān) 于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過解方程或不等式(組) 求出參數(shù)的值或取值范圍. (2)求解參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點值的檢驗 ,尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的 取值范圍時,不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍,處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象. 【變式探究】 （2020山西平遙中學模擬）若關(guān)于 x 的不等式|x1|a 成立的充分條件是 0 x4 ，則實 數(shù) a 的取值范圍是 () Aa1 Ba3 Da3 【答案】D 【解析】|x1|a ax1a 1ax1a，因為不等式|x1|a 成立的充分條件是 0 x4，所以 (0，4) (1a， 1a)，所以 a3，故 D 正確。 1 a0，1 a4) a1，a3)