2019-2020年高二數(shù)學(xué) 邏輯用語知識(shí)精講 文 人教實(shí)驗(yàn)A版選修1-1【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：邏輯用語二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：1. 命題：真命題、假命題2. 四種命題：逆命題與否命題 互為逆否命題互為逆否命題的兩個(gè)命題 同真同假。3. 充要條件：，則稱是的充分條件，是的必要條件。4. 邏輯聯(lián)結(jié)詞：或、且、非、中至少一個(gè)為真為真、中至少一個(gè)為假為假真（或假）為假（或真）5. 全稱量詞：“任意”、“全部”、“所有”6. 存在量詞：“存在一個(gè)”、“至少一個(gè)”【典型例題】例1 下列語句中是命題的有 ，其中真命題的有 。 等邊三角形是等腰三角形”； ； ； 一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；“大角所對(duì)的邊大于小角所對(duì)的邊”；“為有理數(shù)，則xy也都是有理數(shù)”。解：命題；真命題例2 命題“若，則x與y成反比例關(guān)系”的否命題是（ ）A. 若，則x與y成正比例關(guān)系B. 若，則x與y成反比例關(guān)系C. 若x與y不成反比例關(guān)系，則D. 若，則x與y不成反比例關(guān)系解答：選D。條件及結(jié)論同時(shí)否定、位置不變例3 寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假。（1）兩條平行線不相交（2）兩條對(duì)角線不相等的平行四邊形不是矩形（3）若，則解：（1）逆命題：若兩條直線不相交，則它們平行，為真命題。否命題：若兩條直線不平行，則它們相交，為真命題。逆否命題：若兩條直線相交，則它們不平行，為真命題。（2）逆命題：若平行四邊形不是矩形，則它的兩條對(duì)角線不相等，為真命題。否命題：若平行四邊形兩條對(duì)角線相等，則它是矩形，為真命題。逆否命題：若平行四邊形為矩形，則它的兩條對(duì)角線相等，為真命題。（3）逆命題：若，則，為假命題。否命題：若，則，為假命題。逆否命題：若，則，為真命題。例4 已知下列三個(gè)方程：，至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：先求使三個(gè)方程都沒有實(shí)根的實(shí)數(shù)的取值范圍：由得 解得： 所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是：或正確使用原命題與逆否命題等價(jià)例5 已知是方程的兩根，則是的（ ）A. 充分但不必要條件B. 必要但不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件分析：利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)換解： 是方程的兩根 的值分別為 說明：，但，事實(shí)上只要取，作為反例即可說明這一點(diǎn)，因此選A。判斷命題為假命題可以通過舉反例。例6 設(shè)命題甲為：，命題乙為，那么甲是乙的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件分析：先解不等式再判定。解：解不等式得 ，但 甲是乙的充分不必要條件，選A。一般情況下，如果條件甲為，條件乙為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，甲為乙的充分條件，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，甲為乙的必要條件當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)，甲為乙的充要條件例7 若A是B成立的充分條件，D是C成立的必要條件，C是B成立的充要條件，則D是A成立的（ ）A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件分析：通過B、C作為橋梁聯(lián)系A(chǔ)、D解： A是B的充分條件 D是C成立的必要條件 C是B成立的充要條件 由得 由得 D是A成立的必要條件，選B。例8 是的必要條件還是充分條件？試說明理由。解：（1）當(dāng)時(shí)，可得，即則或，即或故不能推得且（有可能得到），即且并非的必要條件。（2）當(dāng)且則分成兩種情況討論：或，不論哪一種情況均可化為。 且是的充分條件。例9 設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，試分析且是兩根均大于1的什么條件？分析：把充要條件和方程中根與系數(shù)的關(guān)系問題相聯(lián)系：解題時(shí)需要搞清楚條件與分別指什么，然后再驗(yàn)證是還是還是。解：根據(jù)韋達(dá)定理得：判定條件是 結(jié)論是（還要注意條件中，需滿足的大前提）（1）由，得 （2）為了證明可以舉出反例：取它滿足，但不成立上述討論可知：是的必要但不充分條件例10 分別寫出由下列各種命題構(gòu)成的“或”“且”“非”形式的復(fù)合命題：（1）：李明是高中一年級(jí)學(xué)生 ：李明是共青團(tuán)員（2） ：是無理數(shù)解：（1）或：李明是高中一年級(jí)學(xué)生或是共青團(tuán)員且：李明是高中一年級(jí)學(xué)生且是共青團(tuán)員非：李明不是高中一年級(jí)學(xué)生（2）或：是大于2或是無理數(shù)且：是大于2且是無理數(shù)非：不大于2例11 命題 梯形不是平行四邊形； 等腰三角形的底角相等； 有兩個(gè)內(nèi)角互補(bǔ)的四邊形是梯形或圓內(nèi)接四邊形或是平行四邊形； 60是5或2的公倍數(shù)。其中復(fù)合命題有（ ） A. B. C. D. 分析：是簡單命題，其余的均為復(fù)合命題。解：選A。例12 命題：的否定是 答案：命題：的否定是 答案：例13 寫出下列命題的否定。（1）所有自然數(shù)的平方是正數(shù)；（2）任何實(shí)數(shù)x都是的根；（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)y，使；（4）有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)解：（1）存在自然數(shù)的平方是負(fù)數(shù)或0；（2）存在實(shí)數(shù)x，它不是的根；（3）存在實(shí)數(shù)x，同時(shí)存在實(shí)數(shù)y，使（4）任何質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。例14 是的充要條件的是（ ）A. B. C. 四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，四邊形是正方形D. 關(guān)于x的方程有惟一解分析：逐個(gè)驗(yàn)證命題是否等價(jià)解：對(duì)A，所以是的既不充分也不必要條件；對(duì)B，但，是q的充分非必要條件；對(duì)C，pq且qp，p是q的必要非充分條件；對(duì)D，pq且，即，p是q的充要條件，選D。說明：當(dāng)0時(shí)，有無數(shù)個(gè)解。例15“”是“”的（ ）A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件解：在這里“”是條件，而所以但因此“”是“”故選B。【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）1. 命題“若，則”的否命題是（ ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則2. 命題“若，則”（這里都是實(shí)數(shù)）與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ） A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 0個(gè)3. 下列說法（1）四種命題中真命題的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)（2）若一個(gè)命題的逆命題是真命題，則它的否命題一定是真命題（3）逆命題與否命題之間是互為逆否的關(guān)系（4）若一個(gè)命題的逆否命題是假命題，則它的逆命題與否命題都是假命題其中正確的有（ ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)4. 是正數(shù)的充分必要條件是（ ） A. B. C. D. 且5. 下列說法正確的是（ ）A. 是的充分而不必要條件B. 是的充要條件C. 若，則p是q的充分條件D. 一個(gè)四邊形是矩形的充分條件是：它是平行四邊形6. 的充要條件是（ ） A. B. C. 且 D. 或7. 命題，命題，則p是q的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件8. 設(shè)：“為偶數(shù)”，q：“為偶數(shù)”，下列四個(gè)命題：若p則q， 若則， 若則， 若則中真命題的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)9. ，求下列命題中 ， ， ， 且， 或， 且， 或， 且互為充要條件的有（ ） A. 3對(duì) B. 4對(duì) C. 5對(duì) D. 6對(duì)10. 設(shè)集合，那么“”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件 11. 原命題：“若”，則“且”，試寫出原命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假。 【試題答案】1. A 2. C 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D 8. B 9. B 10. B11. 答：逆命題：若“且”，則“”否命題：若“”，則“或”逆否命題：若：“且”，則“”原命題，逆否命題為假命題；逆命題，否命題為真命題。