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2019-2020年高考數學 第2講數形結合思想 新人教版
(xx全國)已知函數f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是 ( )
A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)
解析 作出f(x)的大致圖象．
由圖象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨設a
1時，函數y＝f(x)有且僅有兩個零點，
即實數a的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
探究提高 解決函數的零點問題，通常是轉化為方程的根，進而轉化為函數的圖象的交點問題．在解決函數圖象的交點問題時，常用數形結合，以“形”助“數”，直觀簡潔．
變式訓練2 (xx江西)若不等式≤k(x＋2)－
的解集為區(qū)間[a，b]，且b－a＝2，則k＝____.
解析 令y1＝，
y2＝k(x＋2)－，在同一個坐標系中
作出其圖象，因≤k(x＋2)－
的解集為[a，b]且b－a＝2.
結合圖象知b＝3，a＝1，即直線與圓
的交點坐標為(1,2)．
∴k＝＝.
題型三 數形結合思想在幾何中的應用
例3 已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB
是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值．
思維啟迪
同一坐標系中畫出直線與圓．
作出圓的切線PA、PB，則四邊形PACB的
面積S四邊形PACB＝S△PAC＋S△PBC＝2S△PAC.把
S四邊形PACB轉化為2倍的S△PAC可以有以下多
條數形結合的思路．
→
→
解 方法一 從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直直線時，S四邊形PACB應有唯一的最小值，此時|PC|＝＝3，
從而|PA|＝＝2.
∴(S四邊形PACB)min＝2|PA||AC|＝2.
這是運動變化的思想幫助我們打開了解題的思路．
方法二 利用等價轉化的思想，設點P坐標為(x，y)，則
|PC|＝，由勾股定理及|AC|＝1，得
|PA|＝＝，從而
S四邊形PACB＝2S△PAC＝2|PA||AC|＝|PA|＝，
從而欲求S四邊形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2＝(x－1)2＋(y－1)2的最小值，即定點C(1,1)與直線上動點P(x，y)距離的平方的最小值，它也就是點C(1,1)到直線3x＋4y＋8＝0的距離的平方，這個最小值d2＝()2＝9，
∴(S四邊形PACB)min＝＝2.
方法三 利用函數思想，將方法二中S四邊形PACB＝中的y由3x＋4y＋8＝0中解出，代入化為關于x的一元函數，進而用配方法求最值，也可得(S四邊形PACB)min＝2.
探究提高
本題的解答運用了多種數學思想方法：數形結合思想，運動變化的思想，等價轉化的思想以及配方法，靈活運用數學思想方法，能使數學問題快速得以解決．
變式訓練3 已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為 ( )
A．(，－1) B．(，1)
C．(1,2) D．(1，－2)
解析 定點Q(2，－1)在拋物線內部，
由拋物線的定義知，動點P到拋物線
焦點的距離等于它到準線的距離，問
題轉化為當點P到點Q和到拋物線的
準線距離之和最小時，求點P的坐標，
顯然點P是直線y＝－1和拋物線y2＝4x的交點，解得這個點的坐標是(，－1)．
律方法總結
1．利用數形結合解題，只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象．
2．數形結合思想是解決高考數學試題的一種常用方法
與技巧，特別在解選擇題、填空題時更方便，可以提高解題速度．
3．數形結合思想常用模型：
一次、二次函數圖象；斜率公式；兩點間的距離公式(或向量的模、復數的模)，點到直線的距離公式等.
知能提升演練
一、選擇題
1．設全集I是實數集R.M＝{x|x2>4}與N＝{x|≥1}
都是I的子集(如圖所示)，則陰影部分所表示的集合
為 ( )
A．{x|x<2} B．{x|－2≤x<1}
C．{x|1f(cos)
C．f(sin 1)f(cos)
解析 由f(x)＝f(x＋2)知T＝2為f(x)的一個周期，設x∈[－1,0]，知x＋4∈[3,4]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4－2＝x＋2，畫出函數f(x)的圖象，
如圖所示：
sinf(cos)；
sin>cos?f(sin)cos 1?f(sin 1)cos?f(sin)1 D．0
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