2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何同步練習(xí) 文1理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式2掌握確定直線位置的幾何要素3掌握直線方程的幾種形式(點斜式，兩點式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系1直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角；規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0；范圍：直線的傾斜角的取值范圍是0，)(2)直線的斜率定義：當(dāng)直線l的傾斜角時，其傾斜角的正切值tan 叫做這條斜線的斜率，斜率通常用小寫字母k表示，即ktan_；斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k.2直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率ykxb與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率yy0k(xx0)兩點式過兩點與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距1不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式AxByC0(A2B20)所有直線3.線段的中點坐標(biāo)公式若點P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點M的坐標(biāo)為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點坐標(biāo)公式1明確直線方程各種形式的適用條件點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線2求直線方程的一般方法(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程，選擇時，應(yīng)注意各種形式的方程的適用范圍，必要時要分類討論(2)待定系數(shù)法，具體步驟為：設(shè)所求直線方程的某種形式；由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；解這個方程(組)求出參數(shù)；把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置()(2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率()(3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(4)直線的斜率為tan ，則其傾斜角為.()(5)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等()(6)經(jīng)過定點A(0，b)的直線都可以用方程ykxb表示()(7)不經(jīng)過原點的直線都可以用1表示()(8)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2過點M(2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A1B4C1或3D1或4解析：kMN1，m1.答案：A3直線xya0(a為常數(shù))的傾斜角為()A30B60C150D120解析：由直線方程得yxa，所以斜率k，設(shè)傾斜角為，所以tan ，又因為0180，所以60.答案：B4已知直線l的傾斜角滿足3sin cos ，且它在x軸上的截距為2，則直線l的方程是_解析：由3sin cos ，得tan ，直線l的斜率為.又直線l在x軸上的截距為2，直線l與x軸的交點為(2,0)，直線l的方程為y0(x2)，即x3y20.答案：x3y205經(jīng)過兩點M(1，2)，N(3,4)的直線方程為_解析：經(jīng)過兩點M(1，2)，N(3,4)的直線方程為，即3x2y10.答案：3x2y10直線的傾斜角與斜率1若經(jīng)過兩點A(4,2y1)，B(2，3)的直線的傾斜角為，則y等于()A1B3C0D2解析：由ktan 1.得42y2，y3.答案：B2(xx青島模擬)若ab0，則過點P與Q的直線PQ的傾斜角的取值范圍是_解析：kPQ0，又傾斜角的取值范圍為0，)，故直線PQ的傾斜角的取值范圍為.答案：1.在解決斜率或傾斜角的取值范圍問題時，應(yīng)先考慮斜率是否存在或傾斜角是否為這一特殊情形2求傾斜角的取值范圍的一般步驟是：(1)求出斜率ktan 的取值范圍；(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角的取值范圍直線的方程根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(4,0)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點(3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12；(3)直線過點(5,10)，且到原點的距離為5.解析：(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式設(shè)傾斜角為，則sin (0)，ktan .故所求直線方程為y(x4)即x3y40或x3y40.(2)由題設(shè)知截距不為0，設(shè)直線方程為1，又直線過點(3,4)，從而1，解得a4或a9.故所求直線方程為4xy160或x3y90.(3)當(dāng)斜率不存在時，所求直線方程為x50，適合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)斜率為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點到直線的距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250.綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250.1求適合下列條件的直線方程(1)經(jīng)過點P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)過點A(1，3)，斜率是直線y3x的斜率的倍解析：(1)由題意，所求直線的斜率k存在且k0，設(shè)直線方程為y2k(x3)，令y0，得x3，令x0，得y23k，由已知323k，解得k1或k，直線l的方程為y2(x3)或y2(x3)，即xy50或2x3y0.(2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k3.又直線經(jīng)過點A(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.2求過點A(1，1)與直線l1：2xy60相交于點B且|AB|5的直線方程解析：過點A(1，1)與y軸平行的直線為x1.解方程組求得B點的坐標(biāo)為(1,4)，此時|AB|5，即x1為所求設(shè)過A(1，1)且與y軸不平行的直線為y1k(x1)，解方程組得兩直線交點為(k2，否則與已知直線平行)則B點坐標(biāo)為.由已知2252，解得k，y1(x1)，即3x4y10.綜上可知，所求直線的方程為x1或3x4y10.3(xx湖南長沙一模)過點(1,3)作直線l，若經(jīng)過點(a,0)和(0，b)，且aN*，bN*，則可作出的直線l的條數(shù)為()A1B2C3D4解析：由題意得1(a1)(b3)3，又aN*，bN*，故有兩個解或答案：B在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零，若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況直線方程的綜合利用直線l過點P(1,4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)|OA|OB|最小時，求l的方程解析：依題意，l的斜率存在，且斜率為負，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y4k(x1)(k0)令y0，可得A；令x0，可得B(0,4k)|OA|OB|(4k)55549.當(dāng)且僅當(dāng)k且k0，即k2時，|OA|OB|取最小值這時l的方程為2xy60.在本例條件下，若|PA|PB|最小，求l的方程解析：|PA|PB|(1k2)48(k0)當(dāng)且僅當(dāng)k且k0，即k1時，|PA|PB|取最小值這時l的方程為xy50.直線方程綜合問題的兩大類型及解法(1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中的x，y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決(2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(如方程解的個數(shù)、根的存在問題，不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來解決A級基礎(chǔ)訓(xùn)練1在等腰三角形AOB中，AOAB，點O(0,0)，A(1,3)，點B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()Ay13(x3)By13(x3)Cy33(x1)Dy33(x1)解析：因為AOAB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù)，所以kABkOA3，所以直線 AB的點斜式方程為：y33(x1)答案：D2(xx山西太原質(zhì)檢)設(shè)直線l與x軸的交點是P，且傾斜角為，若將此直線繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，得到直線的傾斜角為45，則()A0180B0<135C0180D0135解析：0135.選D答案：D3已知直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是()A1B1C2或1D2或1解析：由題意可知a0.當(dāng)x0時，ya2.當(dāng)y0時，x，a2，解得a2或a1.答案：D4直線AxBy10在y軸上的截距是1，而且它的傾斜角是直線xy3的傾斜角的2倍，則()AA，B1BA，B1CA，B1DA，B1解析：將直線AxBy10化成斜截式y(tǒng)x.1，B1，故排除A，D又直線xy3的傾斜角，直線AxBy10的傾斜角為2，斜率tan，A，故選B答案：B5若直線過點P且被圓x2y225截得的弦長是8，則該直線的方程為()A3x4y150Bx3或yCx3Dx3或3x4y150解析：若直線的斜率不存在，則該直線的方程為x3，代入圓的方程解得y4，故該直線被圓截得的弦長為8，滿足條件；若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為yk(x3)，即kxy3k0，因為該直線被圓截得的弦長為8，故半弦長為4.又圓的半徑為5，則圓心(0,0)到直線的距離為，解得k，此時該直線的方程為3x4y150.答案：D6已知m0，則過點(1，1)的直線ax3my2a0的斜率為_解析：點(1，1)在直線ax3my2a0上，a3m2a0，ma0，k.答案：7直線xcos y20的傾斜角的范圍是_解析：設(shè)直線的傾斜角為，依題意知，kcos ；cos 1,1，k，即tan .又0，)，.答案：8設(shè)點A(1,0)，B(1,0)，直線2xyb0與線段AB相交，則b的取值范圍是_解析：b為直線y2xb在y軸上的截距，如圖，當(dāng)直線y2xb過點A(1,0)和點B(1,0)時，b分別取得最小值和最大值b的取值范圍是2,2答案：2,29已知直線過點P1(2,3)和點P2(1，m)，且m滿足方程m24m30，求該直線方程解析：由題意，因為m滿足方程m24m30，則m1或m3.若m1，則直線方程可寫為，即2xy10；若m3，則直線方程的斜率為0，直線方程可寫為y3.因此符合條件的直線方程為2xy10或y3.10設(shè)直線l的方程為xmy2m60，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)直線l的斜率為1；(2)直線l在x軸上的截距為3.解析：(1)因為直線l的斜率存在，所以m0，于是直線l的方程可化為yx.由題意得1，解得m1.(2)法一：令y0，得x2m6.由題意得2m63，解得m.法二：直線l的方程可化為xmy2m6.由題意得2m63，解得m.B級能力提升1在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：axyb0和直線l2：bxya0有可能是()解析：直線l1：axyb0的斜率k1a，在y軸上的截距為b；直線l2：bxya0的斜率k2b，在y軸上的截距為a.在選項A中l(wèi)2的斜率b0，而l1在y軸上截距b0，所以A不正確同理可排除C、D答案：B2一條直線經(jīng)過點A(2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為_解析：設(shè)所求直線的方程為1，A(2,2)在直線上，1.又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，|a|b|1.由可得(1)或(2).由(1)解得或方程組(2)無解故所求的直線方程為1或1，即x2y20或2xy20為所求直線的方程答案：x2y20或2xy203已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過定點A(3,4)；(2)斜率為.解析：(1)設(shè)直線l的方程為yk(x3)4，它在x軸，y軸上的截距分別是3,3k4，由已知，得6，解得k1或k2.所以直線l的方程為2x3y60或8x3y120.(2)設(shè)直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是yxb，它在x軸上的截距是6b，由已知，得|(6b)b|6，b1.直線l的方程為x6y60或x6y60.4已知直線l：kxy12k0(kR)(1)證明：直線l過定點；(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標(biāo)原點，設(shè)AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程解析：(1)證明：證法一：直線l的方程可化為yk(x2)1，故無論k取何值，直線l總過定點(2,1)證法二：設(shè)直線l過定點(x0，y0)，則kx0y012k0對任意kR恒成立，即(x02)ky010恒成立，x020，y010，解得x02，y01，故直線l總過定點(2,1)(2)直線l的方程為ykx2k1，則直線l在y軸上的截距為2k1，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則解得k的取值范圍是0，)(3)依題意，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為12k，A，B(0,12k)又0且12k0，k0.故S|OA|OB|(12k)(44)4，當(dāng)且僅當(dāng)4k，即k時，取等號故S的最小值為4，此時直線l的方程為x2y40.第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系1能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直2能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo)3掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率存在，設(shè)為k1，k2，則l1l2k1k21，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直2兩直線相交交點：直線l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共點的坐標(biāo)與方程組的解一一對應(yīng)相交方程組有唯一解，交點坐標(biāo)就是方程組的解；平行方程組無解；重合方程組有無數(shù)個解3三種距離公式(1)點A(x1，y1)、B(x2，y2)間的距離：|AB|.(2)點P(x1，y1)到直線l：AxByC0的距離：d.(3)兩條平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20(C1C2)間的距離為d.常見的四大直線系方程(1)過定點P(x0，y0)的直線系A(chǔ)(xx0)B(yy0)0(A2B20)，還可以表示為yy0k(xx0)(斜率不存在時可視為xx0)(2)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC)(3)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAym0(mR)(4)過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(3)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20.()(4)點P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2已知p：直線l1：xy10與直線l2：xay20平行，q：a1，則p是q的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件解析：由于直線l1：xy10與直線l2：xay20平行的充要條件是1a(1)10，即a1.答案：A3已知點P(1,1)與點Q(3,5)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為()Axy10Bxy0Cxy40Dxy0解析：線段PQ的中點坐標(biāo)為(1,3)，直線PQ的斜率kPQ1，直線l的斜率kl1，直線l的方程為xy40.答案：C4直線Ax3yC0與直線2x3y40的交點在y軸上，則C的值為_解析：因為兩直線的交點在y軸上，所以點在第一條直線上，所以C4.答案：45已知直線l1的方程為3x4y70，直線l2的方程為6x8y10，則直線l1與l2的距離為_解析：直線l1的方程為3x4y70，直線l2的方程為6x8y10，即3x4y0，直線l1與直線l2的距離為.答案：兩條直線的平行與垂直1直線l過點(1,2)且與直線2x3y40垂直，則l的方程是()A3x2y10B3x2y70C2x3y50D2x3y80解析：直線2x3y40的斜率是，由直線l與直線2x3y40垂直，可知直線l的斜率是，又因直線l過點(1，2)，由點斜式可得直線l的方程為y2(x1)，即3x2y10.答案：A2(xx廣東惠州二調(diào))“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：若直線l1與l2平行，則a(a1)210，即a2或a1，所以“a1”是“直線l1與直線l2平行”的充分不必要條件答案：A3已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點A(3,2)，B(a，1)，且l1與l垂直，直線l2：2xby10與直線l1平行，則ab等于()A4B2C0D2解析：由題意知，l的傾斜角為，ktan1，設(shè)l1的斜率為k1，k1，l1與l垂直，kk11，a0.又l2：2xby10與l1平行，1，b2，ab2.答案：B兩直線平行、垂直的判定方法(1)已知兩直線的斜率存在兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等；兩直線垂直兩直線的斜率之積等于1.提醒當(dāng)直線斜率不確定時，要注意斜率不存在的情況(2)已知兩直線的一般方程兩直線方程l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20中系數(shù)A1，B1，C1，A2，B2，C2與垂直、平行的關(guān)系：A1A2B1B20l1l2；A1B2A2B10且A1C2A2C10l1l2.兩直線的交點求經(jīng)過兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程解析：法一：由方程組，得，即P(0,2)ll3，kl，直線l的方程為y2x，即4x3y60.法二：直線l過直線l1和l2的交點，可設(shè)直線l的方程為x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l與l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直線l的方程為12x9y180，即4x3y60.1(xx浙江溫州十校聯(lián)考)過兩直線2xy50和xy20的交點且與直線3xy10平行的直線方程為_解析：聯(lián)立得交點P(1，3)設(shè)過點P且與直線3xy10平行的直線方程為3xym0，則313m0，解得m0.答案：3xy02過點P(3,0)作一條直線l，使它被兩直線l1：2xy20和l2：xy30所截的線段AB以P為中點，求此直線l的方程解析：法一：設(shè)直線l的方程為yk(x3)，將此方程分別與l1，l2的方程聯(lián)立，得得解之，得xA和xB，P(3,0)是線段AB的中點，由xAxB6得6，解得k8.故直線l的方程為y8(x3)，即8xy240.法二：設(shè)l1上的點A的坐標(biāo)為(x1，y1)，P(3,0)是線段AB的中點，則l2上的點B的坐標(biāo)為(6x1，y1)，解這個方程組，得點A的坐標(biāo)為，由兩點式可得l的方程為8xy240.3已知直線l1：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk0，分別求滿足下列條件的k的值：(1)l1，l2，l3相交于一點；(2)l1，l2，l3圍成三角形解析：(1)直線l1，l2的方程聯(lián)立得，解得，即直線l1，l2的交點為P(1，2)又點P在直線l3上，所以12kk0，解得k.(2)由(1)知k.當(dāng)直線l3與l1，l2均相交時，有，解得k且k1，綜上可得k，且k，且k1.1.兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點即為交點2求經(jīng)過兩直線交點的直線方程，利用直線系方程，會給解題帶來方便距離問題已知A(4，3)，B(2，1)和直線l：4x3y20，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點P，使|PA|PB|，且點P到直線l的距離為2.解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為(a，b)A(4，3)，B(2，1)，線段AB的中點M的坐標(biāo)為(3，2)而AB的斜率kAB1，線段AB的垂直平分線方程為y2x3，即xy50.點P(a，b)在直線xy50上，ab50.又點P(a，b)到直線l：4x3y20的距離為2，2，即4a3b210，由聯(lián)立可得或所求點P的坐標(biāo)為(1，4)或.已知直線l1：mx8yn0與l2：2xmy10互相平行，且l1，l2之間的距離為，求直線l1的方程解析：l1l2，或(1)當(dāng)m4時，直線l1的方程為4x8yn0，把l2的方程寫成4x8y20，解得n22或n18.故所求直線的方程為2x4y110或2x4y90.(2)當(dāng)m4時，直線l1的方程為4x8yn0，l2的方程為2x4y10，解得n18或n22.故所求直線的方程為2x4y90或2x4y110.求點到直線的距離時，要注意把直線方程化成一般式的形式；求兩條平行線之間的距離時，可先把兩平行線方程中x，y的對應(yīng)項系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利用距離公式求解也可轉(zhuǎn)化成點到直線距離求解對稱問題已知直線l：2x3y10，點A(1，2)求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A的坐標(biāo)；(2)直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對稱直線m的方程解析：(1)設(shè)A(x，y)，由已知解得A.(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M必在直線m上設(shè)M的對稱點為M(a，b)，則解得M.設(shè)m與l的交點為N，則由得N(4,3)又m經(jīng)過點N(4,3)，由兩點式得直線m的方程為9x46y1020.在本例條件下，求直線l關(guān)于點A(1，2)對稱的直線l的方程解析：設(shè)P(x，y)為l上任意一點，則P(x，y)關(guān)于點A(1，2)的對稱點為P(2x，4y)，P在直線l上，2(2x)3(4y)10.即2x3y90.對稱問題的解題策略解決中心對稱問題的關(guān)鍵在于運用中點坐標(biāo)公式，而解決軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點的問題，在求對稱點時，關(guān)鍵是抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中心在對稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯(lián)立求解A級基礎(chǔ)訓(xùn)練1(xx廣東六校一聯(lián))如果直線(2a5)x(a2)y40與直線(2a)x(a3)y10互相垂直，則a()A2B2C2，2D2,0，2解析：由題意可知(2a5)(2a)(a2)(a3)(2a)(2a5)(a3)(a2)(a2)0，解得a2，故選C答案：C2已知兩點A(3,2)和B(1,4)到直線mxy30的距離相等，則m的值為()A0或B或6C或D0或解析：依題意得，|3m5|m7|，3m5m7或3m57m.m6或m.故應(yīng)選B答案：B3已知直線l1：y2x3，直線l2與l1關(guān)于直線yx對稱，則直線l2的斜率為()ABC2D2解析：l2，l1關(guān)于yx對稱，l2的方程為x2y3.即yx.l2的斜率為.答案：A4(xx廣東模擬)若直線l1：x2ym0(m0)與直線l2：xny30之間的距離是，則mn()A0B1C1D2解析：直線l1：x2ym0(m0)與直線l2：xny30之間的距離為，n2，m2(負值舍去)mn0.答案：A5(xx湖北八市聯(lián)考)已知集合M，N(x，y)|ax2ya0，且MN，則a()A6或2B6C2或6D2解析：易知集合M中的元素表示的是過(2,3)點且斜率為3的直線上除(2,3)點外的所有點，要使MN，則N中的元素表示的是斜率為3且不過(2,3)點的直線，或過(2,3)點且斜率不為3的直線，3或2a6a0，a6或a2.答案：A6經(jīng)過點P(1,2)且與曲線y3x24x2在點M(1,1)處的切線平行的直線方程為_解析：y6x4，y|x12，所求直線的方程為y22(x1)，即2xy40.答案：2xy407直線x2y30與直線ax4yb0關(guān)于點A(1,0)對稱，則b_.解析：法一：由題知，點A不在直線x2y30上，兩直線平行，a2.又點A到兩直線距離相等，|b2|4，b6或b2.點A不在直線x2y30上，兩直線不能重合，b2.法二：在直線x2y30上任取兩點P1(1,1)，P2(3,0)，則P1，P2關(guān)于點A的對稱點P1，P2都在直線ax4yb0上，易知P1(1，1)，P2(1,0)，b2.答案：28設(shè)直線l經(jīng)過點A(1,1)，則當(dāng)點B(2，1)與直線l的距離最遠時，直線l的方程為_解析：設(shè)點B(2，1)到直線l的距離為d，當(dāng)d|AB|時取得最大值，此時直線l垂直于直線AB，kl，直線l的方程為y1(x1)，即3x2y50.答案：3x2y509已知兩直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值(1)l1l2，且直線l1過點(3，1)；(2)l1l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等解析：(1)l1l2，a(a1)b0.又直線l1過點(3，1)，3ab40.故a2，b2.(2)直線l2的斜率存在，l1l2，直線l1的斜率存在k1k2，即1a.又坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等，l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即b.聯(lián)立可得：a2，b2或a，b2.10已知直線l：3xy30，求：(1)點P(4,5)關(guān)于l的對稱點；(2)直線xy20關(guān)于直線l對稱的直線方程解析：設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3xy30的對稱點為P(x，y)kPPkl1，即31.又PP的中點在直線3xy30上，330.由得(1)把x4，y5代入得x2，y7，P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點P的坐標(biāo)為(2,7)(2)用分別代換xy20中的x，y，得關(guān)于l的對稱直線方程為20，化簡得7xy220.B級能力提升1(xx洛陽統(tǒng)考)已知點P(x0，y0)是直線l：AxByC0外一點，則方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A過點P且與l垂直的直線B過點P且與l平行的直線C不過點P且與l垂直的直線D不過點P且與l平行的直線解析：因為點P(x0，y0)不在直線AxByC0上，所以Ax0By0C0，所以直線AxByC(Ax0By0C)0不經(jīng)過點P，排除A、B；又直線AxByC(Ax0By0C)0與直線l：AxByC0平行，排除C，故選D答案：D2(xx四川卷)設(shè)mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x，y)，則|PA|PB|的最大值是_解析：由題意可知點A為(0,0)，點B為(1,3)又直線xmy0的斜率k1，直線mxym30的斜率k2m，k1k21.兩條動直線互相垂直又由圓的性質(zhì)可知，動點P(x，y)的軌跡是圓，圓的直徑為|AB|.|PA|PB|5.當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時，等號成立|PA|PB|的最大值是5.答案：53已知直線l經(jīng)過直線2xy50與x2y0的交點P.(1)點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值解析：(1)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3，解得2或.l的方程為x2或4x3y50.(2)由解得交點P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點A到l的距離，則d|PA|(當(dāng)lPA時等號成立)dmax|PA|.4A，B兩個工廠距一條河分別為400 m和100 m，A，B兩工廠之間距離500 m，把小河看作一條直線，今在小河邊上建一座供水站，供A，B兩工廠用水，要使供水站到A，B兩工廠鋪設(shè)的水管長度之和最短，問供水站應(yīng)建在什么地方？解析：如圖，以小河所在直線為x軸，過點A的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則點A(0,400)，點B(a,100)過點B作BCAO于點C在ABC中，AB500，AC400100300，由勾股定理得BC400，B(400,100)點A(0,400)關(guān)于x軸的對稱點A(0，400)，由兩點式得直線AB的方程為yx400.令y0，得x320，即點P(320,0)故供水站(點P)在距O點320 m處時，到A，B兩廠鋪設(shè)的水管長度之和最短第三節(jié)圓的方程1掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準方程與一般方程2初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標(biāo)準方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圓心：，半徑：2.點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.1待定系數(shù)法求圓的方程(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值2確定圓心位置的方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E24F0.()(3)若點M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xyDx0Ey0F0.()答案：(1)(2)(3)2方程x2y24mx2y5m0表示圓的充要條件是()Am1Bm或m1CmDm1解析：由D2E24F16m2420m0，解得m1或m，故選B答案：B3若點(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()A1a1B0a1Ca1或a1Da1解析：點(1,1)在圓內(nèi)，(1a)2(1a)2<4，即1a1.答案：A4圓(x1)(x2)(y2)(y4)0的圓心坐標(biāo)為_解析：整理配方，得2(y1)2，所以圓心為.答案：5(xx陜西卷)若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關(guān)于直線yx對稱，則圓C的標(biāo)準方程為_解析：因為(1,0)關(guān)于yx的對稱點為(0,1)，所以圓C是以(0,1)為圓心，以1為半徑的圓，其方程為x2(y1)21.答案：x2(y1)21確定圓的方程1(xx山東濰坊一模)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為()A(x2)2(y2)23B(x2)2(y)23C(x2)2(y2)24D(x2)2(y)24解析：因為圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，所以圓心在直線x2上，又圓與y軸相切，所以半徑r2，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，b)，則(21)2b24，b23，b，選D答案：D2過P(4，2)，Q(1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4的圓的方程為_解析：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0.將P，Q點的坐標(biāo)分別代入得令x0，由得y2EyF0.由已知|y1y2|4，其中y1、y2是方程的兩根，所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.解組成的方程組得或故所求圓的方程為x2y22x120或x2y210x8y40.答案：x2y22x120或x2y210x8y40.3已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(0，6)，B(1，5)，且圓心在直線l：xy10上，求圓的標(biāo)準方程解析：法一：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，則圓心坐標(biāo)為.由題意可得消去F得，解得，代入求得F12，所以圓的方程為x2y26x4y120，標(biāo)準方程為(x3)2(y2)225.法二：因為A(0，6)，B(1，5)，所以線段AB的中點D的坐標(biāo)為，直線AB的斜率kAB1，因此線段AB的垂直平分線l的方程是y，即xy50.圓心C的坐標(biāo)是方程組的解，解得，所以圓心C的坐標(biāo)是(3，2)圓的半徑長r|AC|5，所以，圓心為C的圓的標(biāo)準方程是(x3)2(y2)225.求圓的方程的兩種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進而寫出方程 .(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值與圓有關(guān)的最值問題已知實數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值解析：原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓(1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)k，即ykx.當(dāng)直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時，解得k(如圖1)所以的最大值為，最小值為.(2)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，當(dāng)直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b2(如圖2)所以yx的最大值為2，最小值為2.1已知點P(x，y)在圓x2(y1)21上運動，則的最大值與最小值分別為_解析：設(shè)k，則k表示點P(x，y)與點(2,1)連線的斜率當(dāng)該直線與圓相切時，k取得最大值與最小值由1，解得k.答案：2若本例中的條件不變(1)求點P(x，y)到直線3x4y120的距離的最大值和最小值(2)求x2y2的最大值和最小值解析：(1)圓心(2,0)到直線3x4y120的距離為d，P(x，y)到直線3x4y120的距離的最大值為，最小值為.(2)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖)又圓心到原點的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.3設(shè)圓x2y22的切線l與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點A，B，當(dāng)|AB|取最小值時，切線l的方程為_解析：設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為A(a,0)，B(0，b)(a，b0)，則直線AB的方程為1，即bxayab0，因為直線AB和圓相切，所以圓心到直線AB的距離d，整理得ab，即2(a2b2)(ab)24ab，所以ab4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，又|AB|2，所以|AB|的最小值為2，此時ab，即ab2，切線l的方程為1，即xy20.答案：xy20與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：(1)形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如taxby形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題與圓有關(guān)的軌跡問題已知圓x2y24上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若PBQ90，求線段PQ中點的軌跡方程解析：(1)設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為(2x2,2y)因為P點在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接ON(圖略)，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點的軌跡方程為x2y2xy10.已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC中點M的軌跡方程解析：(1)設(shè)頂點C(x，y)，因為ACBC，且A，B，C三點不共線，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化簡得x2y22x30.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2y22x30(x3且x1)(2)設(shè)點M(x，y)，點C(x0，y0)，因為B(3,0)，M是線段BC的中點，由中點坐標(biāo)公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，點C在圓(x1)2y24(x3且x1)上運動，將x0，y0代入該方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此動點M的軌跡方程為(x2)2y21(x3且x1)求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法A級基礎(chǔ)訓(xùn)練1(xx四川成都外國語學(xué)校)已知圓C1：(x1)2(y1)21，圓C2與圓C1關(guān)于直線xy10對稱，則圓C2的方程為()A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21D(x2)2(y2)21解析：(x1)2(y1)21的圓心為(1,1)，它關(guān)于直線xy10對稱的點為(2，2)，對稱后半徑不變，所以圓C2的方程為(x2)2(y2)21.答案：B2若曲線C：x2y22ax4ay5a240上所有的點均在第二象限內(nèi)，則a的取值范圍為()A(，2)B(，1)C(1，)D(2，)解析：曲線C的方程可化為(xa)2(y2a)24，則該方程表示圓心為(a,2a)，半徑等于2的圓因為圓上的點均在第二象限，所以a2.答案：D3圓x2y24x4y100上的點到直線xy140的最大距離與最小距離的差是()A30B18C6D5解析：由圓x2y24x4y100知圓心坐標(biāo)為(2,2)，半徑為3，則圓上的點到直線xy140的最大距離為38，最小距離為32，故最大距離與最小距離的差為6.答案：C4已知二元二次方程Ax2Cy2DxEyF0，則是方程表示圓的()A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既非充分又非必要條件解析：取AC4，D2，E2，F(xiàn)1時，滿足但是4x24y22x2y10不表示圓；方程x