2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料數(shù)學(xué)方法選講1同學(xué)們在閱讀課外讀物的時(shí)候，或在聽老師講課的時(shí)候，書上的例題或老師講解的例題他都能聽懂，但一遇到?jīng)]有見過面的問題就不知從何處入手?？磥?，要提高解決問題的能力，要能在競賽中有所作為，首先得提高分析問題的能力，這就需要學(xué)習(xí)一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。例題講解一、從簡單情況考慮華羅庚先生曾經(jīng)指出：善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。從簡單情況考慮，就是一種以退為進(jìn)的一種解題策略。1. 兩人坐在一張長方形桌子旁，相繼輪流在桌子上放入同樣大小的硬幣。條件是硬幣一定要平放在桌子上，后放的硬幣不能壓在先放的硬幣上，直到桌子上再也放不下一枚硬幣為止。誰放入了最后一枚硬幣誰獲勝。問：先放的人有沒有必定取勝的策略？2線段AB上有xx個(gè)點(diǎn)（包括A，B兩點(diǎn)），將點(diǎn)A染成紅色，點(diǎn)B染成藍(lán)色，其余各點(diǎn)染成紅色或藍(lán)色。這時(shí)，圖中共有1997條互不重疊的線段。問：兩個(gè)端點(diǎn)顏色相異的小線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？31000個(gè)學(xué)生坐成一圈，依次編號為1，2，3，1000?，F(xiàn)在進(jìn)行1，2報(bào)數(shù)：1號學(xué)生報(bào)1后立即離開，2號學(xué)生報(bào)2并留下，3號學(xué)生報(bào)1后立即離開，4號學(xué)生報(bào)2并留下學(xué)生們依次交替報(bào)1或2，凡報(bào)1的學(xué)生立即離開，報(bào)2的學(xué)生留下，如此進(jìn)行下去，直到最后還剩下一個(gè)人。問：這個(gè)學(xué)生的編號是幾號？4在66的正方形網(wǎng)格中，把部分小方格涂成紅色。然后任意劃掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1個(gè)是紅色的。那么，總共至少要涂紅多少小方格？二、從極端情況考慮從問題的極端情況考慮，對于數(shù)值問題來說，就是指取它的最大或最小值；對于一個(gè)動點(diǎn)來說，指的是線段的端點(diǎn)，三角形的頂點(diǎn)等等。極端化的假設(shè)實(shí)際上也為題目增加了一個(gè)條件，求解也就會變得容易得多。5新上任的宿舍管理員拿著20把鑰匙去開20個(gè)房間的門，他知道每把鑰匙只能打開其中的一個(gè)門，但不知道哪一把鑰匙開哪一個(gè)門，現(xiàn)在要打開所有關(guān)閉的20個(gè)門，他最多要開多少次？6有n名（n3）選手參加的一次乒乓球循環(huán)賽中，沒有一個(gè)全勝的。問：是否能夠找到三名選手A，B，C，使得A勝B，B勝C，C勝A？7n（n3）名乒乓球選手單打比賽若干場后，任意兩個(gè)選手已賽過的對手恰好都不完全相同。試證明，總可以從中去掉一名選手，而使余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過的對手仍然都不完全相同。8在一個(gè)88的方格棋盤的方格中，填入從1到64這64個(gè)數(shù)。問：是否一定能夠找到兩個(gè)相鄰的方格，它們中所填數(shù)的差大于4？三、從整體考慮從整體上來考察研究的對象，不糾纏于問題的各項(xiàng)具體的細(xì)節(jié)，從而能夠拓寬思路，抓住主要矛盾，一舉解決問題。9右圖是一個(gè)44的表格，每個(gè)方格中填入了數(shù)字0或1。按下列規(guī)則進(jìn)行“操作”：每次可以同時(shí)改變某一行的數(shù)字：1變成0，0變成1。問：能否通過若干次“操作”使得每一格中的數(shù)都變成1？10有三堆石子，每堆分別有xx，998，98?！，F(xiàn)在對這三堆石子進(jìn)行如下的“操作”：每次允許從每堆中各拿掉一個(gè)或相同個(gè)數(shù)的石子，或從任一堆中取出一些石子放入另一堆中。按上述方式進(jìn)行“操作”，能否把這三堆石子都取光？如行，請?jiān)O(shè)計(jì)一種取石子的方案；如不行，請說明理由。11我們將若干個(gè)數(shù)x，y，z，的最大值和最小值分別記為max（x，y，z，）和min（x，y，z，）。已知a+b+c+d+e+f+g=1，求minmax（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）課后練習(xí)1.方程x1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3xn-1xn一定有一個(gè)自然數(shù)解嗎？為什么？2.連續(xù)自然數(shù)1，2，3，8899排成一列。從1開始，留1劃掉2和3，留4劃掉5和6這么轉(zhuǎn)圈劃下去，最后留下的是哪個(gè)數(shù)？3.給出一個(gè)自然數(shù)n，n的約數(shù)的個(gè)數(shù)用一個(gè)記號A（n）來表示。例如當(dāng)n=6時(shí)，因?yàn)?的約數(shù)有1，2，3，6四個(gè)，所以A（6）=4。已知a1，a2，a10是 10個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)，又x為a1，a2，a10的積，求 A（x）。4.平面上有100個(gè)點(diǎn)，無三點(diǎn)共線。將某些點(diǎn)用線段連結(jié)起來，但線段不能相交，直到不能再連結(jié)時(shí)為止。問：是否存在一個(gè)以這些點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，它的內(nèi)部沒有其余97個(gè)點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)？5.在一塊平地上站著5個(gè)小朋友，每兩個(gè)小朋友之間的距離都不相同，每個(gè)小朋友手上都拿著一把水槍。當(dāng)發(fā)出射擊的命令后，每人用槍射擊距離他最近的人。問：射擊后有沒有一個(gè)小朋友身上是干的？為什么？6.把1600?；ㄉ纸o100只猴子，請你說明不管怎樣分，至少有4只猴子分的花生一樣多。7.有兩只桶和一只空杯子。甲桶裝的是牛奶，乙桶裝的是酒精（未滿）?，F(xiàn)在從甲桶取一滿杯奶倒入乙桶，然后從乙桶取一滿杯混合液倒入甲桶，這時(shí)，是甲桶中的酒精多，還是乙桶中的牛奶多？為什么？8.在黑板上寫上1，2，3，xx。按下列規(guī)定進(jìn)行“操作”：每次擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)a和b，然后寫上它們的差（大減?。?，直到黑板上剩下一個(gè)數(shù)為止。問：黑板上剩下的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？課后練習(xí)答案1.有。解：當(dāng)n=2時(shí)，方程x1+x2=x1x2有一個(gè)自然數(shù)解：x1=2，x2=2；當(dāng)n=3時(shí)，方程x1+x2+x3=x1x2x3有一個(gè)自然數(shù)解：x1=1，x2=2，x3=3；當(dāng)n=4時(shí)，方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一個(gè)自然數(shù)解：x1=1，x2=1，x3=2，x4=4。一般地，方程x1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3xn-1xn有一個(gè)自然數(shù)解：x1=1，x2=1，xn-2=1，xn-1=2，xn=n。2.3508。解：仿例3。當(dāng)有3n個(gè)數(shù)時(shí)，留下的數(shù)是1號。小于8899的形如3n的數(shù)是38=6561，故從1號開始按規(guī)則劃數(shù)，劃了8899-6561=2338（個(gè)）數(shù)后，還剩下6561個(gè)數(shù)。下一個(gè)要劃掉的數(shù)是238823+1=3507，故最后留下的就是3508。3.1024。解：質(zhì)數(shù)a1有2個(gè)約數(shù)：1和a，從而A（a1）=2；2個(gè)質(zhì)數(shù)a1，a2的積有4個(gè)約數(shù)：1，a1，a2，a1a2，從而3個(gè)質(zhì)數(shù)a1，a2，a3的積有8個(gè)約數(shù)：1，a1，a2，a3，a1a2，a2a3，a3a1，a1a2a3，從而A（a1a2a3）=8=23；于是，10個(gè)質(zhì)數(shù)a1，a2，a10的積的約數(shù)個(gè)數(shù)為A（x）=210=1024。4.存在。提示：如果一個(gè)三角形內(nèi)還有別的點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)還能連結(jié)，與已“不能再連結(jié)”矛盾。5.有。解：設(shè)A和B兩人是距離最近的兩個(gè)小朋友，顯然他們應(yīng)該互射。此時(shí)如果有其他的小朋友射向他們中的一個(gè)，即A，B中有一人挨了兩槍，那么其他三人中必然有一人身上是干的。如果沒有其他的小朋友射向A或B，那么我們再考慮剩下的三個(gè)人D，E，F(xiàn)：若D，E的距離是三人中最近的，則D，E互射，而F必然射向他們之間的一個(gè)，此時(shí)F身上是干的。6.假設(shè)沒有4只猴子分的花生一樣多，那么至多3只猴子分的花生一樣多。我們從所需花生最少情況出發(fā)考慮：得1粒、2粒、3粒32粒的猴子各有3只，得33?；ㄉ暮镒佑?只，于是100只猴子最少需要分得花生3（0+1+2+32）+33=1617（粒），現(xiàn)在只有1600?；ㄉ?，無法使得至多3只猴子分的花生一樣多，故至少有4只猴子分的花生一樣多。7.一樣多。提示：從整體看，甲、乙兩桶所裝的液體的體積沒有發(fā)生變化。甲桶里有多少酒精，就必然倒出了同樣體積的牛奶入乙桶。所以，甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一樣多。8.奇數(shù)。解：黑板上開始時(shí)所有數(shù)的和為S=1+2+3+xx=1997001，是一個(gè)奇數(shù)，而每一次“操作”，將（a+b）變成了（a-b），實(shí)際上減少了2b，即減少了一個(gè)偶數(shù)。因?yàn)閺恼w上看，總和減少了一個(gè)偶數(shù)，其奇偶性不變，所以最后黑板上剩下一個(gè)奇數(shù)。例題答案：1分析與解：如果桌子大小只能容納一枚硬幣，那么先放的人當(dāng)然能夠取勝。然后設(shè)想桌面變大，注意到長方形有一個(gè)對稱中心，先放者將第一枚硬幣放在桌子的中心，繼而把硬幣放在后放者所放位置的對稱位置上，這樣進(jìn)行下去，必然輪到先放者放最后一枚硬幣。2分析：從最簡單的情況考慮：如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色，這時(shí)異色線段只有1條，是一個(gè)奇數(shù)。然后我們對這種染色方式進(jìn)行調(diào)整：將某些紅點(diǎn)改成藍(lán)點(diǎn)并注意到顏色調(diào)整時(shí)，異色線段的條數(shù)隨之有哪些變化。由于顏色的調(diào)整是任意的，因此與條件中染色的任意性就一致了。解：如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色，這時(shí)異色線段僅有1條，是一個(gè)奇數(shù)。將任意一個(gè)紅點(diǎn)染成藍(lán)色時(shí)，這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若同色，則異色小線段的條數(shù)或者增加2條（相鄰的兩個(gè)點(diǎn)同為紅色），或者減少2條（相鄰的兩個(gè)點(diǎn)同為藍(lán)色）；這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若異色，則異色小線段的條數(shù)不變。綜上所述，改變?nèi)我鈧€(gè)點(diǎn)的顏色，異色線段的條數(shù)的改變總是一個(gè)偶數(shù)，從而異色線段的條數(shù)是一個(gè)奇數(shù)。3分析：這個(gè)問題與上一講練習(xí)中的第8題非常相似，只不過本例是報(bào)1的離開報(bào)2的留下，而上講練習(xí)中相當(dāng)于報(bào)1的留下報(bào)2的離開，由上講練習(xí)的結(jié)果可以推出本例的答案。本例中編號為1的學(xué)生離開后還剩999人，此時(shí)，如果原來報(bào)2的全部改報(bào)1并留下，原來報(bào)1的全部改報(bào)2并離開，那么，問題就與上講練習(xí)第8題完全一樣了。因?yàn)槭Ｏ?99人時(shí)，第1人是2號，所以最后剩下的人的號碼應(yīng)比上講練習(xí)中的大1，是9751=976（號）。為了加深理解，我們重新解這道題。解：如果有2n個(gè)人，那么報(bào)完第1圈后，剩下的是2的倍數(shù)號；報(bào)完第2圈后，剩下的是22的倍數(shù)號報(bào)完第n圈后，剩下的是2n的倍數(shù)號，此時(shí)，只剩下一人，是2n號。如果有（2nd）（1d2n）人，那么當(dāng)有d人退出圈子后還剩下2n人。因?yàn)橄乱粋€(gè)該退出去的是（2d1）號，所以此時(shí)的第（2d1）號相當(dāng)于2n人時(shí)的第1號，而2d號相當(dāng)于2n人時(shí)的第2n號，所以最后剩下的是第2d號。由1000=29488知，最后剩下的學(xué)生的編號是4882=976（號）。4分析與解：先考慮每行每列都有一格涂紅，比較方便的涂法是在一條對角線上涂6格紅色的，如圖1。任意劃掉3行3列，可以設(shè)想劃行劃列的原則是：每次劃掉紅格的個(gè)數(shù)越多越好。對于圖1，劃掉3行去掉3個(gè)紅格，還有3個(gè)紅格恰在3列中，再劃掉3列就不存在紅格了。所以，必然有一些行有一些列要涂2個(gè)紅格，為了盡可能地少涂紅格，那么每涂一格紅色的，一定要使多出一行同時(shí)也多出一列有兩格紅色的。先考慮有3行中有2格涂紅，如圖2。顯然，同時(shí)也必然有3個(gè)列中也有2格涂紅。這時(shí)，我們可以先劃掉有2格紅色的3行，還剩下3行，每行上只有一格涂紅，每列上也只有一格涂紅，那么在劃掉帶紅格的3列就沒有紅格了。為了使得至少余下一個(gè)紅格，只要再涂一格。此紅格要使圖中再增加一行和一列有兩個(gè)紅格的，如圖3。結(jié)論是：至少需要涂紅10個(gè)方格。5. 解：從最不利的極端情況考慮：打開第一個(gè)房間要20次，打開第二個(gè)房間需要19次共計(jì)最多要開2019181=210（次）。6. 解：從極端情況觀察入手，設(shè)B是勝的次數(shù)最多的一個(gè)選手，但因B沒獲全勝，故必有選手A勝B。在敗給B的選手中，一定有一個(gè)勝A的選手C，否則，A勝的次數(shù)就比B多一次了，這與B是勝的次數(shù)最多的矛盾。所以，一定能夠找到三名選手A，B，C，使得A勝B，B勝C，C勝A。7. 證明：如果去掉選手H，能使余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過的對手仍然都不完全相同，那么我們稱H為可去選手。我們的問題就是要證明存在可去選手。設(shè)A是已賽過對手最多的選手。若不存在可去選手，則A不是可去選手，故存在選手B和C，使當(dāng)去掉A時(shí)，與B賽過的選手和與C賽過的選手相同。從而B和C不可能賽過，并且B和C中一定有一個(gè)（不妨設(shè)為B）與A賽過，而另一個(gè)（即C）未與A賽過。又因C不是可去選手，故存在選手D，E，其中D和C賽過，而E和C未賽過。顯然，D不是A，也不是B，因?yàn)镈與C賽過，所以D也與B賽過。又因?yàn)锽和D賽過，所以B也與E賽過，但E未與C賽過，因而選手E只能是選手A。于是，與A賽過的對手?jǐn)?shù)就是與E賽過的對手?jǐn)?shù)，他比與D賽過的對手?jǐn)?shù)少1，這與假設(shè)A是已賽過對手最多的選手矛盾。故一定存在可去選手。8. 解：考慮這個(gè)方格棋盤的左上角、右上角及右下角內(nèi)的數(shù)A，B，S。設(shè)存在一個(gè)填數(shù)方案，使任意相鄰兩格中的數(shù)的差不大于4，考慮最大和最小的兩個(gè)數(shù)1和64的填法，為了使相鄰數(shù)的差不大于4，最小數(shù)1和最大數(shù)的“距離”越大越好，即把它們填在對角的位置上（A=1，S=64）。然后，我們沿最上行和最右行來觀察：因?yàn)橄噜彅?shù)不大于4，從 ABS共經(jīng)過14格，所以 S1+414=57（每次都增加最大數(shù)4），與S=64矛盾。因而，1和64不能填在“最遠(yuǎn)”的位置上。顯然，1和64如果填在其他任意位置，那么從1到64之間的距離更近了，更要導(dǎo)致如上的矛盾。因此，不存在相鄰數(shù)之差都不大于4的情況，即不論怎樣填數(shù)必有相鄰兩數(shù)的差大于4。9. 解：我們考察表格中填入的所有數(shù)的和的奇偶性：第一次“操作”之前，它等于9，是一個(gè)奇數(shù)，每一次“操作”，要改變一行或一列四個(gè)方格的奇偶性，顯然整個(gè)16格中所有數(shù)的和的奇偶性不變。但當(dāng)每一格中所有數(shù)字都變成1時(shí)，整個(gè)16格中所有數(shù)的和是16，為一偶數(shù)。故不能通過若干次“操作”使得每一格中的數(shù)都變成1。10. 解：要把三堆石子都取光是不可能的。按“操作”規(guī)則，每次拿掉的石子數(shù)的總和是3的倍數(shù)，即不改變石子總數(shù)被 3除時(shí)的余數(shù)。而xx+998+98=3094，被3除余1，三堆石子被取光時(shí)總和被3除余0。所以，三堆石子都被取光是辦不到的。11. 解：設(shè) M=max（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）。因?yàn)閍+b+c，c+d+e，e+f+g都不大于M，所以