2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布列課時訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-31隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的_表示在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用字母，表示注意：（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪個結(jié)果這種試驗就是隨機(jī)試驗（2）有些隨機(jī)試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上（3）若是隨機(jī)變量，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量2離散型隨機(jī)變量所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為_注意：（1）本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個值（2）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出3離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個值的概率_，以表格的形式表示如下：4離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）_注意：分布列的性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)5兩點分布若隨機(jī)變量的分布列具有下表的形式，則稱服從兩點分布，并稱為成功概率_注意：（1）兩點分布的試驗結(jié)果只有兩個可能性，且其概率之和為1；（2）兩點分布又稱01分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛6超幾何分布一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則_，即其中，且，如果隨機(jī)變量的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布注意：為的最大取值，當(dāng)抽取的產(chǎn)品件數(shù)不大于總體中的次品件數(shù)，即當(dāng)時，此時(抽取的樣本中的次品件數(shù))的最大值；當(dāng)抽取的產(chǎn)品件數(shù)大于總體中次品件數(shù)，即時，此時的最大值參考答案：1數(shù)字2離散型隨機(jī)變量3456重點離散型隨機(jī)變量的概念、分布列的性質(zhì)、兩點分布、超幾何分布難點超幾何分布的應(yīng)用、離散型隨機(jī)變量分布列的求解易錯對離散型隨機(jī)變量的取值及概率、分布列的性質(zhì)、超幾何分布理解不透徹隨機(jī)變量的理解（1）分析隨機(jī)變量的取值所表示的事件時，應(yīng)先分清事件的結(jié)果是什么，是如何與隨機(jī)變量的取值對應(yīng)的（2）隨機(jī)變量的取值實質(zhì)上是試驗的不同結(jié)果對應(yīng)的數(shù)值，這些數(shù)值是預(yù)先知道的可能取值，但不知道究竟是哪一個值，這是“隨機(jī)”的意義一個不透明的箱子中裝有標(biāo)號分別為的五個大小和形狀完全相同的紅球，現(xiàn)從中任取一個，這是一個隨機(jī)現(xiàn)象（1）寫出該隨機(jī)現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）試用隨機(jī)變量來描述上述結(jié)果【解析】（1）箱子中有五個紅球，標(biāo)號分別為1，2，3，4，4因此從中任取一個，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為“取到標(biāo)號為1的紅球”“取到標(biāo)號為2的紅球”“取到標(biāo)號為3的紅球”“取到標(biāo)號為4的紅球”（2）令表示取到的紅球的標(biāo)號，則的所有可能取值為1，2，3，4，對應(yīng)著任取一個紅球所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，即“”表示“取到標(biāo)號為1的紅球”，“”表示“取到標(biāo)號為2的紅球”，“”表示“取到標(biāo)號為3的紅球”，“”表示“取到標(biāo)號為4的紅球”【名師點睛】引進(jìn)隨機(jī)變量后，隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來需要注意的是本題中取到“標(biāo)號為4的紅球”對應(yīng)的結(jié)果有兩個，但對應(yīng)的是隨機(jī)變量的一個值，不能誤認(rèn)為隨機(jī)變量有5個值：1，2，3，4，4求離散型隨機(jī)變量的分布列（1）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)，求兩枚骰子中出現(xiàn)的點數(shù)之差的絕對值的分布列；（2）袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5，6的同樣大小的6個白球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取3個球，設(shè)表示取出的3個球中的最小號碼，求的分布列【解析】（1）易知擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)有36種等可能的情況，的可能取值為0，1，2，3，4，5，如下表：的值出現(xiàn)的點數(shù)情況數(shù)0(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)61(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)102(1，3)，(2，4)，(3，5)，(4，6)，(3，1)，(4，2)，(5，3)，(6，4)83(1，4)，(2，5)，(3，6)，(4，1)，(5，2)，(6，3)64(1，5)，(2，6)，(5，1)，(6，2)45(1，6)，(6，1)2由古典概型可知的分布列為012345（2）根據(jù)題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3，4，最小號碼為1，其他2個球在2，3，4，5，6中任取，所以；，最小號碼為2，其他2個球在3，4，5，6中任取，所以；，最小號碼為3，其他2個球在4，5，6中任取，所以；，最小號碼為4，其他2個球只能取編號為5，6的2個球，所以所以，隨機(jī)變量的分布列為1234【名師點睛】（1）由于隨機(jī)變量的各個可能取值之間彼此互斥，因此，隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和；（2）求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量取值所對應(yīng)的概率，應(yīng)明確隨機(jī)變量取每個值所表示的意義離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用分布列的應(yīng)用主要體現(xiàn)在分布列的性質(zhì)上的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)主要有三方面的作用：（1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所求的分布列是否正確（1）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，求常數(shù)及；（2）已知是離散型隨機(jī)變量，其分布列如下，求的值及【解析】（1）隨機(jī)變量的分布列為由，解得故（或：）（2）由，解得(負(fù)值舍去)，故兩點分布的應(yīng)用在兩點分布中，只有兩個對立的結(jié)果，知道一個結(jié)果的概率便可以求出另一個結(jié)果的概率（1）不透明的袋中裝有大小、形狀完全相同的5個白球和4個紅球，從中隨機(jī)摸出兩個球，記，求隨機(jī)變量的分布列；（2）已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中有1件次品，現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查，若用隨機(jī)變量表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求的分布列【解析】由題意知，服從兩點分布，所以隨機(jī)變量的分布列為01（2）由題意知，服從兩點分布，所以隨機(jī)變量的分布列為01超幾何分布的應(yīng)用生產(chǎn)方提供的某批產(chǎn)品共50箱，其中有2箱不合格品，采購方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若至多有1箱不合格品，便接收該批產(chǎn)品問該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？【思路分析】將50箱產(chǎn)品看作50件“產(chǎn)品”，2箱不合格品看作2件“次品”，任取5箱中不合格品的箱數(shù)可以看作是任取5件“產(chǎn)品”中所含的次品數(shù)，根據(jù)公式可求概率【解析】從中隨機(jī)抽取5箱，用表示“5箱中不合格品的箱數(shù)”，則服從參數(shù)為，的超幾何分布該批產(chǎn)品被接收的條件是5箱中沒有不合格品或只有1箱不合格品，所以被接收的概率為，故，所以該批產(chǎn)品被接收的概率為（或）【名師點睛】解決此類問題，先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布，若滿足超幾何分布，則建立超幾何分布列的組合關(guān)系式，求出隨機(jī)變量取相應(yīng)值的概率；否則直接利用概率公式和計數(shù)原理求隨機(jī)變量取相應(yīng)值的概率在解題中不應(yīng)拘泥于某一特定的類型求相關(guān)變量的分布列若隨機(jī)變量的分布列不易求，可以根據(jù)題意找出與隨機(jī)變量有關(guān)的隨機(jī)變量，確定二者對應(yīng)值及取對應(yīng)值的概率的關(guān)系，將求隨機(jī)變量的分布列轉(zhuǎn)化為求隨機(jī)變量的分布列已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，分別求出隨機(jī)變量，的分布列【解析】由題易得的可能取值為，且，所以的分布列為由題易得的可能取值為，且，所以的分布列為某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為12345商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元若表示經(jīng)銷一件該商品的利潤，求的分布列【解析】由題易得的可能取值為200，250，300，則，所以的分布列為【名師點睛】求隨機(jī)變量分布列的重要基礎(chǔ)是計算概率就本題而言，是兩個關(guān)聯(lián)變量的分布列問題，可以看到解決問題的關(guān)鍵是利用互斥事件的概率計算公式未找準(zhǔn)隨機(jī)變量的取值而致錯現(xiàn)有10張獎券，其中8張2元的，2張5元的，從中同時任取3張，求所得金額的分布列【錯解】記所得金額為元，則的可能取值為6，12，且，所以的分布列為612【錯因分析】產(chǎn)生錯解的原因是沒能找準(zhǔn)隨機(jī)變量的可能取值，事實上任取3張的結(jié)果有3種：3張2元，2張2元、1張5元，1張2元、2張5元，可得的可能取值有3個，分別為6，9，12【正解】記所得金額為元，則的可能取值為6，9，12，且，所以的分布列為6912錯解隨機(jī)變量的取值概率而致錯從4名男生和2名女生中任意選擇3人參加比賽，設(shè)被選中的女生的人數(shù)為（1）求的分布列；（2）求所選女生的人數(shù)至多為1的概率【錯解】（1）由題設(shè)可得的可能取值為0，1，2，且，所以的分布列為012（2）所選女生的人數(shù)至多為1即隨機(jī)變量的取值為，其概率為【錯因分析】產(chǎn)生錯解的原因是對隨機(jī)變量的取值概率求解錯誤，事實上隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的超幾何分布【正解】（1）由題設(shè)可得的可能取值為0，1，2，且，所以的分布列為012（2）所選女生的人數(shù)至多為1即隨機(jī)變量的取值為，其概率為未掌握離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)而致錯已知是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列如下，則常數(shù)_12【錯解】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得，解得或，故填或【錯因分析】錯解中僅注意到隨機(jī)變量的分布列滿足概率和為，但忽略了【正解】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得，解得，故填未弄清隨機(jī)變量取值概率的實質(zhì)而致錯已知隨機(jī)變量的分布列如下，求隨機(jī)變量的分布列【錯解】由可得的可能取值為，所以的分布列為【錯因分析】錯解中誤認(rèn)為的取值概率變?yōu)樵瓉淼?，沒有弄清隨機(jī)變量取值概率的實質(zhì)【正解】由可得的可能取值為，相應(yīng)的概率不變，所以的分布列為對超幾何分布的概念理解不透徹而致錯盒中裝有12個零件，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，若取出的是次品不再放回，再取一個零件，直到取得正品為止求在取得正品之前已取出次品數(shù)的分布列【錯解】由題意可知，服從超幾何分布，其中，所以在取得正品之前已取出次品數(shù)的分布列為，所以已取出次品數(shù)的分布列為0123【錯因分析】錯解中未理解超幾何分布的概念本題是不放回抽樣，“”表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，“”表示“前兩次都取到次品，第三次取到正品”，屬于排列問題而超幾何分布是一次性抽取若干件產(chǎn)品，屬于組合問題【正解】由題易得的可能取值為0，1，2，3，所以已取出次品數(shù)的分布列為0123【名師點睛】求隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是熟練掌握排列、組合知識，求出隨機(jī)變量每個取值的概率，注意概率的取值范圍（非負(fù)），在由概率之和為1求參數(shù)問題中要把求出的參數(shù)代回分布列進(jìn)行檢驗1下列隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為A某人早晨在車站等出租車的時間B以測量儀的最小單位計數(shù)，測量的舍入誤差C連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)D沿數(shù)軸隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點在數(shù)軸上的位置2袋中有大小相同的5個球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機(jī)變量，則的所有可能取值的個數(shù)是A5B9C10D253隨機(jī)變量所有可能取值的集合是，且，則的值為A0BCD4已知隨機(jī)變量的分布列為，則ABCD5某地區(qū)15個村莊中有7個村莊交通不便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用表示這10個村莊中交通不便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是ABCD6已知是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為則常數(shù)等于ABCD7設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量去描述1次試驗的成功次數(shù)，則_8袋中有4只紅球、3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量，則_9某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每件一等品都能通過檢測，每件二等品通過檢測的概率為現(xiàn)有件產(chǎn)品，其中件是一等品，件是二等品（1）隨機(jī)選取件產(chǎn)品，設(shè)至少有一件通過檢測為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）隨機(jī)選取件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列10已知隨機(jī)變量的分布列如下，則1234ABCD11若隨機(jī)變量的分布列如下：則當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍是ABCD12一盒子中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)是一個隨機(jī)變量，則ABCD13隨機(jī)變量的概率分布列為(1，2，3，4)，其中是常數(shù)，則()的值為ABCD14已知隨機(jī)變量的所有可能取值為，若，則的最大值為_15某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為(490，495，(495，500，(510，515，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如下圖所示：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列16為了參加第二屆全國數(shù)學(xué)建模競賽，長郡中學(xué)在高二年級舉辦了一次選拔賽，共有60名高二學(xué)生報名參加，按照不同班級統(tǒng)計參賽人數(shù)，如下表所示：班級宏志班珍珠班英才班精英班參賽人數(shù)20151510（1）從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求這2人在同一班級的概率；（2）現(xiàn)從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2人作為代表，進(jìn)行大賽前的發(fā)言，設(shè)選出的2人中宏志班的學(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列17【xx新課標(biāo)全國I理節(jié)選】某公司計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù)（1）求的分布列；（2）若要求，確定的最小值1C【解析】選項A、B、D中的隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量故選C2B【解析】號碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9個故選B3C【解析】因為隨機(jī)變量所有可能取值的集合是，且，所以，故選C4D 【解析】由題易得，故選D5C【解析】由超幾何分布的概率計算公式可得，故選C6C【解析】由分布列的性質(zhì)可得，解得故選C7【解析】本題符合兩點分布，先求的出分布列，再根據(jù)分布列的性質(zhì)可求設(shè)失敗率為，則成功率為，所以的分布列為01則“”表示試驗失敗，“”表示試驗成功，由可得，故8【解析】分析題意可知，若得分不大于7，則4個球都是紅球，此時，或3個紅球、1個黑球，此時又，故9（1）；（2）分布列見解析【思路分析】（1）“至少有一件通過檢測”的反面是“沒有一件通過檢測”，即三件都不通過，利用互斥事件的概率可得；（2）求的分布列，首先要確定變量的取值，由于10件中有6件一等品，因此的所有可能取值為，由古典概型概率公式可得各概率，從而得分布列【解析】（1），所以隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，至少有一件通過檢測的概率為（2）由題可知的所有可能取值為，則隨機(jī)變量的分布列為012310C【解析】由分布列的性質(zhì)可得，解得又故選C11D【解析】由題中所給分布列，可得，故故選D12C【解析】從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，當(dāng)盒中舊球的個數(shù)為時，相當(dāng)于舊球的個數(shù)在原來3個的基礎(chǔ)上增加了一個，所以取出的3個球中只有一個新球，即取出的3個球中有2個舊球、1個新球，所以，故選C13D【解析】由題意可得，解得，故()，故選D14【解析】由題可得，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號15（1）12；（2）分布列見解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為（2）的可能取值為0，1，2，且服從參數(shù)為，的超幾何分布，故，所以的分布列為01216（1）；（2）分布列見解析【思路分析】（1）利用組合知識得到有關(guān)事件的基本事件個數(shù)，再利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解；（2）先寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，再利用超幾何分布的概率公式求出每個變量發(fā)生的概率，列表可得分布列【解析】（1）從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2名的基本事件總數(shù)為，且這2人在同一班級的基本事件個數(shù)為，故所求概率（2）由題意可得的所有可能的取值為0，1，2，且，所以的分布列為01217（1）分布列見解析；（2）【解析】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為，從而；所以的分布列為16171819202122（2）由（1）知，故的最小值為19老師：“楚向陽同學(xué)，你認(rèn)為太陽和月亮哪個更重要？”楚陽向：“月亮更重要?！崩蠋煟骸盀槭裁茨?？”楚陽向：“月亮能給黑夜帶來光明，而太陽好像沒什么用，總是在大白天出來”