東南大學幾何與代數(shù)第四章習題講解.ppt
,幾代習題(第四章),王小 六,東 南 大 學 線 性 代 數(shù) 課 程,關于作業(yè),第四章的習題解析參見筆記,錯誤的說法: 線性有關 (應該是線性相關) 不線性相關(應該是線性無關),習題四(B) 10,1, 2, , t 線性無關,1, 2, , s 線性無關,1, 2, , t 線性無關,1, 2, , s 線性無關,“當且僅當” 其實就是 “充要條件”,要證兩個方向,習題四(B) 10,1, 2, , t 線性無關,1, 2, , s 線性無關,錯誤的證法:,1, 2, , t 線性無關,由k1 1+k2 2+ks s = ,可得 k1=k2=ks = 0 .,k11+k2 (1+2)+ +ks (1+2+ +s ) = ,(k1+k2+ks)1+ (k2+ks)2+ +kss = ,1, 2, s 的系數(shù)全為0,1, 2, s 線性無關,習題四(B) 12,要求的是“充要條件”,向量組 1, 2, 3線性無關,由k1 1 + k2 2 + ks 3 = 可推出,k1=k2 =k3 = 0.,k1 1 + k2 2 + ks 3 = 只有零解, ( 1 , 2 , 3),k1 k2 k3,= ,只有零解, (a1 + b2 , a2 +b3 , a3 + b1),k1 k2 k3,= ,只有零解,習題四(B) 12, (a1 + b2 , a2 +b3 , a3 + b1),k1 k2 k3,= ,只有零解, (1, 2, 3 ),k1 k2 k3,= ,只有零解,a 0 b b a 0 0 b a,k1 k2 k3,= ,只有零解,a 0 b b a 0 0 b a,由1, 2, 3 的線性無關, ,習題四(B) 17,與第12題類似,習題四(B) 19,求極大無關組,兩種方法 (1) 先求秩 r,找r個無關向量 (2) 將向量以列向量形式構成矩陣, 做初等行變換,習題四(B) 20(1),x y z,=,2y-3z y z,=,2 1 0,-3 0 1,y,+ z,基向量: (2 1 0), (-3, 0, 1),習題四(B) 20(2),2 3 6 9 2 4 5,2 0 0 0 1 0 0 0,基向量,行變換,2 3 6 9 2 4 5,0 0 3 0 0 2 0 -1,是基向量(參見引理4.1和例4.15),列變換,不是基向量,習題四(B) 23,1T 2T,1T 2T,=,C,1= c111+ c212 , 2 =c121+ c222.,C =,c11 c12 c21 c22,因為此時1 , 2 , 1 , 2是行向量,所以,1 2,1 2,=,CT,或者等價地,,25(1)向量組正交化后還需單位化,27,29 注意兩點 : (AB)T=BTAT; 矩陣乘法不能隨意交換,31 有兩種角度:化成階梯形;行列式,35 其實只需證向量組線性無關(因為已知解空間的維數(shù)是3); 如果要說明向量組可以線性表示任一個解向量,請把系數(shù)求出來。,注:在此題的證明過程中,有些同學似乎 用了這樣的錯誤結論:設k0,k1,kt不全為零, 然后得到k0+k1+kt不等于零.,方法一:令線性組合等于零,然后證系數(shù)全為零; 方法二:先證與Ax=的線性無關的解向量所構成的向量組是線性無關的(需證明),然后再證題中的向量組是無關的,36(2)要說明構成基礎解系,前提是不為零向量,37 在求導出組的基礎解系時,一定要利用導出 組的通解來求,40(1)與32題是一樣的; (2)線性表示的系數(shù)最好要具體寫出來.,有的書中此題答案有誤:第一行第二個元素 應該為-1+2t,本門課程的內(nèi)容體系,本門課程:研究矩陣的理論,第二章 矩陣 矩陣的定義和運算; 可逆矩陣:特殊矩陣; 分塊矩陣:為了更方便的運算; 初等變換:矩陣之間的一種變換;,第五章:相似變換(方陣),第六章:可逆變換(實對稱陣),特征值,慣性指數(shù),矩陣世界, 紛繁復雜, 如何找到不變的永恒,秩,第四章:向量空間是一種特殊的矩陣空間,尋找向量空間的極小生成元(基),尋找向量組的極大無關組,研究向量組中向量間的關系(線性相關性),有了基, 就有了坐標;,定義內(nèi)積,引入正交的概念,構造一組標準正交生成元,兩個 應用,刻畫矩陣A的列空間(列向量生成的子空間),刻畫Ax=b的解空間,即尋找基礎解系等,第三章 幾何空間(R3): 可看作是第四章的鋪墊,也可看作一種特殊的向量空間。,第一章 行列式和方程組: 它們是研究矩陣的工具。很多問題會被轉化為求行列式(特別是遇到方陣時)或求解方程組的問題。,