2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2-3-3第3課時(shí) 雙曲線的綜合應(yīng)用同步檢測(cè) 新人教版選修2-1一、選擇題1如圖，橢圓C1，C2與雙曲線C3，C4的離心率分別是e1，e2，e3與e4，則e1，e2，e3，e4的大小關(guān)系是()Ae2<e1<e3<e4 Be2<e1<e4<e3Ce1<e2<e3<e4 De1<e2<e4<e3答案A解析橢圓離心率越大越扁，雙曲線離心率越大，開口越廣闊2已知雙曲線中心在原點(diǎn)，且一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0)，直線yx1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，依題意c，方程可化為1.由得，(72a2)x22a2x8a2a40.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2.，解得a22.故所求雙曲線方程為1，故選D.3若ab0，則axyb0和bx2ay2ab所表示的曲線只可能是下圖中的()答案C解析方程可化為yaxb和1.從B，D中的兩橢圓看a，b(0，)，但B中直線有a<0，b<0矛盾，應(yīng)排除；D中直線有a<0，b>0矛盾，應(yīng)排除；再看A中雙曲線的a<0，b>0，但直線有a>0，b>0，也矛盾，應(yīng)排除；C中雙曲線的a>0，b<0和直線中a，b一致應(yīng)選C.4(xx濰坊模擬)雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過F1作傾斜角為30的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為()A.B.C.D.答案B解析在直角MF1F2中，F(xiàn)1F2M90，MF1F230，|F1F2|2c，于是cos30，tan30，從而有|MF1|c，|MF2|c，代入|MF1|MF2|2a，得c2a，故e，故選B.5雙曲線1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)答案B解析由雙曲線的定義得，|PF1|PF2|PF2|2a，|PF1|2|PF2|4a，|PF1|PF2|F1F2|，6a2c，3，故離心率的范圍是(1,3，選B.6已知F1、F2是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是以F1和F2為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，并且PF1PF2，e1和e2分別是上述橢圓和雙曲線的離心率，則有()A.4 Bee4C.2 Dee2答案C解析設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為m，則22得：2(|PF1|2|PF2|2)4a24m2，又|PF1|2|PF2|24c2代入上式得4c22a22m2，兩邊同除以2c2得2，故選C.7(08山東)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由已知得橢圓中a13，c5，曲線C2為雙曲線，由此知道在雙曲線中a4，c5，故雙曲線中b3，雙曲線方程為1.8已知a>b>0，e1，e2分別為圓錐曲線1和1的離心率，則lge1lge2的值()A大于0且小于1 B大于1C小于0 D等于0答案C解析lge1lge2lglglg<lg0，lge1lge2<0.9動(dòng)圓與圓x2y21和x2y28x120都相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為()A雙曲線的一支 B圓C拋物線 D雙曲線答案A解析設(shè)動(dòng)圓半徑為r，圓心為O，x2y21的圓心為O，圓x2y28x120的圓心為O2，由題意得|OO1|r1，|OO2|r2，|OO2|OO1|r2r11<|O1O2|4，由雙曲線的定義知，動(dòng)圓圓心O的軌跡是雙曲線的一支10(xx浙江理，8)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近方程為()A3x4y0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0答案C解析如圖：由條件|F2A|2a，|F1F2|2c又知|PF2|F1F2|，知A為PF1中點(diǎn)，由a2b2c2，有|PF1|4b由雙曲線定義：|PF1|PF2|2a，則4b2c2a2bca，又有c2a2b2，(2ba)2a2b2，4b24aba2a2b23b24ab，漸近線方程：yx.故選C.二、填空題11設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線2x22y21有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是_答案y21解析雙曲線為1.雙曲線的焦點(diǎn)為(1,0)和(1,0)，離心率為.則橢圓的離心率為，又e，c1，a，b1.橢圓的方程是y21.12過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于_答案2解析由題意得，ac，即a2acb2，a2acc2a2，c2ac2a20，e2e20.解得e2或e1(舍去)13雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為_答案3.2解析設(shè)|PF1|m，|PF2|n(m>n)，a3，b4，c5.由雙曲線的定義知，mn2a6，又PF1PF2.PF1F2為直角三角形即m2n2(2c)2100.由mn6，得m2n22mn36，2mnm2n23664，mn32.設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d，SPF1F2d|F1F2|PF1|PF2|，即d2cmn.d3.2，即點(diǎn)P到x軸的距離為3.2.14(xx北京理，13)已知雙曲線1的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓1的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_；漸近線方程為_答案(4,0)yx解析雙曲線焦點(diǎn)即為橢圓焦點(diǎn)，不難算出為(4,0)，又雙曲線離心率為2，即2，c4，故a2，b2，漸近線為yxx.三、解答題15求以橢圓1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P(4，3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解析橢圓1長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為A1(5,0)，A2(5,0)，則雙曲線的焦點(diǎn)為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，由雙曲線的定義知，|PF1|PF2|8，即2a8，a4，c5，b2c2a29.所以雙曲線的方程為1.16直線l被雙曲線1截得弦長(zhǎng)為4，其斜率為2，求直線l在y軸上的截距解析設(shè)直線l的方程為y2xm，由得10x212mx3(m22)0.設(shè)直線l與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由韋達(dá)定理，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)，|AB|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25m24(m22)|AB|4，m26(m22)16.3m270，m.17設(shè)P點(diǎn)是雙曲線1上除頂點(diǎn)外的任意一 點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，c為半焦距，PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2切于點(diǎn)M，求|F1M|F2M|之值解析如圖所示P是雙曲線上任一點(diǎn)(頂點(diǎn)除外)，由雙曲線定義得|PF1|PF2|2a，根據(jù)切線定理，可得|F1M|F2M|PF1|PF2|2a. 又|F1M|F2M|2c，當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，|F1M|ca，|F2M|ca.當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，|F1M|ca，|F2M|ca.故|F1M|F2M|c2a2b2.18已知直線yax1與雙曲線3x2y21交于A、B兩點(diǎn)(1)若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值，(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線yx對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解析(1)由消去y得，(3a2)x22ax20依題意即<a<且a設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，OAOB.x1x2y1y20，但y1y2a2x1x2a(x1x2)1，由知，x1x2，x1x2.(a21)a10.解得a1且滿足.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使A、B關(guān)于yx對(duì)稱，則直線yax1與yx垂直，a2.直線l的方程為y2x1.將a2代入得x1x24.AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為y2213.但AB中點(diǎn)(2，3)不在直線yx上即不存在實(shí)數(shù)a，使A、B關(guān)于直線yx對(duì)稱