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2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 拋物線知識(shí)精講 理 人教版第二冊(cè) 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 拋物線 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 定義：平面內(nèi)到定點(diǎn) F 與到定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線。 2. 標(biāo)準(zhǔn)方程： （） 3. 性質(zhì)： （1）對(duì)稱性：關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱 （2）頂點(diǎn)：（0，0） （3）離心率： 4. 參數(shù)方程： （為參數(shù)） 【典型例題】 [例 1] 求焦點(diǎn)在直線上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程。 解： 與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為（4，0） （0， ） ∴ 所求拋物線方程 [例 2] 焦點(diǎn)在軸的拋物線與圓相交，它們?cè)谳S上方交點(diǎn)為 A、B，線段 AB 的中點(diǎn)在直線上， 求拋物線的方程。 解： 01)4(01422 ???????????xmxxym)6()( ??? ① 方程的根為負(fù)數(shù)與矛盾 ② 方程的根為正數(shù)與矛盾 ∴ A B（） 211212121 ])[()( xmxmxy ??????? ?6)(2 AB 中點(diǎn)（， ） 若中點(diǎn)在上 ??? ?????)2,0(64m ∴ [例 3] P 為平面上一點(diǎn)，過 P 作與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線可以作幾條？ 解： ① 只有一條 ② 在曲線上 只有兩條 ③ 只有三條 [例 4] 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，求拋物線方程。 解： 01)2(412?????????xaxya5522?AB 或 ∴ 或 [例 5] 過拋物線的焦點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A、B ，求證：。 證明： ① 斜率不存在， ， ② 斜率存在 ??? ???pxyk2)( 221pky??? [例 6] O 為原點(diǎn)， A、B 為拋物線，上兩點(diǎn)，并且 OA⊥OB，① 求最小值；② 弦 AB 中點(diǎn) M 到直線距離最小值。 解： ① ： ： （） ② A（） B（） ∴ M（） （M， ） 5/2)1()(22????kk 5 6 40758min?d [例 7] 求證：拋物線的兩弦平行的充要條件是兩弦中點(diǎn)的連線斜率為 0。 證明： 設(shè) A（， ）B（， ）C（， ）D（， ）在拋物線上 AB 中點(diǎn) M（， ）N（， ） ① 若軸顯然成立 ② AB、CD 均不垂直于軸 已知 同理： ∴ ∴ 04321 ???????MNCDAB kyyyk [例 8] 拋物線（）的焦點(diǎn) F，過 F 的弦 AB 長為，O 為原點(diǎn)，求。 解： ① AB 斜率不存在 ② AB 斜率存在，設(shè)為??????pxyk2)( 04)2(22??pkxkpmpmkS 24141212?????? 綜上所述 [例 9] 拋物線上，存在 P、Q 兩點(diǎn)，并且 P、Q 關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍。 解： 方法一：設(shè) P（， ）Q（， ） ∴ )())(( 212121 xyy??????????)2(211xk ∴ ∴ ])[11??yy)(2??kk03121?84?? ∴ 方法二： ∴ 在形內(nèi) 【模擬試題】 （答題時(shí)間：35 分鐘） 1. 拋物線的焦點(diǎn) F，準(zhǔn)線交軸于 R，過拋物線上一點(diǎn) P（4，4）作 PQ⊥于 Q，則（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 2. 拋物線與橢圓的公共弦長為（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知 A、B 是拋物線上兩點(diǎn)，O 為原點(diǎn)，若且的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，則 AB 的直 線方程為（ ） A. B. C. D. 4. 拋物線與直線交于兩點(diǎn)，它們橫坐標(biāo)為， ，直線與軸交點(diǎn)為（）則， ，關(guān)系為（ ） A. B. C. D. 5. 已知?jiǎng)狱c(diǎn) P（， ）滿足 1243)2()1(52????yxyx，則 P 點(diǎn)軌跡為（ ） A. 拋物線 B. 直線 C. 雙曲線 D. 橢圓 6. 兩定點(diǎn) A（， ） ，B（2， ）動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線上移動(dòng)，則垂心 G 的軌跡方程為（ ） A. B. C. D. 7. P 為拋物線上一點(diǎn)，A（，0） ，最小值為，求。 8. 已知拋物線 C：及 A（2，1） ，P、Q 為拋物線上動(dòng)點(diǎn)① 的最小值；② 的最大值。yx.FO 【試題答案】 1. B 2. C 3. D 4. C 5. A 6. B 7. 解： 設(shè) P（， ）為拋物線上一點(diǎn) 0202020)( xaxyaxA?????? )()}1(]{[ ? ① ② 時(shí) ∴ ??? ??????)1,([12ad 8. 解： ① ,lpdPAF? P（，1） ② 此 Q（， ）