專題1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 【核心素養(yǎng)分析】 1.理解命題的概念。 2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系。 3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義。 4.重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理能力的核心素養(yǎng)。 【知識梳理】 知識點(diǎn)一 命題及其關(guān)系 1．命題 用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其相互關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 (2)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性； ②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 知識點(diǎn)二 充分條件與必要條件 1．充分條件、必要條件與充要條件的概念 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p是q的充分不必要條件 p?q且q?p p是q的必要不充分條件 p?q且q?p p是q的充要條件 p?q p是q的既不充分也不必要條件 p?q且q?p 【特別提醒】 1．充要條件的兩個結(jié)論 (1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件． (2)若p是q的充分不必要條件，則綈q是綈p的充分不必要條件． 2．一些常見詞語及其否定 詞語 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一個是 不等于 不大于 【典例剖析】 高頻考點(diǎn)一 四種命題及其相互關(guān)系 例1、（2020福建三明一中模擬）命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是(　　) A．若x2≥1，則x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，則x2<1 C．若x>1或x<－1，則x2>1 D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1 【答案】D 【解析】命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的知識，可知其逆否命題為“若綈q，則綈p”的形式，所以“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是“若x≥1或x≤－1，則x2≥1”．故選D. 【規(guī)律方法】由原命題寫出其他三種命題的方法 由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將原命題的條件與結(jié)論互換即得逆命題，將原命題的條件與結(jié)論同時否定即得否命題，將原命題的條件與結(jié)論互換的同時進(jìn)行否定即得逆否命題。 【變式探究】（2020浙江杭州十四中模擬）有下列四個命題，其中真命題是(　　) ①“若xy＝1，則lg x＋lg y＝0”的逆命題； ②“若ab＝ac，則a⊥(b－c)”的否命題； ③“若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)根”的逆否命題； ④“等邊三角形的三個內(nèi)角均為60”的逆命題． A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【解析】①“若xy＝1，則lg x＋lg y＝0”的逆命題為“若lg x＋lg y＝0，則xy＝1”，該命題為真命題； ②“若ab＝ac，則a⊥(b－c)”的否命題為“若ab≠ac，則a不垂直(b－c)”，由ab≠ac可得a(b－c)≠0，據(jù)此可知a不垂直(b－c)，該命題為真命題； ③若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判別式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有實(shí)根，為真命題，則其逆否命題為真命題； ④“等邊三角形的三個內(nèi)角均為60”的逆命題為“三個內(nèi)角均為60的三角形為等邊三角形”，該命題為真命題． 綜上可得，真命題是①②③④.故選B. 高頻考點(diǎn)二 充分條件與必要條件的判斷 例2、(1)(2019高考天津卷)設(shè)x∈R，則“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2019高考北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos x＋bsin x(b為常數(shù))，則“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】　(1)B　(2)C 【解析】　(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于區(qū)間(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分條件． (2)b＝0時，f(x)＝cos x，顯然f(x)是偶函數(shù)，故“b＝0”是“f(x)是偶函數(shù)”的充分條件；f(x)是偶函數(shù)，則有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－bsin x＝cos x＋bsin x，則2bsin x＝0對任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函數(shù)”的必要條件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函數(shù)” 的充分必要條件，故選C. 【規(guī)律方法】充要條件的判斷方法 (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷. (2)集合法：根據(jù)使p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷. (3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題. 【變式探究】（2020吉林長春外國語學(xué)校模擬）設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】2－x≥0，則x≤2，(x－1)2≤1，則－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，據(jù)此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分條件． 高頻考點(diǎn)三 充分條件、必要條件的應(yīng)用 例3、（2020湖南株洲二中模擬）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P. ∴解得m≤3. 又∵S為非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0. 綜上，m的取值范圍是[0，3]. 【方法技巧】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵點(diǎn) (1)先合理轉(zhuǎn)化條件,常通過有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象將恒成立問題和有解問題轉(zhuǎn)化為最值問題等,得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍. (2)求解參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn),尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時,不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍,處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象. 【變式探究】（2020山西平遙中學(xué)模擬）若關(guān)于x的不等式|x－1|<a成立的充分條件是0<x<4 ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)<1 C．a(chǎn)>3 D．a(chǎn)≥3 【答案】D 【解析】|x－1|<a?－a<x－1<a?1－a<x<1＋a，因?yàn)椴坏仁絴x－1|<a成立的充分條件是0<x<4，所以(0，4)?(1－a，1＋a)，所以??a≥3，故D正確。