2019年高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 課時分層作業(yè)五十八 8.9 直線與圓錐曲線的位置關系 理一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若過點(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點,這樣的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條【解析】選C.結合圖形分析可知,滿足題意的直線共有3條:直線x=0,過點(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(0,1),且與拋物線相切的直線(非直線x=0).2.(xx濟南模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點為F2,O為坐標原點,M為y軸上一點,點A是直線MF2與橢圓C的一個交點,且|OA|=|OF2|=2|OM|,則橢圓C的離心率為()A.B.C.D.【解析】選D.由題知,M在橢圓的短軸上.設橢圓C的左焦點為F1,連接AF1.因為|OA|=|OF2|,所以|OA|=|F1F2|,即AF1AF2,因為=,所以|AF1|=c,|AF2|=c,所以2a=|AF1|+|AF2|=c,則橢圓C的離心率為e=.3.(xx開封模擬)在平面直角坐標系xOy中,已知雙曲線C1: 2x2-y2=1,過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線,則該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積為()A.B.C.D.【解析】選C.不妨設直線的斜率為,則直線方程為y=,另一條漸近線方程為y=-x,聯(lián)立可得交點坐標為M,故三角形的面積為S=.【變式備選】已知拋物線y2=8x的準線與雙曲線-=1(a>0)相交于A,B兩點,點F為拋物線的焦點,ABF為直角三角形,則雙曲線的離心率為()A.3B.+1C.2D.【解析】選A.由拋物線方程可得拋物線的準線方程為x=-2,代入雙曲線方程可得y=,不妨設A,因為FAB 是直角三角形,所以可得=p=4a=, 因此雙曲線的離心率e=3.4.已知直線y=2(x-1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點,點M(-1,m),若=0,則m=()A.B.C.D.0【解析】選B.不妨設A在B上方.由得A(2,2),B,又因為M(-1,m)且=0,所以2m2-2m+1=0,解得m=.【變式備選】已知雙曲線-=1(b>0)的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于()A.B.4C.3D.5【解析】選A.由題易得拋物線的焦點為(3,0),所以雙曲線的右焦點為(3,0),所以b2=c2-a2=9-4=5,所以雙曲線的一條漸近線方程為y=x,即x-2y=0,所以所求距離為d=.5.直線3x+4y-7=0與橢圓+=1(a>b>0)相交于兩點A,B ,線段AB的中點為M(1,1),則橢圓的離心率是()A.B.C.D.【解析】選A.設A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1,+=1,作差得+=0即+=0,兩邊同時除以(x1-x2)即得+=0,因為x1+x2=2,y1+y2=2,=,代入得+=0,所以=,e=.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知拋物線C:y2=2x,過焦點F且斜率為1的直線與C相交于P,Q兩點,且P,Q兩點在準線上的投影分別為M,N兩點,則SMFN=_.【解析】設P(x1,y1),Q(x2,y2),所以SMFN=p|y1-y2|=1|y1-y2|=|y1-y2|,直線方程是y=x-,與拋物線方程聯(lián)立整理得y2-2y-1=0, y1+y2=2,y1y2=-1,所以|y1-y2|=2.所以SMFN=|y1-y2|=.答案:7.(xx汾陽模擬)斜率為的直線與雙曲線-=1恒有兩個公共點,則雙曲線離心率的取值范圍是_.【解析】由題意可知,雙曲線的其中一條(k>0)漸近線斜率大于,>,e=>.答案:【變式備選】過拋物線y2=2x的焦點作一條直線與拋物線交于A,B兩點,它們的橫坐標之和等于2,則這樣的直線有且只有_條.【解析】設該拋物線焦點為F,A(xA,yA),B(xB,yB),則|AB|=|AF|+|FB|= xA+xB+=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合條件的直線有且只有兩條.答案:兩8.已知斜率為2的直線經過橢圓+=1的右焦點F1,與橢圓相交于A,B兩點,則弦AB的長為_.【解析】由題意知,橢圓的右焦點F1的坐標為(1,0),直線AB的方程為y=2(x-1).由方程組消去y,整理得3x2-5x=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關系,得x1+x2=,x1x2=0.則|AB|=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知橢圓E:+=1(a>b>0)過點(0,),且離心率e=.(1)求橢圓E的方程.(2)設直線l:x=my-1(mR)交橢圓E于A,B兩點,判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關系,并說明理由.【解析】(1)由已知,得解得所以橢圓E的方程為+=1.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為H(x0,y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,從而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.=(1+m2)(-y1y2),故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=>0,所以|GH|>.故點G在以AB為直徑的圓外.【一題多解】本題(2)還可以采用以下方法:設點A(x1,y1),B(x2,y2),則=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,從而=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=+=>0,所以cos<,>>0.又,不共線,所以AGB為銳角.故點G在以AB為直徑的圓外.10.(xx承德模擬)如圖,橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率是,點P(0,1)在短軸CD上,且=-1.(1)求橢圓E的方程.(2)設O為坐標原點,過點P的動直線與橢圓交于A,B兩點.是否存在常數(shù),使得+為定值?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.【解析】 (1)由已知,點C,D的坐標分別為(0,-b),(0,b).又點P的坐標為(0,1),且=-1,于是解得a=2,b=.所以橢圓E的方程為+=1.(2)當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y=kx+1,點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).聯(lián)立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判別式=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以x1+x2=-,x1x2=-.從而,+=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=-2.所以,當=1時,-2=-3.此時,+=-3為定值.當直線AB斜率不存在時,直線AB即為直線CD.當=1時,+=+=-2-1=-3.故存在常數(shù)=1,使得+為定值-3.1.(5分)已知橢圓C的方程為+=1(m>0),如果直線y=x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F,則m的值為()A.2B.2C.8D.2【解析】選B.根據(jù)已知條件得c=,則點在橢圓+=1(m>0)上,所以+=1,可得m=2(m=-2舍去).【變式備選】已知動點P(x,y)在橢圓+=1上,若A點坐標為(3,0),|=1,且=0則|的最小值是()A.B.C.2D.3【解析】選B.由|=1可知點M的軌跡為以點A為圓心,1為半徑的圓,過點P作該圓的切線PM,則|PA|2=|PM|2+|AM|2,得|PM|2=|PA|2-1,所以要使得|的值最小,則要的值最小,而的最小值為a-c=2, 此時|的值最小為.2.(5分)(xx武漢模擬)已知橢圓+=1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x-y+5=0,弦的中點坐標是M(-4,1),則橢圓的離心率是()A.B.C.D.【解析】選C.設直線與橢圓交點為A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程得由點差法及x1+x2=-8,y1+y2=2可得yM=-xM,代入k=1,M(-4,1),解得=,所以e=.3.(5分)(xx 衡水模擬)已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A,B兩點,在拋物線AOB這段曲線上有一點P,則APB的面積的最大值為_.【解析】由弦長公式知|AB|=3,只需點P到直線AB距離最大就可保證APB的面積最大.設與l平行的直線y=2x+b與拋物線相切,解得b=.所以d=,所以(SAPB)max =3=.答案:4.(12分)(xx貴陽模擬)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當直線AB斜率為0時,|AB|=4.(1)求橢圓的方程.(2)若|AB|+|CD|=,求直線AB的方程.【解析】(1)由題意知e=,2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以橢圓方程為+=1.(2)當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時,另一條弦所在直線的斜率不存在,由題意知|AB|+|CD|=7,不滿足條件.當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時,設直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),則直線CD的方程為y=-(x-1).將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,則x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=.同理,|CD|=.所以|AB|+|CD|=+=,解得k=1,所以直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.5.(13分)已知曲線C的方程為+=4,經過點(-1,0)作斜率為k的直線l,l與曲線C交于A,B兩點,l與直線x=-4交于點D,O是坐標原點.(1)若+=2,求k的值.(2)是否存在實數(shù)k,使AOB為銳角三角形?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.【解析】(1)由+=4得+=4>2.所以曲線C是以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點,4為長軸長的橢圓.所以曲線C的方程為+=1,即3x2+4y2=12.因為直線l經過點(-1,0),斜率為k,所以直線l的方程為y=k(x+1).因為直線l與直線x=-4交于點D,所以D(-4,-3k).設A(x1,kx1+k),B(x2,kx2+k).由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=,x1x2=.由+=2得2x2-x1=-4.由2x2-x1=-4和x1+x2=,得x1=,x2=-.因為x1x2=,所以=,化簡得4k4-k2-5=0,解得k2=或k2=-1<0(舍去).解得k=.(2)由(1)知,A(x1,kx1+k),B(x2,kx2+k),x1+x2=,x1x2=.因為=(x1,kx1+k),=(x2,kx2+k),=x1x2+(kx1+k)(kx2+k)=(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=<0,所以AOB>.所以不存在實數(shù)k,使AOB為銳角三角形.