2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料數(shù)列一、數(shù)列的基礎(chǔ)知識1數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)的和Sn的關(guān)系它包括兩個方面的問題：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn；2遞推數(shù)列，解決這類問題時一般都要與兩類特殊數(shù)列相聯(lián)系，設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)問題，然后解決。常見類型： 類型：（一階遞歸）其特例為：（1） （2） （3）解題方法：利用待定系數(shù)法構(gòu)造類似于“等比數(shù)列”的新數(shù)列。類型：（二階遞歸）解題方法:利用特征方程x2=px+q,求其根、,構(gòu)造an=An+Bn，代入初始值求得。類型：an+1=f(an)其中函數(shù)f(x)為基本初等函數(shù)復(fù)合而成。解題方法：一般情況下，通過構(gòu)造新數(shù)列可轉(zhuǎn)化為前兩種類型。二、等差數(shù)列與等比數(shù)列1定義：2通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式：函數(shù)的思想：等差數(shù)列可以看作是一個一次函數(shù)型的函數(shù)；等比數(shù)列可以看作是一個指數(shù)函數(shù)型的函數(shù)。可以利用函數(shù)的思想、觀點(diǎn)和方法分析解決有關(guān)數(shù)列的問題。三等差數(shù)列與等比數(shù)列數(shù)列問題的綜合性和靈活性如何表現(xiàn)？數(shù)列問題的綜合性主要表現(xiàn)在1數(shù)列中各相關(guān)量的關(guān)系較為復(fù)雜、隱蔽2同一問題中出現(xiàn)有若干個相關(guān)數(shù)列，既有等差或等比數(shù)列，也有非等差，非等比的數(shù)列，需相互聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)換 數(shù)列問題的靈活性表現(xiàn)在： 1需靈活應(yīng)用遞推公式，通項(xiàng)公式，求和公式，尋求已知與所求的關(guān)系，減少中間量計(jì)算 2需靈活選用輔助數(shù)列，處理相關(guān)數(shù)列的關(guān)系 例題講解1已知(bc)logm x+(ca)logm y+(ab)logm z0 (1) 若a、b、c依次成等差數(shù)列，且公差不為0，求證x、y、z成等比數(shù)列； (2) 若x、y、z依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證a、b、c成等差數(shù)列 2. 數(shù)列an的 前 n 項(xiàng) 和Sna 2n + b（nN），則an為等比數(shù)列的充要條件是_3. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S756，Sn420，an334，則n_4. 等差數(shù)列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135. 各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)之和為Sn，若S10=10，S30=70，求S40。6. 設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,),則它的通項(xiàng)公式是an= .7已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn，且a1,a2,a3,an組成等差數(shù)列（n為正偶數(shù)），又f(1)=n2,f(-1)=n；（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)an；（2）試比較f(0.5)與3的大小，并說明理由。8在1與2之間插入個正數(shù)a1,a2,a3,an，使這n+2個正數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個正數(shù)b1,b2,b3,bn，使這n+2個正數(shù)成等差數(shù)列。記An=a1a2a3an,Bn=b1+b2+b3+bn.（1）求數(shù)列An和Bn的通項(xiàng)；（2）當(dāng)n7時，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。9. 設(shè)任意實(shí)數(shù)x,y滿足|x|<1,|y|<1,求證： (第19屆莫斯科數(shù)學(xué)競賽試題)10. 從n個數(shù)1,a, a2, an (a>2)中拿走若干個數(shù)，然后將剩下的數(shù)任意分成兩個部分，證明：這兩部分之和不可能相等11.已知a1=，an=，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。12.正整數(shù)k，g（k）表示k的最大奇因子（例如g（3）=3，g（20）=5），求g（1）+ g（2）+ g（3）+.+ g（2n）(其中nN*)13.將數(shù)字1，2，3，.，n填入標(biāo)號為1，2，3，n的n個方格內(nèi)，每格一個數(shù)字，則標(biāo)號與數(shù)字均不相同的填法有多少種？14.用1，2，3三個數(shù)字寫n位數(shù)，要求數(shù)中不出現(xiàn)緊挨著的兩個1，問能構(gòu)成多少個n位數(shù)？15.設(shè)數(shù)列an和bn滿足a0=1，b0=0，且 （n=0，1，2，.）證明：an（n=0，1，2，.）是完全平方數(shù)16.已知a,b均為正整數(shù),且a>b,sin=(其中0<),An=(a2+b2)nsinn求證: 對一切正整數(shù)n,均為整數(shù)17.（1）證明： （2） 求正整數(shù)a, b，c，使得對任意（n>2），有 18. 設(shè)A，E為正八邊形的相對頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A處有一只青蛙，除頂點(diǎn)E外青蛙可以從八邊形的任一頂點(diǎn)跳到兩相鄰頂點(diǎn)中任一個，落到頂點(diǎn)E時青蛙就停止跳動，設(shè)青蛙從頂點(diǎn)A恰好跳n次后到E的方法數(shù)為an，求an19. 使得：（1）a1=1（2）|ai-ai+1|2（i=1,2,n-1）.確定f (1996)是否能被3整除課后練習(xí)1設(shè)數(shù)列a1,a2,.,an,.滿足a1a21,a32，且對任何自然數(shù)n, 都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+.+a100的值是_2設(shè)正數(shù)列a0,a1,a2,L,an,L滿足(n2)且a0=a1=1求an的通項(xiàng)公式3已知數(shù)列滿足,且,其前n項(xiàng)之和為,則滿足不等式的最小整數(shù)n是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)84設(shè)等差數(shù)列滿足且,Sn為其前項(xiàng)之和，則Sn中最大的是( ) (A) (B) (C) (D)5等比數(shù)列的首項(xiàng),公比,用表示它的前n項(xiàng)之積。則最大的是( )(A) (B) (C) (D) 6設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和Sn=2an -1(n=1,2,3,.)，數(shù)列bn滿足b1=3, bk+1ak+bk (k=1,2,3.).求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.7已知數(shù)列滿足(n2)，x1a, x2b, 記Snx1+x2+xn，則下列結(jié)論正確的是( )(A)x100=-a,S100=2b-a (B)x100=-b,S100=2b-a(C)x100=-b,S100=b-a (D)x100=-a,S100=b-a8設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)的和為972，則這樣的數(shù)列共有( )(A)2個 (B)3個 (C)4個 (D)5個9各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列an前n項(xiàng)和記為Sn，若S10=10,S30=70，則S40等于( )(A) 150 (B) -200 (C) 150或-200 (D)400或-5010等比數(shù)列a+log23,a+log43,a+log83的公比是_.11設(shè)Sn=1+2+3+n,nN，求f(n)=的最大值.12設(shè)為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且，又，試求的首項(xiàng)和公差。13如圖，有一列曲線已知所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，進(jìn)行如下操作得到：將的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉所圍成圖形的面積求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求 P0 P1 P214刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列這個新數(shù)列的第xx項(xiàng)是（ ）(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)204915 已知數(shù)列滿足關(guān)系式且，則的值是_。 16 在平面直角坐標(biāo)系中， 軸正半軸上的點(diǎn)列與曲線（0）上的點(diǎn)列滿足，直線在X軸上的截距為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，。 （）證明>>4，。 （）證明有，使得對都有<。課后練習(xí)答案1200, 2 , 3C , 4C , 5C6, 7A, 8C, 9A, 1011當(dāng)n=8時，f(n)取得最大值，為, 1213略14C1516略