1.2 直 角 三 角 形 的 性 質(zhì) 和 判 定 （ ）第 1章 直 角 三 角 形 優(yōu) 翼 課 件 導(dǎo)入新課 講授新課 當(dāng)堂練習(xí) 課堂小結(jié)學(xué) 練 優(yōu) 八 年 級 數(shù) 學(xué) 下 （ XJ） 教 學(xué) 課 件第 2課 時 勾 股 定 理 的 實 際 應(yīng) 用 學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 會 運 用 勾 股 定 理 求 線 段 長 及 解 決 簡 單 的 實 際 問 題 . （ 重 點 ）2.能 從 實 際 問 題 中 抽 象 出 直 角 三 角 形 這 一 幾 何 模 型 ，利 用 勾 股 定 理 建 立 已 知 邊 與 未 知 邊 長 度 之 間 的 聯(lián) 系 ， 并 進 一 步 求 出 未 知 邊 長 .（ 難 點 ） 情景引入數(shù) 學(xué) 來 源 于 生 活 ， 勾 股 定 理 的 應(yīng) 用 在 生 活 中 無 處 不 在 ，觀 看 下 面 視 頻 ， 你 們 能 理 解 曾 小 賢 和 胡 一 菲 的 做 法 嗎 ？導(dǎo)入新課 問 題 觀 看 下 面 同 一 根 長 竹 竿 以 三 種 不 同 的 方 式 進 門的 情 況 ， 并 結(jié) 合 曾 小 賢 和 胡 一 菲 的 做 法 ， 對 于 長 竹 竿進 門 之 類 的 問 題 你 有 什 么 啟 發(fā) ？ 這 個 跟 我 們 學(xué) 的勾 股 定 理 有 關(guān) ，將 實 際 問 題 轉(zhuǎn) 化為 數(shù) 學(xué) 問 題勾股定理的簡單實際應(yīng)用一講授新課 例 1 一 個 門 框 的 尺 寸 如 圖 所 示 ， 一 塊 長 3m ,寬 2.2m 的長 方 形 薄 木 板 能 否 從 門 框 內(nèi) 通 過 ?為 什 么 ? 2m1mA BD C典例精析解 ： 在 Rt ABC中 ， 根 據(jù) 勾 股 定 理 ，AC2=AB2+BC2=12+22=5 5 2.24.AC 因 為 AC大 于 木 板 的 寬 2.2m ,所 以 木 板 能 從 門 框 內(nèi) 通 過 . 分 析 ： 可 以 看 出 木 板 橫 著 ， 豎 著 都不 能 通 過 ， 只 能 斜 著 .門 框 AC的 長度 是 斜 著 能 通 過 的 最 大 長 度 ， 只 要AC的 長 大 于 木 板 的 寬 就 能 通 過 . A B DCO 解 ： 在 Rt ABO中 ， 根 據(jù) 勾 股 定 理 得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1， OB=1.在 Rt COD中 ， 根 據(jù) 勾 股 定 理 得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,3.15 1.77,OD 1.77 1 0.77.BD OD OB 所 以 梯 子 的 頂 端 沿 墻 下 滑 0.5m 時 ， 梯 子 底 端 并 不是 也 外 移 0.5m ， 而 是 外 移 約 0.77m . 例 2 如 圖 ， 一 架 2.6m 長 的 梯 子 AB斜 靠 在 一 豎 直 的 墻AO上 ， 這 時 AO為 2.4m . 如 果 梯 子 的 頂 端 A沿 墻 下 滑0.5m ,那 么 梯 子 底 端 B也 外 移 0.5m 嗎 ? 例 3： 我 國 古 代 數(shù) 學(xué) 著 作 九 章 算 術(shù) 中 記 載 了 一 道有 趣 的 問 題 ， 這 個 問 題 的 意 思 是 ： 有 一 個 水 池 ， 水 面是 一 個 邊 長 為 10尺 的 正 方 形 ， 在 水 池 的 中 央 有 一 根 新生 的 蘆 葦 ， 它 高 出 水 面 1尺 ， 如 果 把 這 根 蘆 葦 垂 直 拉向 岸 邊 ， 它 的 頂 端 恰 好 到 達 岸 邊 的 水 面 ， 請 問 這 個 水池 的 深 度 和 這 根 蘆 葦 的 長 度 各 是 多 少 ？ DA BC 解 ： 設(shè) 水 池 的 水 深 AC為 x尺 ，則 這 根 蘆 葦 長 AD=AB=（ x+1） 尺 ，在 直 角 三 角 形 ABC中 ， BC=5尺由 勾 股 定 理 得 ， BC2+AC2=AB2即 52+ x2= (x+1)225+ x2= x2+2x+1，2 x=24， x=12， x+1=13.答 ： 水 池 的 水 深 12尺 ， 這 根 蘆 葦 長 13尺 . 例 4 在 一 次 臺 風(fēng) 的 襲 擊 中 ， 小 明 家 房 前 的 一 棵 大 樹 在離 地 面 6米 處 斷 裂 ， 樹 的 頂 部 落 在 離 樹 根 底 部 8米 處 .你 能 告 訴 小 明 這 棵 樹 折 斷 之 前 有 多 高 嗎 ？ 8 米6米 8 米6米 AC B 解 ： 根 據(jù) 題 意 可 以 構(gòu) 建 一直 角 三 角 形 模 型 ， 如 圖 .在 Rt ABC中 ，AC=6米 ， BC=8米 ，由 勾 股 定 理 得 2 22 26 810 .AB AC BC 米 這 棵 樹 在 折 斷 之 前 的高 度 是 10+6=16（ 米 ） . 利 用 勾 股 定 理 解 決 實 際 問 題 的 一 般 步 驟 ：（ 1） 讀 懂 題 意 ， 分 析 已 知 、 未 知 間 的 關(guān) 系 ；（ 2） 構(gòu) 造 直 角 三 角 形 ；（ 3） 利 用 勾 股 定 理 等 列 方 程 ；（ 4） 解 決 實 際 問 題 .歸納總結(jié) 數(shù) 學(xué) 問 題直 角 三 角 形勾 股 定 理實 際 問 題 轉(zhuǎn) 化 構(gòu)建利 用解決 1.湖 的 兩 端 有 A、 B兩 點 ， 從 與 BA方 向 成 直 角 的 BC方 向上 的 點 C測 得 CA=130米 ,CB=120米 ,則 AB為 ( )ABCA.50米 B.120米 C.100米 D.130米130120 ? A練一練 2.如 圖 ， 學(xué) 校 教 學(xué) 樓 前 有 一 塊 長 方 形 草 坪 ,草 坪 長 為 4米 ，寬 為 3米 ， 有 極 少 數(shù) 人 為 了 避 開 拐 角 走 “ 捷 徑 ” ， 在 草坪 內(nèi) 走 出 了 一 條 “ 徑 路 ” ， 卻 踩 傷 了 花 草 .（ 1） 求 這 條 “ 徑 路 ” 的 長 ；（ 2） 他 們 僅 僅 少 走 了 幾 步 (假 設(shè) 2步 為 1米 )？解 ： (1)在 Rt ABC中 ，根 據(jù) 勾 股 定 理 得 這 條 “ 徑 路 ” 的 長 為 5米 .（ 2） 他 們 僅 僅 少 走 了 (3+4-5) 2=4(步 ).別 踩 我 ,我 怕 疼 ! 2 23 4 5AB 米 ，A BC C BA問 題 在 A點 的 小 狗 ， 為 了 盡 快 吃 到 B點 的 香 腸 ， 它 選擇 A B 路 線 ， 而 不 選 擇 A C B路 線 ， 難 道 小 狗 也懂 數(shù) 學(xué) ？AC+CB AB（ 兩 點 之 間 線 段 最 短 ）思 考 在 立 體 圖 形 中 ， 怎 么 尋 找 最 短 線 路 呢 ？利用勾股定理求最短距離二 BA d A BA A BBA O想 一 想 ： 螞 蟻 走 哪 一 條 路 線 最 近 ？A 螞 蟻 AB的 路 線問 題 ： 在 一 個 圓 柱 石 凳 上 ， 若 小 明 在 吃 東 西時 留 下 了 一 點 食 物 在 B處 ， 恰 好 一 只 在 A處 的螞 蟻 捕 捉 到 這 一 信 息 ， 于 是 它 想 從 A處 爬 向 B處 ， 螞 蟻 怎 么 走 最 近 ？ BA根 據(jù) 兩 點 之 間 線 段 最 短 易 知 第 四 個 路 線 最 近 . 若 已 知 圓 柱 體 高 為 12 cm ， 底 面 半 徑 為 3 cm ， 取 3.BA 3 O12 側(cè) 面 展 開 圖 12 3A BA A 解 ： 在 Rt ABA中 ， 由 勾 股 定 理 得 22 2 212 3 3 15.AB AA BA 立 體 圖 形 中 求 兩 點 間 的 最 短 距 離 ， 一 般 把 立 體 圖形 展 開 成 平 面 圖 形 ， 連 接 兩 點 ， 根 據(jù) 兩 點 之 間 線 段 最短 確 定 最 短 路 線 .歸納 例 5 有 一 個 圓 柱 形 油 罐 ， 要 以 A點 環(huán) 繞 油 罐 建 梯 子 ， 正好 建 在 A點 的 正 上 方 點 B處 ， 問 梯 子 最 短 需 多 少 米 (已 知油 罐 的 底 面 半 徑 是 2 米 ， 高 AB是 5 米 ， 取 3） ?AB AB AB解 ： 油 罐 的 展 開 圖 如 右 圖 ， 則 AB為 梯 子 的 最 短 距 離 . AA =2 3 2=12, AB=5, AB=13. 即 梯 子 最 短 需 13米 . 數(shù) 學(xué) 思 想 ：立 體 圖 形 平 面 圖 形轉(zhuǎn) 化展 開 B牛 奶 盒A【 變 式 題 】 看 到 小 螞 蟻 終 于 喝 到 飲 料 的 興 奮 勁 兒 ，小 明 靈 光 乍 現(xiàn) ， 拿 出 了 牛 奶 盒 ， 把 小 螞 蟻 放 在 點A處 ， 并 在 點 B處 放 了 點 兒 火 腿 腸 粒 ， 你 能 幫 小螞 蟻 找 出 吃 到 火 腿 腸 粒 的 最 短 路 程 么 ？6cm8cm10cm BB1 8A B2610B3 AB12 =102 +（ 6+8） 2 =296，AB22= 82 +（ 10+6） 2 =320，AB32= 62 +（ 10+8） 2 =360，解 ： 由 題 意 知 有 三 種 展 開方 法 ， 如 圖 .由 勾 股 定 理 得 AB1 AB2 AB3. 小 螞 蟻 吃 到 火 腿 腸 的 最 短路 程 為 AB1， 長 為 cm.2 74 例 6 如 圖 ， 一 個 牧 童 在 小 河 的 南 4km 的 A處 牧 馬 ， 而他 正 位 于 他 的 小 屋 B的 西 8km 北 7km 處 ， 他 想 把 他 的馬 牽 到 小 河 邊 去 飲 水 ， 然 后 回 家 他 要 完 成 這 件 事情 所 走 的 最 短 路 程 是 多 少 ？ 牧 童 A 小 屋 BAC 東北解 ： 如 圖 ， 作 出 點 A關(guān) 于 河 岸 的 對 稱點 A， 連 接 AB,則 AB就 是 最 短 路 程 .由 題 意 得 AC=4+4+7=15(km )，BC=8km .在 Rt ACB中 ， 由 勾 股 定 理 得 2 215 8 17.A B 求 直 線 同 側(cè) 的 兩 點 到 直 線 上 一 點 所 連 線 段 的 和的 最 短 路 程 的 方 法 ： 先 找 到 其 中 一 點 關(guān) 于 這 條 直 線 的對 稱 點 ， 連 接 對 稱 點 與 另 一 點 的 線 段 就 是 最 短 路 徑 長 ，以 連 接 對 稱 點 與 另 一 個 點 的 線 段 為 斜 邊 ， 構(gòu) 造 出 直 角三 角 形 ， 再 運 用 勾 股 定 理 求 最 短 路 程 .歸納 如 圖 ， 是 一 個 邊 長 為 1的 正 方 體 硬 紙 盒 ， 現(xiàn) 在 A處 有一 只 螞 蟻 ， 想 沿 著 正 方 體 的 外 表 面 到 達 B處 吃 食 物 ，求 螞 蟻 爬 行 的 最 短 距 離 是 多 少 .A B解 ： 由 題 意 得 AC =2， BC=1,在 Rt ABC中 ， 由 勾 股 定 理 得 AB= AC+ BC=2+1=5 AB= ， 即 最 短 路 程 為 . 2 1A BC 5 5 練一練 1.從 電 線 桿 上 離 地 面 5m 的 C處 向 地 面 拉 一 條 長 為 7m 的鋼 纜 ， 則 地 面 鋼 纜 A到 電 線 桿 底 部 B的 距 離 是 （ ）A.24m B.12m C. m D. m 74 2 6 D當(dāng)堂練習(xí) 2.如 圖 ， 一 支 鉛 筆 放 在 圓 柱 體 筆 筒 中 ， 筆 筒 的 內(nèi) 部底 面 直 徑 是 9cm ， 內(nèi) 壁 高 12cm ， 則 這 只 鉛 筆 的 長 度可 能 是 （ ）A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm D 3.如 圖 ， 有 兩 棵 樹 ， 一 棵 高 8米 ， 另 一 棵 高 2米 ， 兩 棵 對相 距 8米 .一 只 鳥 從 一 棵 樹 的 樹 梢 飛 到 另 一 棵 的 樹 梢 ， 問小 鳥 至 少 飛 行 多 少 ？ ABC解 ： 如 圖 ， 過 點 A作 AC BC于 點 C.由 題 意 得 AC=8米 ， BC=8-2=6(米 )， 答 ： 小 鳥 至 少 飛 行 10米 . 2 2 10AB AC BC 米 . 4.如 圖 ， 是 一 個 三 級 臺 階 ， 它 的 每 一 級 的 長 、 寬 和 高 分別 等 于 55cm ， 10cm 和 6cm ， A和 B是 這 個 臺 階 的 兩 個 相對 的 端 點 ， A點 上 有 一 只 螞 蟻 ， 想 到 B點 去 吃 可 口 的 食物 .這 只 螞 蟻 從 A點 出 發(fā) ， 沿 著 臺 階 面 爬 到 B點 ， 最 短 線路 的 長 是 多 少 ？ BA A BC解 ： 臺 階 的 展 開 圖 如 圖 ， 連 接 AB.在 Rt ABC中 ， 根 據(jù) 勾 股 定 理 得AB 2=BC2 AC2 552 482 5329, AB=73cm . 5. 為 籌 備 迎 新 晚 會 ， 同 學(xué) 們 設(shè) 計 了 一 個 圓 筒 形 燈 罩 ，底 色 漆 成 白 色 ， 然 后 纏 繞 紅 色 油 紙 ， 如 圖 .已 知 圓 筒 的高 為 108cm ， 其 橫 截 面 周 長 為 36cm ， 如 果 在 表 面 均 勻纏 繞 油 紙 4圈 ， 應(yīng) 裁 剪 多 長 的 油 紙 ？能 力 提 升 ： 解 ： 如 右 下 圖 ， 在 Rt ABC中 ，因 為 AC 36cm ， BC 108 4 27(cm )由 勾 股 定 理 ， 得AB2 AC2 BC2 362 272 2025 452，所 以 AB 45cm ，所 以 整 個 油 紙 的 長 為 45 4 180(cm ) 課堂小結(jié)勾 股 定 理的 應(yīng) 用 用 勾 股 定 理 解決 實 際 問 題用 勾 股 定 理 解 決 點 的距 離 及 路 徑 最 短 問 題 見 學(xué) 練 優(yōu) 本 課 時 練 習(xí)課后作業(yè)