探究問題解決的巧妙之法歸納與類比數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的本身往往是對已有知識的不斷提升，比如我們在學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)和分式的混合運算時通常是類比分數(shù)來進行的，這就是運用類比的方法來學(xué)習(xí)新知識。在考試中也經(jīng)常由簡單問題切入，不斷改變問題的條件，升級問題的難度，并在此過程中通過類比和歸納的方法來獲得解決問題的途徑，進而解決問題.下面通過分析典型例題來詮釋歸納和類這種數(shù)學(xué)思想方法的運用.例 1. 兩個全等的直角三角形ABC 和 DEF 重疊在一起，其中A60 ，AC=1. 固定 ABC不動，將 DEF 進行如下操作：(1) 如圖 1(1) ， DEF 沿線段 AB 向右平移 (即 D 點在線段 AB 內(nèi)移動 )，連結(jié) DC、CF 、FB，四邊形 CDBF 的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請求出其面積.(2) 如圖 1(2)，當(dāng) D 點移動到 AB 的中點時，請你猜想四邊形CDBF 的形狀，并說明理由 .(3) 如圖 1(3)， DEF 的 D 點固定在 AB 的中點時，然后繞D 點按順時針方向旋轉(zhuǎn) DEF ，使 DF 落在 AB 邊上，此時 F 點恰好與 B 點重合，連結(jié)AE，請你求出 sin 的值 .C( F)CFCFA(F)(E)DBAABED圖 1(1)D圖 1(2)BE解：(1) 過 C 點作 CGAB 于 G，在 Rt AGC 中，A 60 , AC1， sinA =sin60 = CG ，圖 1(3)EAC CG3. 又 AB =2，CF2 S 梯形 CDBF =S ABC =1 AB CG =1233.2222AGBE(2) 菱形D解圖 1(1)理由如下：C(F) CD BF ， FC BD ，四邊形CDBF 是平行四邊形 . DF AC ， ACB=90 ， CBDF ，四邊形 CDBF 是菱形 .(F)(3) 過 D 點作 DH AE 于 H，A(E)DB則 S ADE =1ADEB1133.H222又 S ADE =1AE DH3 ，則 DH33(或21) .22AE77解圖 1(3)E在 Rt DHE 中， sin = DH23(或21 ) .DE714用心愛心專心點 ： 如果 看第（3） 是不易求解的，但借助前兩 的 ，并且在解決 運用 比的方法就可以 得解決 的渠道例 2將一 透明的平行四 形膠片沿 角 剪開，得到 2(1)中的兩 三角形膠片 ABC和 DEF 將 兩 三角形膠片的 點B 與 點 E 重合，把 DEF 點 B 順時針方向旋 ， AC 與 DF 相交于點 O CAAAEFOBFOFB(E)B(E)CDCDD圖 2(1)圖 2(2)圖 2(3)（1）當(dāng)DEF旋 至如 C、D在同一直 上 ，AFD與DCA2(2)位置 ，點 B( E) 、的數(shù)量關(guān)系是（ 2）當(dāng) DEF 旋 至如 2(3)位置 ，（ 1）中的 成立 ？ 明理由（ 3）在 2(3) 中， 接 BO、AD ，探索 BO 與 AD 之 有怎 的位置關(guān)系，并 明解：（ 1）AFDDCA （或相等）（ 2）AFDDCA （或成立）理由如下：由 ABC DEF ，得到：AB DE， BC EF （或 BFEC ），ABC DEFBAC， EDFABCFBCDEFCBF ，ABFDEC ABDE，在 ABF 和 DEC 中，ABFDEC，BFEC， ABF DEC， BAFEDC BACBAFEDFEDC， FACCDF AODFACAFDCDFDCA ，AFDDCA （ 3）如 ， BOAD A由 ABC DEF ，點 B 與點 E 重合，得到 BACBDF，BABD G點 B 在 AD 的垂直平分 上，F(xiàn)O且BADBDA B(E)CDOADBADBAC ，ODABDABDF ，OADODA ，OAOD ，點 O 在 AD 的垂直平分 上直 BO 是 AD 的垂直平分 ，BOAD 點 ： 本 是 直 型 的 合考察， 了降低 度， 目由淺入深， 學(xué)生搭建了 比和 的空 ，其中第（2） 的“ 成立 ？” 的字眼可以引 學(xué)生 行探究和 比BA例 3如 3，平面內(nèi)有公共端點的六條射 OA ， OB ，872OC ， OD ， OE ， OF ，從射 OA 開始按逆 C9 31FO 61， 2，3， 4， 5，6， 7，4方向依次在射 上寫出數(shù)字1210511用心愛心專心ED圖 3（1）“ 17”在射線上（ 2）請任意寫出三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律（ 3）“ 2007”在哪條射線上？解：（ 1）“ 17”在射線 OE 上（ 2）射線 OA 上數(shù)字的排列規(guī)律：6n5 ；射線 OB 上數(shù)字的排列規(guī)律：6n4；射線 OC 上數(shù)字的排列規(guī)律：6n3 ；射線 OD 上數(shù)字的排列規(guī)律：6n2 ；射線 OE 上數(shù)字的排列規(guī)律：6n1；射線 OF 上數(shù)字的排列規(guī)律：6n （ 3）在六條射線上的數(shù)字規(guī)律中，只有6n 3 2007 有整數(shù)解，解為 n 335 “ 2007 ”在射線 OC 上點評： 一般地，找規(guī)律的題目實際上均蘊含了歸納的思想.例 4如圖4，在平面直角坐標系中，已知點P0 的坐標為 (1，0)，將線段 OP0 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45 ，再將其長度伸長為 OP0 的 2倍，得到線段 OP1 ；又將線段 OP1 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 45，長度伸長為 OP1 的 2 倍，得到線段 OP2 ；如此下去， 得到線段 OP3 ，OP4 ，P3y， OPn（ n 為正整數(shù)） .P2P4P（1）求點P6的坐標；（ 2）求 5 6 的面積；1POPOP0 (10)， x（3）我們規(guī)定：把點 Pn (xn， yn ) （ n 01，2，3， ）的橫坐標 xn 、縱坐標 yn 都取絕對值后得到的新坐標圖 4xn ，yn稱之為點 Pn 的“絕對坐標” P5根據(jù)圖中點Pn 的分布規(guī)律，請你猜想點Pn 的“絕對坐標” ，并寫出來解：（ 1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點P6 落在 y 軸的負半軸，而點Pn 到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2 倍，故其坐標為6，6)，即P6，P (0 2(0 64)（ 2）由已知可得， P0OP1 POP12 Pn 1OPn ，P (xy )y2sin452S011OPy12設(shè)1 1， 1，則1，P OP20122.又OP632 ，56( OP6)23221024 ，S P OPOP1S P0OP1OP11 S P OP1024S P OP102425122 .25601用心愛心專心（3）由題意知，OP0 旋轉(zhuǎn) 8 次之后回到 x 軸正半軸，在這8 次中，點 Pn 分別落在坐標象限的平分線上或x 軸或 y 軸上，但各點絕對坐標的橫、縱坐標均為非負數(shù)，因此，點Pn的坐標可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n ：當(dāng) n8k 或 n8k4 時（其中 k 為自然數(shù)），點 Pn 落在 x 軸上，此時，點Pn 的絕對坐標為 (2 n，0) ；當(dāng) n 8k 1 或 n 8k 3或 n 8k 5 或 n8k7時（其中 k 為自然數(shù)），點 Pn 落在各象限的平分線上， 此時，點Pn 的絕對坐標為22n，2n ，即2n 1，n 12；222 22當(dāng) n 8k 2 或 n 8k 6時（其中 k 為自然數(shù)），點 Pn 落在 y 軸上，此時，點 Pn 的絕對坐標為 (0，2n ) 點評： 歸納和類比的思想方法在這道題中得到了充分的體現(xiàn)，第三問雖然需要討論， 但其解決的方法仍延承前面兩問用心愛心專心