中學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué),概念理論關(guān)系結(jié)構(gòu),中學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué),一、什么是概念 二、概念的內(nèi)涵和外延 三、概念間的關(guān)系 四、概念的定義 五、概念的劃分 六、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基本理論 七、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)注意的問題 八、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)以“雙曲線為什么有漸近線”為例,一、什么是概念,概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。 概念不同于感知，感知是具體的、直接的，概念卻是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感知的重要特征。 概念是最基本的思維形式，任何一門學(xué)科，都是由一系列的概念及其體系組成的。如果把人的思維比作一個(gè)有機(jī)體，那么概念就是這個(gè)有機(jī)體的細(xì)胞。,二、概念的內(nèi)涵和外延,1.概念的內(nèi)涵是概念所反映的對象本質(zhì)屬性的總和（即概念所反映的對象的質(zhì)的方面）； 概念的外延是概念所反映的對象的全體（即概念所指的對象的范圍或集合）。例如， “平行四邊形” 的內(nèi)涵包括：是四邊形，對邊平行，對邊相等，對角相等，對角線互相平分等等。 “平行四邊形” 的外延包括：矩形、菱形、正方形以及各種各樣的任意的平行四邊形。 2.概念的內(nèi)涵與外延之間的反變關(guān)系：要對概念加深認(rèn)識(shí)，還要注意邏輯學(xué)中稱之為概念的內(nèi)涵與外延的反變關(guān)系，即：概念的內(nèi)涵擴(kuò)大時(shí)，其所得的新概念的外延縮小；當(dāng)概念的內(nèi)涵縮小時(shí)，其所得的新概念的外延擴(kuò)大。反之，也成立。例如，在“矩形”概念的內(nèi)涵中增加“一組鄰邊相等”的屬性時(shí)，就得到外延縮小了的“正方形”的概念；在“矩形”的概念中去掉“有一個(gè)角是直角”的屬性，就得到外延擴(kuò)大了的“平行四邊形”的概念。 利用概念的內(nèi)涵與外延的反變關(guān)系，通過采取擴(kuò)大概念的內(nèi)涵同時(shí)縮小概念的外延的方法來研究概念間的關(guān)系和性質(zhì)，這種方法在邏輯學(xué)中稱之為“概念的限制”；通過縮小概念內(nèi)涵的同時(shí)擴(kuò)大概念外延的方法來認(rèn)識(shí)同類概念的共同性質(zhì)，這種方法在邏輯學(xué)上稱之為“概念的概括”。在中學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，經(jīng)常使用概念的限制和概括的方法給新概念下定義和復(fù)習(xí)同類概念的共同性質(zhì)。,三、概念間的關(guān)系,概念間的關(guān)系，是指兩個(gè)概念的外延所對應(yīng)的集合之間的關(guān)系。 概念之間的關(guān)系可分為四類： 同一關(guān)系： 從屬關(guān)系 交叉關(guān)系 全異關(guān)系。,同一關(guān)系 如果兩個(gè)概念A(yù)和B的外延相等，那么這兩個(gè)概念之間的關(guān)系叫做同一關(guān)系，這兩個(gè)概念叫做同一概念 （圖（1）。例如，“等邊三角形”和“正三角形”，一個(gè)圓的“直徑”和該圓中“最大的弦”都是同一概念。具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念在推理時(shí)可以互相代替。 從屬關(guān)系 如果概念A(yù)的外延是概念B的外延的真子集，那么這兩個(gè)概念之間的關(guān)系叫做從屬關(guān)系，其中外延較大的概念B叫做屬概念，外延較小的概念A(yù)叫做種概念（圖（2）。例如“有理數(shù)”和“實(shí)數(shù)”具有從屬關(guān)系，這里，“實(shí)數(shù)”是屬概念，“有理數(shù)”是種概念。 屬概念和種概念是相對的。例如，“矩形”和“平行四邊形”具有從屬關(guān)系，這時(shí)，“矩形”是種概念； “正方形”和“矩形”也具有從屬關(guān)系，而這時(shí)“矩形”是屬概念。,交叉關(guān)系 如果概念A(yù)的外延和概念B的外延只有一部分重合，那么這兩個(gè)概念之間的關(guān)系叫做交叉關(guān)系，這兩個(gè)概念叫做交叉概念（圖（3）。例如，“有理數(shù)”和“正實(shí)數(shù)”是交叉概念，它們外延的交集是“正有理數(shù)”的外延。又如，“矩形”和“菱形”是交叉概念，它們外延的交集是“正方形”的外延。 全異關(guān)系 如果概念A(yù)的外延和概念B的外延的交集為空集，那么這兩個(gè)概念之間的關(guān)系叫做全異關(guān)系（或不相容關(guān)系），這兩個(gè)概念叫做全異概念（圖（4）?！爸苯侨切巍焙汀暗冗吶切巍薄ⅰ白匀粩?shù)”和“負(fù)有理數(shù)”都是全異概念。在全異關(guān)系中，有兩種常見的特殊情形：,（1）矛盾關(guān)系。如果概念A(yù)和概念B具有全異關(guān)系，且它們外延的并集等于某一屬概念C的外延，那么這兩個(gè)概念間的關(guān)系（相對于屬概念C而言）叫做矛盾關(guān)系，這兩個(gè)概念叫做矛盾概念（圖（5）。例如，“有理數(shù)”和“無理數(shù)”相對于實(shí)數(shù)來說具有矛盾關(guān)系。又如“等腰三角形”和“不等邊三角形”相對于三角形是一對矛盾概念。 (2)對立關(guān)系。如果概念A(yù)和概念B具有全異關(guān)系，且它們外延的并集為某一屬概念C的真子集，那么這兩個(gè)概念間的關(guān)系（相對于屬概念C而言）叫做對立關(guān)系，這兩個(gè)概念叫做對立概念（圖（6）例如，“正有理數(shù)”和 “負(fù)有理數(shù)”相對于有理數(shù)來說是具有對立關(guān)系的兩個(gè)概念。又如，“銳角三角形”和“直角三角形”是一對對立概念。,四、概念的定義,概念是客觀事物在人的頭腦中的抽象概括，是看不見摸不著的，要用詞語表達(dá)出來，這就是給概念下定義。而明確概念就是要明確概念的內(nèi)涵和外延。所以，概念定義就是揭示概念的內(nèi)涵或外延的邏輯方法。揭示概念內(nèi)涵的定義叫內(nèi)涵定義，揭示概念外延的定義叫做外延定義。在中學(xué)里，大多數(shù)概念的定義是內(nèi)涵定義。 1.定義 定義是建立概念的邏輯方法，下定義的模式通常有兩種：一種是通過揭示概念的內(nèi)涵來給出定義；另一種是通過揭示概念的外延來給出定義。 例1 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 例2 函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)。 一切定義都由被定義項(xiàng)、定義項(xiàng)和定義聯(lián)項(xiàng)三部分組成。被定義項(xiàng)是需要加以明確的概念。定義項(xiàng)是用來明確定義項(xiàng)的概念。定義聯(lián)項(xiàng)是用來聯(lián)結(jié)被定義項(xiàng)和定義項(xiàng)的詞語。 常用的定義聯(lián)項(xiàng)有“叫做”、“就是”、 “是”、“稱為”等等。,2.定義的方式 （1）屬加種差定義。屬加種差定義是數(shù)學(xué)概念的最常用的一種定義方式。用屬加種差下定義，要做好兩方面的工作：一是找出被定義概念的臨近的屬概念；二是確定種差，即找出被定義概念與同一屬概念中其它種概念之間的差別。屬加種差定義可以用下列公式表示： 屬 + 種差 = 被定義項(xiàng) 例如，平行四邊形的定義： 兩組對邊分別平行 的 四邊形 叫做 平行四邊形 種 差 屬 被定義項(xiàng) （2）發(fā)生定義。 發(fā)生定義是把只屬于被定義概念，而不屬于其他任何事物的發(fā)生或形成的屬性作種差的定義。例如，橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 的距離的和等于常數(shù)（大于 ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。 （3）關(guān)系定義。關(guān)系定義是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而其他事物不具有的特有屬性。例如，偶數(shù)的定義：能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)。 （4）外延定義。外延定義是通過列舉概念的全部對象來下的定義。例如，有理數(shù)的定義：正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和零統(tǒng)稱有理數(shù)。 （5）約定式定義。約定式定義是依據(jù)數(shù)學(xué)上的某種特殊需要，通過約定的方式來下的定義。 例如，“零指數(shù)”的概念規(guī)定為： 。 （6）遞歸定義。略。,3.定義的規(guī)則 規(guī)則1 定義必須是相稱的，即定義項(xiàng)和被定義項(xiàng)必須是同一概念。 規(guī)則2 定義不應(yīng)當(dāng)是循環(huán)的，即給概念下定義時(shí)，不能用被定義項(xiàng)來說明自己。 規(guī)則3 定義應(yīng)當(dāng)清楚確切。即定義要簡明扼要，所列定義項(xiàng)必須是確切的概念，不能用譬喻或其它含糊的說法來表達(dá)定義。 4.原始概念 按定義的規(guī)則3基本要求，給某概念下定義時(shí)，定義項(xiàng)選用的必須是在此之前已明確定義過的概念，否則概念就會(huì)模糊不清。這樣順次上溯，終必出現(xiàn)不能用前面已被定義過的概念來下定義的概念，這樣的概念稱為原始概念。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，對原始概念的解釋并非是下定義，這是要明確的。,五、概念的劃分,1.劃分 劃分是揭示概念外延的邏輯方法。也就是通過把一個(gè)屬概念分為若干個(gè)種概念來明確概念的邏輯方法。 任何劃分都包含劃分的母項(xiàng)、劃分的子項(xiàng)和劃分的根據(jù)三個(gè)要素。 2.劃分的規(guī)則 規(guī)則1 劃分應(yīng)當(dāng)是相稱的。即劃分后各個(gè)子項(xiàng)外延的總和（并集），應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等。 規(guī)則2 劃分后各個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容。即劃分后不能有一些事物既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)。 規(guī)則3 劃分應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。即每次劃分不能使用幾個(gè)不同的劃分根據(jù)。,六、概念學(xué)習(xí)的基本理論,奧蘇貝爾的概念學(xué)習(xí)理論 以色列著名數(shù)學(xué)教育家斯法德的代數(shù)思維的基本形式（對象過程理論） 美國的杜賓斯基等人 的APOS理論模型,奧蘇貝爾有概念學(xué)習(xí)理論簡介,奧蘇貝爾(DPAusubel)是意義學(xué)習(xí)論的創(chuàng)始人。他認(rèn)為，從接受式-發(fā)現(xiàn)式和意義性-機(jī)械性兩個(gè)維度上劃分，可以把學(xué)習(xí)分為4種，但在學(xué)校情境中，學(xué)生學(xué)習(xí)的書本知識(shí)絕大多數(shù)是有意義的接受學(xué)習(xí)。 他指出，有意義學(xué)習(xí)過程的實(shí)質(zhì)，就是符號(hào)所代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)觀念建立非人為的(nonarbitrary)和實(shí)質(zhì)性的(substantive)聯(lián)系。 所謂非人為的聯(lián)系，是指新知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)觀念在某種合理的或邏輯基礎(chǔ)上的聯(lián)系。所謂實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，是指新的符號(hào)或符號(hào)代表的觀念與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的表象、已經(jīng)有意義的符號(hào)、概念或命題的聯(lián)系。,有意義學(xué)習(xí)的條件有內(nèi)外兩條： 外部條件是指學(xué)習(xí)材料本身必須具有邏輯意義，即能與人類學(xué)習(xí)能力范圍內(nèi)的有關(guān)觀念建立非人為的和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系； 內(nèi)部條件則包括兩個(gè)方面：一是學(xué)習(xí)者必須具有意義學(xué)習(xí)的心向，二是學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須具有適當(dāng)?shù)哪芰εc新知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系的知識(shí)。 他強(qiáng)調(diào)影響學(xué)生學(xué)習(xí)的首要因素是已有的知識(shí)。他在教育心理學(xué)：認(rèn)知取向一書的扉頁上寫出這樣一句代表他的核心思想的話：“如果要我只用一句話說明教育心理學(xué)的要義，我認(rèn)為影響學(xué)生學(xué)習(xí)的首要因素，是他的先備知識(shí)；研究并了解學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)之前具有的先備知識(shí)，進(jìn)而配合設(shè)計(jì)教學(xué)，以產(chǎn)生有效的學(xué)習(xí)，就是教育心理學(xué)的任務(wù)?！?Ausubel，1968)。,奧蘇貝爾教育心理學(xué)中最重要的觀念之一，是他對意義學(xué)習(xí)（meaningful learning）的描述。在他看來，學(xué)生的學(xué)習(xí)，如果要有價(jià)值的話，應(yīng)該盡可能地有意義。為此，他仔細(xì)區(qū)分了接受學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、機(jī)械學(xué)習(xí)與意義學(xué)習(xí)之間的關(guān)系，具體如下： 接受學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)之間的區(qū)別并不難理解。在接受學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容基本上是以定論的形式傳授給學(xué)生的。對學(xué)生來講，學(xué)習(xí)不包括任何發(fā)現(xiàn)，只要求他們把教學(xué)內(nèi)容加以內(nèi)化(即把它結(jié)合進(jìn)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之內(nèi))，以便將來能夠再現(xiàn)或派作他用。發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的基本特征是，學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容不是現(xiàn)成地給予學(xué)生的，而是在學(xué)生內(nèi)化之前，必須由他們自己去發(fā)現(xiàn)這些內(nèi)容。換言之，學(xué)習(xí)的首要任務(wù)是發(fā)現(xiàn)，然后便同接受學(xué)習(xí)一樣，把發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容加以內(nèi)化，以便以后在一定的場合下予以運(yùn)用。所以，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)只是比接受學(xué)習(xí)多了前面一個(gè)階段發(fā)現(xiàn)，其他沒有什么不同。,意義學(xué)習(xí)和機(jī)械學(xué)習(xí)。奧蘇貝爾根據(jù)知識(shí)學(xué)習(xí)過程的不同性質(zhì)，將學(xué)習(xí)分為意義學(xué)習(xí)和機(jī)械學(xué)習(xí)。意義學(xué)習(xí)是指語言文字或符號(hào)所表述的新知識(shí)能夠與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的有關(guān)舊知識(shí)建立一種實(shí)質(zhì)的和非人為的聯(lián)系。以下兩個(gè)先決條件是劃分意義學(xué)習(xí)和機(jī)械學(xué)習(xí)的標(biāo)準(zhǔn)：“(1)學(xué)習(xí)者表現(xiàn)出一種意義學(xué)習(xí)(meaningful learning)的心向，即表現(xiàn)出一種把新學(xué)的材料同他已了解的知識(shí)建立非任意的、實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的意向。(2)學(xué)習(xí)任務(wù)對于學(xué)習(xí)者具有潛在意義，即學(xué)習(xí)的任務(wù)能夠在非任意的和非逐字逐句的基礎(chǔ)上同學(xué)習(xí)者知識(shí)結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來。” 明確了意義學(xué)習(xí)的先決條件，就不難對意義學(xué)習(xí)和機(jī)械學(xué)習(xí)做出明確地區(qū)分。拿無意義音節(jié)的學(xué)習(xí)來說，由于學(xué)習(xí)者頭腦中沒有與之對應(yīng)的有關(guān)觀念，無意義音節(jié)不能與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)觀念建立實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，因此，在學(xué)習(xí)中只能逐字逐句地背誦它，所以，它只能建立一種逐字逐句的聯(lián)系，因而是機(jī)械的學(xué)習(xí)。有時(shí)人們?yōu)榱吮阌谟泝|，往往把無意義的材料賦予某種意義，但這種意義的賦予不符合邏輯意義，而且是因人而異的。這種聯(lián)系是一種人為的或任意的聯(lián)系，因而也屬于機(jī)械學(xué)習(xí)。 當(dāng)然意義學(xué)習(xí)和機(jī)械學(xué)習(xí)的劃分也不是絕對的。奧蘇貝爾認(rèn)為，“這兩種學(xué)習(xí)僅是處在一個(gè)連續(xù)體的兩個(gè)極端”?！案拍?、命題和原理的學(xué)習(xí)是意義學(xué)習(xí)，而符號(hào)學(xué)習(xí)便具有某種機(jī)械學(xué)習(xí)的逐字逐句的性質(zhì)”。有時(shí)機(jī)械學(xué)習(xí)和意義學(xué)習(xí)也會(huì)同時(shí)發(fā)生，例如，學(xué)生通過背誦來學(xué)習(xí)一首古詩或?qū)W習(xí)乘法口訣就是這種情況。,奧蘇貝爾把意義學(xué)習(xí)分為以下四種類型: 1.表征學(xué)習(xí)(representational learning) 對兒童來說，最主要的理智任務(wù)之一，是要學(xué)習(xí)各種符號(hào)的意義。兒童最初學(xué)到的符號(hào)，是家長對他們所講的詞匯。我們的任務(wù)是要了解，兒童開始時(shí)是怎樣賦予這些符號(hào)以意義的，以及構(gòu)成這些符號(hào)的意義的認(rèn)知內(nèi)容的性質(zhì)。 2.概念學(xué)習(xí)(concept learning) 概念具有邏輯的和心理的意義。從邏輯上講，概念是指在某一領(lǐng)域中因具有共同特征而被組織在一起的特定事物。例如，“三角形”這一概念是指與其他幾何圖形明顯不同的一類客體。學(xué)生一旦掌握了某一概念的關(guān)鍵屬性，即區(qū)分某一類別與其他類別的一組特征，就能確定他所見到的東西是否屬于這一概念。 3.命題學(xué)習(xí)(proposition learning) 命題是以句子的形式來表述的。如“老虎會(huì)吃人”就是一個(gè)命題，而且是一類重要命題-概括性陳述的例子，它涉及兩個(gè)以上概念之間的關(guān)系。“動(dòng)物園那只大老虎會(huì)吃我”，這一命題就不是概括性陳述，因?yàn)樗簧婕熬唧w客體的名稱。但在這兩個(gè)例句中，命題學(xué)習(xí)的任務(wù)，都是要了解該句子所表述的意義。 4.發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)(discovery learning) 奧蘇貝爾對發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的解釋有些與眾不同。他認(rèn)為，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)內(nèi)容不是以定論的方式呈現(xiàn)給學(xué)生的，而是要求學(xué)生在把最終結(jié)果并入認(rèn)知結(jié)構(gòu)之前，先要從事某些心理活動(dòng)，如對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行重新排列、重新組織或轉(zhuǎn)換，因此，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)可以在前面提及的三種學(xué)習(xí)類型中發(fā)生。除此之外，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)還涉及其它三種學(xué)習(xí)類型：運(yùn)用、問題解決、創(chuàng)造。這三種學(xué)習(xí)是有層次的。,有意義學(xué)習(xí)的另一類較高級(jí)的形式叫概念學(xué)習(xí)。概念學(xué)習(xí)，實(shí)質(zhì)上是掌握同類事物的共同的關(guān)鍵特征。例如學(xué)習(xí)“三角形”這一概念，就是掌握三角形有三個(gè)角和三條相連接的邊這樣兩個(gè)共同的關(guān)鍵特征，而與它的大小、形狀、顏色等特征無關(guān)，如果“三角形”這個(gè)符號(hào)對某個(gè)學(xué)習(xí)者來說，已經(jīng)具有這種一般意義，那么它就成了一個(gè)概念，成了代表概念的名詞。同類事物的關(guān)鍵特征可以由學(xué)習(xí)者從大量的同類事物的不同例證中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，這種獲得概念的方式叫概念形成。也可以用定義的方式直接向?qū)W習(xí)者呈現(xiàn)，學(xué)習(xí)者利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念理解新概念，這種獲得概念的方式叫概念同化。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的目的是為了獲得數(shù)學(xué)概念.所謂獲得概念，是指掌握了概念的內(nèi)涵和外延，也就是掌握了概念的本質(zhì)特征及其范圍，并能夠識(shí)別具有這種本質(zhì)特征的同類事物.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本方法有兩種：概念形成和概念同化.,概念形成是學(xué)習(xí)者在對客觀事物的反復(fù)感知和進(jìn)行分析、類比、抽象的基礎(chǔ)上，概括出某一類事物本質(zhì)屬性的過程.總結(jié)以往和近年來有關(guān)概念形成的研究結(jié)果，概念形成的心理過程應(yīng)包括以下幾個(gè)階段： 辨別不同的刺激模式.在教學(xué)的環(huán)境下，這些刺激模式可以是學(xué)生自己感知過的事實(shí)，也可以是教師提供的事實(shí)，無論哪一種刺激模式，都必須進(jìn)行比較，以根據(jù)事物的外部特征進(jìn)行分析和直觀水平上進(jìn)行辨別.分化和類化各種刺激模式的屬性.為了了解一類刺激模式的屬性，就需要對刺激模式的各種屬性予以精確分化.各種具體模式的屬性不一定是共同屬性，為了找出共同屬性，就需要把從具體刺激模式中分化出來的屬性進(jìn)行比較，找出共同屬性，提出假設(shè)和驗(yàn)證.一般來說，事物的共同屬性不一定是本質(zhì)屬性，因此在數(shù)學(xué)高年學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生首先要提出各個(gè)刺激模式本質(zhì)屬性的假設(shè)，然后在特定情境中驗(yàn)證假設(shè)以確認(rèn)出概念的本質(zhì)屬性.把新概念的本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物.這個(gè)過程實(shí)際上是明確概念外延的過程，也是新概念同其他概念相區(qū)別的過程.用符合習(xí)慣的數(shù)學(xué)語言或符號(hào)表示新概念，即形式化.,概念的同化是指在以定義的方式直接提出概念的條件下，學(xué)習(xí)者利用已有知識(shí)，主動(dòng)地與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相聯(lián)系，從而掌握概念的方式就是概念的同化.以概念同化的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理活動(dòng)大概包括以下幾個(gè)階段：接受概念的定義、名稱和符號(hào)的信息；建立新概念與原有概念實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，把新概念納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中；通過辨認(rèn)概念的肯定例子和否定例子，使新概念和原有概念精確分化. 數(shù)學(xué)概念的形成和數(shù)學(xué)概念的同化的基本過程是很不相同的，它們在學(xué)生智力發(fā)展中的主要作用也是不同的，然而我們決不應(yīng)該將它們的作用絕對化.通過概念形成獲得數(shù)學(xué)概念可以用來解決問題，而通過概念同化獲得的數(shù)學(xué)概念同樣也可以用來解決問題.學(xué)生在教學(xué)條件下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，完全不同于人們在自然條件下形成數(shù)學(xué)概念，也不同于數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)概念，應(yīng)該是在教師指導(dǎo)下的概念形成.這就是說，教師可以提供適當(dāng)例子和問題來促進(jìn)學(xué)生概括數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的進(jìn)程.,斯法德的對象過程理論簡介,斯法德認(rèn)為可以用兩種不同的方式形成抽象的數(shù)學(xué)概念：構(gòu)造性的（作為對象）或運(yùn)算性的（作為過程）她認(rèn)為運(yùn)算性概念是獲得新數(shù)學(xué)概念的第一步，從一個(gè)“過程的”概念到一個(gè)“對象的”概念的過程既慢又有很大困難兩種概念當(dāng)充分建成后都在數(shù)學(xué)活動(dòng)中起著重要的作用這是數(shù)學(xué)思維現(xiàn)代研究的一個(gè)重要成果，由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了數(shù)學(xué)思維特別是代數(shù)（包括算術(shù)）思維的一個(gè)基本形式有不少概念在最初是作為一個(gè)過程得到引進(jìn)的，但最終則又轉(zhuǎn)化成了一個(gè)對象對此我們不僅可以研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對象施行某些新的運(yùn)作（對于所說的“運(yùn)作”應(yīng)作廣義理解，即未必是指具體的運(yùn)算，而也可以包括任何一種數(shù)學(xué)運(yùn)演，甚至不一定要有明確的算法）例如，中學(xué)的函數(shù)概念就是如此函數(shù)可以被看作一個(gè)過程，聯(lián)系定義域中的對象和值域中的對象，通常這些對象都是數(shù)任何一個(gè)具體的函數(shù)均可被認(rèn)為是在這些數(shù)上施行運(yùn)算的過程：將它們變換成另外的數(shù)數(shù)之間存在著關(guān)系例如，序關(guān)系當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)不斷增多時(shí)，就會(huì)感到僅把函數(shù)看成在數(shù)上施行運(yùn)算的過程是不夠的，可能遇到對函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算比如微分等于是有必要把函數(shù)看成一個(gè)被運(yùn)算的對象,美國的杜賓斯基等人 的APOS理論模型簡介,APOS理論揭示了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)，是具有學(xué)科特色的學(xué)習(xí)理論。 美國的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中，提出了一種APOS理論：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，一般要經(jīng)過四個(gè)階段： 操作（Action）階段、過程（Process）階段、對象（Object）階段、模型（Scheme）階段.取這4個(gè)階段英文單詞的首字母，命名為APOS理論. 其中的操作活動(dòng)階段，是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，通過操作、活動(dòng)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感知問題的直觀背景以及與生活現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系。 過程階段，是學(xué)生對操作、活動(dòng)進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、整合過程，學(xué)生在頭腦中，對活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì). 對象階段，是通過前面的抽象，認(rèn)識(shí)了概念的本質(zhì)，對其賦予形式化的符號(hào)定義及符號(hào)，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的對象，在以后的學(xué)習(xí)中，以此為對象去進(jìn)行新的活動(dòng). 模型階段，需要經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)活動(dòng)來逐步完善，起初建立的概念模型包含反映概念的特例、抽象過程、定義以及符號(hào)，經(jīng)過學(xué)習(xí)建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式.,1.我們的講概念、舉反例，事實(shí)上掩蓋、縮短了學(xué)生的操作、活動(dòng)、過程. 我們總是習(xí)慣于將概念，當(dāng)作知識(shí)來進(jìn)行教學(xué)，盡管我們也為此設(shè)計(jì)了情境、組織了資源，但是因?yàn)槲覀兞?xí)慣于把概念當(dāng)作知識(shí)來講授，因而，我們實(shí)際上剝奪了學(xué)生的自主操作、活動(dòng)的建構(gòu)過程，剝奪了學(xué)生的自主認(rèn)知過程。 在我們的講授下，學(xué)生也許對每一個(gè)概念都很熟悉，但是具體到應(yīng)用的時(shí)候，卻往往不知所措，或者只能夠孤立地記憶概念，但不能夠運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，在必要的地方聯(lián)想到這些該應(yīng)用的概念,APOS理論模型借鑒一,APOS理論模型借鑒二,2.應(yīng)該把概念的建立，當(dāng)作一種情境，引發(fā)學(xué)生去操作、活動(dòng)、討論、反思，把例題與練習(xí)納入概念的學(xué)習(xí)情境之中。應(yīng)該擺脫原來的那種講完概念，就進(jìn)入例題學(xué)習(xí)、練習(xí)鞏固的孤立做法，應(yīng)該把操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）、模型（Scheme）設(shè)計(jì)為一個(gè)小整體，在課堂上，借助例題、練習(xí)、小結(jié)，完成對概念的整體感知。 例題學(xué)習(xí)的目的，不是為了闡述概念，練習(xí)設(shè)置的目的，不是為了鞏固概念，例題、練習(xí)是概念生成的一個(gè)整體，是操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）、模型（Scheme）中必不可少的環(huán)節(jié)。,APOS理論模型借鑒三,3.課堂教學(xué)的核心，是幫助學(xué)生完整、科學(xué)地建立數(shù)學(xué)概念，不是講解了多少例題，也不是具體做了多少練習(xí)。 概念，不是講過之后，學(xué)生就能夠立刻在頭腦中全等鏡像的，而是需要一個(gè)相當(dāng)長的時(shí)間，逐步完善、發(fā)展而成的。 圍繞操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）、模型（Scheme），具體構(gòu)造、組織資源，幫助學(xué)生正確建構(gòu)概念，是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一。,七、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)設(shè)計(jì),數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本內(nèi)容，如果一個(gè)人不掌握數(shù)學(xué)概念，那么他的數(shù)學(xué)能力將難以得到發(fā)展.從理解學(xué)習(xí)的角度來看，掌握數(shù)學(xué)概念不在于能否簡單地用語言將數(shù)學(xué)概念表述出來，而是真正理解概念的內(nèi)涵和外延，表現(xiàn)為能對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行識(shí)別和歸類.在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過程中，用自己能夠接受和可以儲(chǔ)存的形式對概念的本質(zhì)屬性或特征進(jìn)行理解稱為概念的表征.現(xiàn)代人只心理學(xué)的研究表明，概念表征主要有樣例表征和語義表征兩種形式.樣例表征是指學(xué)習(xí)者通過各種樣例來逐漸歸納出事物的定義特征.如學(xué)生通過各種各樣棱錐的樣例，發(fā)現(xiàn)“棱錐”在大小、顏色和形狀等方面雖然有所不同，但所有的棱錐都是由多邊形索圍成的幾何體，其中一個(gè)面試多邊形，其余各個(gè)面是具有公共頂點(diǎn)的三角形.一般而言，樣例表征形式下的概念與對數(shù)學(xué)對象的知覺或表象有關(guān).大量的研究表明：樣例表征的概念具有不穩(wěn)定性，易受樣例外在特征的影響.語義表征是指學(xué)習(xí)者通過語義的理解而獲得概念的內(nèi)在本質(zhì)屬性.語義表征可以使認(rèn)識(shí)主體克服認(rèn)識(shí)事物受表面知覺影響的局限，而更關(guān)注事物的本質(zhì).在語義表征形式中，常用的有因果關(guān)系和邏輯關(guān)系的表征.如方程概念可以表征為等式的種概念，即為具有未指數(shù)的等式. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的目的是為了獲得數(shù)學(xué)概念.中學(xué)數(shù)學(xué)中有各種各樣對數(shù)學(xué)概念.因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的具體內(nèi)容和它在數(shù)學(xué)重點(diǎn)地位和作用不同，數(shù)學(xué)概念也有主次之分，難易之別，所以對各個(gè)概念的教學(xué)有其特殊性.然而，就概念教學(xué)的共性而言，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：,數(shù)學(xué)概念及教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的幾個(gè)問題,1、應(yīng)注意具體問題情境的設(shè)計(jì). 2、應(yīng)注意使學(xué)生熟悉概念的各種變式 3、在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要注意正例和反例的使用 4、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)必須使學(xué)生能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)概念的名稱和符號(hào)。 聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原型，對概念作唯物的解釋 抓住事物本質(zhì)，對概念作辯證的分析 在實(shí)踐中運(yùn)用概念，在運(yùn)用中鞏固概念,