第4講,萬有引力定律及其應用,T3,一、開普勒運動定律 1開普勒第一定律 所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的,_上,一個焦點,2開普勒第二定律 對任意一個行星來說，它和太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃,過相等的_,面積,3開普勒第三定律,公轉(zhuǎn)周期,所有行星的軌道的_的三次方跟它的_的,二次方的比值都相等，表達式：_.,a3,k,半長軸,【基礎檢測】 1設有兩顆人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量之比為 m1m212， 其運行軌道半徑之比為 R1R231，則兩顆衛(wèi)星運行的周期,之比為(,),A41,B91,答案：D,二、萬有引力定律,二次方,1內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向 在它們的連線上，引力的大小跟物體的質(zhì)量 m1 和 m2 的_ 成正比，與它們之間距離 r 的_成反比,3特殊情況,兩球心間的距離,質(zhì)點到球心間的距離,(1)兩個質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，也可用本定律 來計算，其中 r 為_ (2)一個質(zhì)量分布均勻的球體和球外一個質(zhì)點間的萬有引 力也適用，其中 r 為_,乘積,2公式：F_，其中G6.671011 Nm2/kg2，,叫引力常量,【基礎檢測】 2(2015 年河北保定模擬)我國實施“嫦娥三號”的發(fā)射和 落月任務，進一步獲取月球的相關數(shù)據(jù)如果該衛(wèi)星在月球上 空繞月做勻速圓周運動，經(jīng)過時間 t，衛(wèi)星行程為 s，衛(wèi)星與月 球中心連線掃過的角度是 1 弧度，萬有引力常量為 G，根據(jù)以,上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量是(,),答案：B,1第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：v1_km/s，v1 是人 造地球衛(wèi)星的最小_速度，也是人造地球衛(wèi)星繞地球做,圓周運動的_速度,發(fā)射,最大,2第二宇宙速度(脫離速度)：v2_km/s，是使,物體掙脫_引力束縛的最小發(fā)射速度,地球,3第三宇宙速度(逃逸速度)：v3_km/s，是使,物體掙脫_引力束縛的最小發(fā)射速度,太陽,三、三種宇宙速度,7.9,11.2,16.7,【基礎檢測】 3(2015 年廣東惠州二調(diào))某同學這樣來計算第一宇宙速,與正確的值相差很大，這是由于他在近似處理中錯誤地假設了,(,) A衛(wèi)星的周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期 B衛(wèi)星的軌道是圓 C衛(wèi)星的軌道半徑等于地球的半徑 D衛(wèi)星的向心力等于它在地面上時所受的地球引力 答案：A,考點1 萬有引力定律及其應用 重點歸納 1解決天體圓周運動問題的兩條思路,mg，有 GMgR2(黃金代換) (2)天體運動都可以近似地看成勻速圓周運動，其向心力由 萬有引力提供，即 F 引F 向一般有以下幾種表達形式：,2中心天體質(zhì)量和密度的計算,.,GT2,典例剖析 例 1：天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星這顆行星 的體積是地球的 4.7 倍，質(zhì)量是地球的 25 倍已知某一近地衛(wèi) 星繞地球運動的周期約為 1.4 小時，引力常量 G6.671011,Nm2/kg2，由此估算該行星的平均密度為(,),思維點撥：由題可知行星密度與地球密度的關系，求出地 球的平均密度，就可得到該行星的平均密度根據(jù)近地衛(wèi)星繞 地球運動的向心力由萬有引力提供，可求出地球的密度為地球,3,A1.8103 kg/m3 B5.6103 kg/m3 C1.1104 kg/m3 D2.9104 kg/m3,答案：D,【考點練透】 1(2015 年濱海五校聯(lián)考)若宇航員在月球表面附近自高 h 處以初速度 v0 水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為 L. 已知月球半徑為 R，萬有引力常量為 G.則下列說法正確的是,(,),答案：D,2(2015 年浙江臺州模擬)如圖 4-4-1 所示是美國的“卡西 尼”號探測器經(jīng)過長達 7 年的“艱苦”旅行，進入繞土星飛行 的軌道若“卡西尼”號探測器在半徑為 R 的土星上空離土星 表面高 h 的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞 n 周飛行時間為 t，已 知萬有引力常量為 G，則下列關于土星質(zhì)量 M 和平均密度的,表達式正確的是(,),圖 4-4-1,答案：D,考點2 人造衛(wèi)星,1人造衛(wèi)星的動力學特征,重點歸納,2人造衛(wèi)星的運動學特征,3衛(wèi)星的環(huán)繞速度和發(fā)射速度,發(fā)射速度是指被發(fā)射物在地面附近離開發(fā)射裝置時的初速 度，環(huán)繞速度是指衛(wèi)星進入運行軌道繞地球做圓周運動時的線 速度發(fā)射速度一定大于環(huán)繞速度近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度是等 于第一宇宙速度，即最大環(huán)繞速度，也是最小的發(fā)射速度,4同步衛(wèi)星的四個“一定” (1)軌道平面一定，與赤道共面,(2)周期(角速度)一定，與地球自轉(zhuǎn)的周期(角速度)相同 (3)到地面的高度一定 (4)線速度的大小一定,【考點練透】 3(多選，2015 年廣東廣州海珠區(qū)檢測)如圖 4-4-2 所示， A、B、C 是在地球大氣層外圓形軌道上運動的 3 顆衛(wèi)星，已知,mAmBmC，下列說法正確的是(,),圖 4-4-2,答案：AB,A角速度大小的關系是ABC B周期關系是TAFC D向心加速度大小的關系是aAaBaC,考點3 衛(wèi)星的在軌運行和變軌問題,1衛(wèi)星的軌道,(1)赤道軌道：衛(wèi)星的軌道在赤道平面內(nèi)同步衛(wèi)星就是其,中的一種,(2)極地軌道：衛(wèi)星的軌道過南北兩極，即在垂直于赤道的,平面內(nèi)如衛(wèi)星定位系統(tǒng)中的衛(wèi)星軌道,(3)其他軌道：除以上兩種軌道外的衛(wèi)星軌道,重點歸納,2衛(wèi)星的穩(wěn)定運行與變軌運行分析 (1)圓軌道上的穩(wěn)定運行 (2)變軌運行分析：,當衛(wèi)星的速度 v 增大時，所需向心力 m,v2 r,增大，萬有引,力不足以提供向心力，衛(wèi)星將脫離原來的圓軌道做離心運動，,軌道半徑變大，但衛(wèi)星一旦進入新的軌道運行，由 v,知,其運行速度要減小，但重力勢能、機械能均增加而動能減小,當衛(wèi)星的速度 v 減小時，向心力 m,v2 r,減小，即萬有引力,大于衛(wèi)星所需的向心力，衛(wèi)星將脫離原來的圓軌道做向心運動，,軌道半徑變小，進入新軌道運行時由 v,知運行速度將增,大，但重力勢能、機械能均減少而動能增加,典例剖析 例 2：(多選)我國發(fā)射的“嫦娥二號”探月衛(wèi)星簡化后的路 線示意圖如圖 4-4-3 所示，衛(wèi)星由地面發(fā)射后經(jīng)過發(fā)射軌道進 入停泊軌道，然后在停泊軌道經(jīng)過調(diào)速后進入地月轉(zhuǎn)移軌道， 經(jīng)過幾次制動后進入工作軌道，衛(wèi)星開始對月球進行探測已 知地球與月球的質(zhì)量之比為 a，衛(wèi)星的停泊軌道與工作軌道的 半徑之比為 b，衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道上均可視為做勻速,圓周運動，則衛(wèi)星(,),圖 4-4-3,A在停泊軌道和工作軌道運行的速度之比為 B在停泊軌道和工作軌道運行的周期之比為,C在停泊軌道運行的速度大于地球的第一宇宙速度 D從停泊軌道進入地月轉(zhuǎn)移軌道時，衛(wèi)星必須加速,思維點撥：由萬有引力提供向心力可以判斷不同軌道的速 度、周期之間的關系衛(wèi)星軌道變大時，周期變大，速度(動能) 減小，但機械能增大，即需要加速,C 錯誤；要使衛(wèi)星從停泊軌道進入地月轉(zhuǎn)移軌道，必須使衛(wèi)星 做離心運動，即應增加衛(wèi)星的速度，選項 D 正確 答案：D,備考策略：衛(wèi)星的速度增大，應做離心運動，要克服萬有 引力做負功，其動能要減小，速度也減小，所以穩(wěn)定后速度減 小與衛(wèi)星原來速度增大并不矛盾，這正是能量守恒定律的具體 體現(xiàn),【考點練透】 4(2015 年貴州一模)2013 年 12 月 15 日 4 時 35 分，嫦娥 三號著陸器與巡視器分離，“玉兔號”巡視器順利駛抵月球表 面如圖 4-4-4 所示是嫦娥三號探測器攜“玉兔號”奔月過程 中某階段運動示意圖，關閉動力的嫦娥三號探測器在月球引力 作用下向月球靠近，并沿橢圓軌道在 P 處變軌進入圓軌道，已 知探測器繞月做圓周運動軌道半徑為 r，周期為 T，引力常量為,G，下列說法中正確的是(,),圖 4-4-4,A圖中嫦娥三號探測器在 P 處由橢圓軌道進入圓軌道前,后機械能守恒,B嫦娥三號攜“玉兔號”繞月球做圓周運動的過程中，,“玉兔號”所受重力為零,C嫦娥三號經(jīng)橢圓軌道到 P 點時和經(jīng)圓形軌道到 P 點時,的加速度不等,D由題中所給條件，不可以求出月球的平均密度,解析：在 P 點變軌前后嫦娥三號都只有引力做功，機械能 均守恒，但在變軌時速度減小，機械能減小，故 A 錯誤；嫦娥 三號攜“玉兔號”繞月球做圓周運動的過程中，“玉兔號”所,度，故 D 正確故選 D. 答案：D,5(多選，2015 年河北唐山模擬)如圖 4-4-5 所示，地球衛(wèi) 星 a、b 分別在橢圓軌道、圓形軌道上運行，橢圓軌道在遠地點,A 處與圓形軌道相切，則(,),圖 4-4-5 A衛(wèi)星 a 的運行周期比衛(wèi)星 b 的運行周期短 B兩顆衛(wèi)星分別經(jīng)過 A 點處時，a 的速度大于 b 的速度 C兩顆衛(wèi)星分別經(jīng)過 A 點處時，a 的加速度小于 b 的加速度 D衛(wèi)星 a 在 A 點處通過加速可以到圓形軌道上運行,解析：由于衛(wèi)星 a 的運行軌道的半長軸比衛(wèi)星 b 的運行軌 道半徑短，根據(jù)開普勒定律，衛(wèi)星 a 的運行周期比衛(wèi)星 b 的運 行周期短，選項 A 正確兩顆衛(wèi)星分別經(jīng)過 A 點處時，a 的速 度小于 b 的速度，選項 B 錯誤兩顆衛(wèi)星分別經(jīng)過 A 點處時， a 的加速度等于 b 的加速度，選項 C 錯誤衛(wèi)星 a 在 A 點處通 過加速可以到圓形軌道上運行，選項 D 正確,答案：AD,模型,雙星、三星模型,1雙星模型 圖 4-4-6 在天體模型中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星，如 圖 4-4-6 所示,(1)兩星做勻速圓周運動的向心力大小相等，都等于兩者之,間的萬有引力,(2)雙星具有相同的角速度和周期,(3)雙星圓周運動的半徑之和等于雙星間距 2三星模型,(1)三星在萬有引力作用下繞某中心做勻速圓周運動 (2)每顆星的向心力均由另兩顆星對它的萬有引力的合力,提供,(3)三星具有相同的周期和角速度,例 3：宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們做 勻速圓周運動而不會因萬有引力的作用吸引到一起 (1)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量的,反比,(2)設兩者的質(zhì)量分別為 m1 和 m2，兩者相距 L，試寫出它,們角速度的表達式,審題突破：兩顆天體繞球心連線上同一點做勻速圓周運動 的角速度一定相同，它們做勻速圓周運動的向心力由它們之 間的萬有引力提供,解：(1)證明：設兩者的圓心為 O 點，軌道半徑分別為 R1,m12R1 ,圖4-4-7,題外拓展：分析多星問題時，除滿足各星的角速度相等以 外，還要注意分析各星做勻速圓周運動的向心力大小和軌道 半徑,【觸類旁通】 1美國宇航局利用開普勒太空望遠鏡發(fā)現(xiàn)了一個新的雙星 系統(tǒng)，命名為“開普勒-47”，該系統(tǒng)位于天鵝座內(nèi)，距離地球 大約 5000 光年這一新的系統(tǒng)有一對互相圍繞運行的恒星，運 行周期為 T，其中一顆大恒星的質(zhì)量為 M，另一顆小恒星質(zhì)量 只有大恒星質(zhì)量的三分之一已知引力常量為 G，則下列判斷,正確的是(,),A兩顆恒星的轉(zhuǎn)動半徑之比為 11 B兩顆恒星的轉(zhuǎn)動半徑之比為 12,C兩顆恒星相距,D兩顆恒星相距,答案：C,2宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組 成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用設四 星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為 m，半徑均為 R，四顆星穩(wěn)定分 布在邊長為 a 的正方形的四個頂點上已知引力常量為 G.關于,A四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動,B四顆星的軌道半徑均為,a 2,答案：B,例 4：已知地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度大小為 v1、向心加速度大小為 a1，近地衛(wèi)星線速度大小為 v2、向心加 速度大小為 a2，地球同步衛(wèi)星線速度大小為 v3、向心加速度大 小為 a3.設近地衛(wèi)星距地面高度不計，同步衛(wèi)星距地面高度約為,地球半徑的 6 倍則以下結論正確的是(,),易錯點 自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)區(qū)別不清,解析：地球赤道上的物體與地球同步衛(wèi)星是相對靜止的， 有相同的角速度和周期，比較速度用vr，比較加速度用a 2r，同步衛(wèi)星距地心距離約為地球半徑的7 倍，則 C 正確； 近地衛(wèi)星與地球同步衛(wèi)星都是衛(wèi)星，都繞地球做圓周運動，向,答案：C,指點迷津：赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運動， 由萬有引力和地面支持力的合力充當向心力(或者說由萬有引 力的分力充當向心力)，它的運動規(guī)律不同于衛(wèi)星，但它的周期、 角速度與地球同步衛(wèi)星相等,【觸類旁通】 3一物體靜置在平均密度為的球形天體表面的赤道上 已知萬有引力常量為 G，若由于天體自轉(zhuǎn)使物體對天體表面壓,力恰好為零，則天體自轉(zhuǎn)周期為(,),解析：赤道表面的物體對天體表面的壓力為零，說明天體 對物體的萬有引力恰好等于物體隨天體轉(zhuǎn)動所需要的向心力，,答案：D,