2019-2020年高二數(shù)學上 7.4數(shù)學歸納法解題學案 滬教版數(shù)學歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法.難點磁場()是否存在a、b、c使得等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c).案例探究例1試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n1,nN*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式，屬級題目.知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應(yīng)分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(akck)(ac)0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1akc+cka.證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q0且q1)an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想()n(n2且nN*)下面用數(shù)學歸納法證明：當n=2時，由2(a2+c2)(a+c)2，設(shè)n=k時成立，即則當n=k+1時， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)()k()=()k+1例2在數(shù)列an中，a1=1，當n2時，an,Sn,Sn成等比數(shù)列.(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論；(3)求數(shù)列an所有項的和.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識.知識依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯解分析：(2)中，Sk=應(yīng)舍去，這一點往往容易被忽視.技巧與方法：求通項可證明是以為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得通項公式.解：an,Sn,Sn成等比數(shù)列，Sn2=an(Sn)(n2) (*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=由a1=1，a2=,S3=+a3代入(*)式得：a3=同理可得：a4=,由此可推出：an=(2)當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.假設(shè)n=k(k2)時，ak=成立故Sk2=(Sk)(2k3)(2k1)Sk2+2Sk1=0Sk= (舍)由Sk+12=ak+1(Sk+1),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk)由知，an=對一切nN成立.(3)由(2)得數(shù)列前n項和Sn=,S=Sn=0.錦囊妙記(1)數(shù)學歸納法的基本形式設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1P(n0)成立(奠基)2假設(shè)P(k)成立(kn0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.(2)數(shù)學歸納法的應(yīng)用具體常用數(shù)學歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.殲滅難點訓練一、選擇題1.()已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意nN,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( )A.30B.26C.36D.62.()用數(shù)學歸納法證明3kn3(n3,nN)第一步應(yīng)驗證( )A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空題3.()觀察下列式子：則可歸納出_.4.()已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_，由此猜想an=_.三、解答題5.()用數(shù)學歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中nN*.6.()若n為大于1的自然數(shù)，求證：.7.()已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求數(shù)列bn的通項公式bn;(2)設(shè)數(shù)列an的通項an=loga(1+)(其中a0且a1)記Sn是數(shù)列an的前n項和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.8.()設(shè)實數(shù)q滿足|q|1,數(shù)列an滿足：a1=2,a20,anan+1=qn,求an表達式，又如果S2n3,求q的取值范圍.參考答案難點磁場解：假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時令n=1,2,3,有于是，對n=1,2,3下面等式成立122+232+n(n+1)2=記Sn=122+232+n(n+1)2設(shè)n=k時上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)=3(k+1)2+11(k+1)+10也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點訓練一、1.解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設(shè)n=k(k2)時，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2)f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的數(shù)整除，所求最大的m值等于36.答案：C2.解析：由題意知n3，應(yīng)驗證n=3.答案：C二、3.解析：(nN*)(nN*)、 三、5.證明：(1)當n=1時，421+1+31+2=91能被13整除(2)假設(shè)當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2)42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除當n=k+1時也成立.由知，當nN*時，42n+1+3n+2能被13整除.6.證明：(1)當n=2時，(2)假設(shè)當n=k時成立，即7.(1)解：設(shè)數(shù)列bn的公差為d,由題意得,bn=3n2(2)證明：由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1的大小比較(1+1)(1+)(1+)與的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推測：(1+1)(1+)(1+) (*)當n=1時，已驗證(*)式成立.假設(shè)n=k(k1)時(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)則當n=k+1時，,即當n=k+1時，(*)式成立由知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立.于是，當a1時，Snlogabn+1,當 0a1時，Snlogabn+18.解：a1a2=q,a1=2,a20,q0,a2=,anan+1=qn,an+1an+2=qn+1兩式相除，得,即an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn猜想：a2n+1=qn(n=1,2,3,)綜合，猜想通項公式為an=下證：(1)當n=1,2時猜想成立(2)設(shè)n=2k1時，a2k1=2qk1則n=2k+1時，由于a2k+1=qa2k1a2k+1=2qk即n=2k1成立.可推知n=2k+1也成立.設(shè)n=2k時，a2k=qk,則n=2k+2時，由于a2k+2=qa2k,所以a2k+2=qk+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立.這樣所求通項公式為an=S2n=(a1+a3+a2n1)+(a2+a4+a2n)=2(1+q+q2+qn-1) (q+q2+qn)由于|q|1,=依題意知3,并注意1q0,|q|1解得1q0或0q