2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量第四章平面向量考情展望1.在平面幾何圖形中考查向量運算的平行四邊形法則及三角形法則.2.以四種命題及充分必要條件為知識載體，考查向量的有關(guān)概念.3.借助共線向量定理探求點線關(guān)系或求參數(shù)的值一、向量的有關(guān)概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)2零向量：長度為0的向量，其方向是任意的3單位向量：長度等于1個單位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量平行5相等向量：長度相等且方向相同的向量6相反向量：長度相等且方向相反的向量二、向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則 ba法則(1)交換律：aba(bc)(2)結(jié)合律：(ab)c平行四邊形減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0.(a)a；()aaa；(ab)ab向量加減法運算的兩個關(guān)鍵點：加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接，指向終點”，并可推廣為多個向量相加的“多邊形法則”；減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點重合，指向被減向量”三、平面向量共線定理向量b與a(a0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得ba.巧用系數(shù)判共線(，R)，若A，B，C三點共線，則1；反之，也成立1化簡的結(jié)果為()A.B.C.D.【答案】D2下列給出的命題正確的是()A零向量是唯一沒有方向的向量B平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個Ca與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量D相等的向量必是共線向量【答案】D3設(shè)a，b為不共線向量，a2b，4ab，5a3b，則下列關(guān)系式中正確的是()A. B.2C. D.2【答案】B4(xx福建高考)設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則等于()A.B2C3D4【答案】D5設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是()AabBabCa2bDab且|a|b|【答案】C6(xx四川高考)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，則 .【答案】2考向一 071平面向量的有關(guān)概念給出下列四個命題：若|a|b|，則ab或ab；若，則四邊形ABCD為平行四邊形；若a與b同向，且|a|b|，則ab；，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中假命題的個數(shù)為()A1B2C3D4【答案】D規(guī)律方法11.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認(rèn)為是正確的；(2)充分利用反例進(jìn)行否定是對向量的有關(guān)概念題進(jìn)行判定的行之有效的方法2準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決這類題目的關(guān)鍵：(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性；(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關(guān)3“向量”和“有向線段”是兩個不同的概念，向量只有兩個要素：大小、方向；而有向線段有三個要素：起點、方向、長度對點訓(xùn)練給出下列四個命題：兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中假命題的個數(shù)為()A1B2C3D4【答案】C考向二 072平面向量的線性運算(1)在ABC中，若D是AB邊上一點，且2，則()A.B.CD(2)若O是ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且20，那么()A. B.2C.3D2【答案】(1)A(2)A規(guī)律方法21.解答本例(1)的關(guān)鍵是利用向量的加法與減法把用、表示出來解答本例(2)的關(guān)鍵是2.2進(jìn)行向量的線性運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解對點訓(xùn)練(1)(xx課標(biāo)全國卷)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則()A.B.C.D.(2)(xx南京質(zhì)檢)已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足0，則實數(shù)的值為 【答案】(1)C(2)2考向三 073共線向量定理的應(yīng)用設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A、C、D三點共線(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A、C、F三點共線，求k的值【嘗試解答】(1)e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，所以2，與共線，又與有公共點C，A、C、D三點共線(2)e1e2，2e13e2，3e12e2.A、C、F三點共線，從而存在實數(shù)，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共線的非零向量，因此k2.所以實數(shù)k的值為2.規(guī)律方法31.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數(shù)，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運用2證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線對點訓(xùn)練(1)已知向量a，b不共線，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向Dk1且c與d反向(2)對于非零向量a、b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】(1)D(2)A易錯易誤之八忽視零向量的特殊性致誤1個示范例下列命題正確的是()A向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使baB在ABC中，0C不等式|a|b|ab|a|b|中兩個等號不可能同時成立D向量a、b不共線，則向量ab與向量ab必不共線【解析】A不正確，當(dāng)ab0時，有無數(shù)個實數(shù)滿足ba.此處在求解時，常因忽視“共線向量定理中的條件a0”而致誤B不正確，在ABC中，0.此處在求解時，常因混淆向量與數(shù)量的關(guān)系致誤，0是向量，其模為0，而0是數(shù)量，沒有方向C不正確，當(dāng)b0時，不等式|a|a|a|顯然成立此處在求解時，常受代數(shù)不等式|a|b|ab|a|b|的影響，而忽略了向量中0的作用導(dǎo)致錯誤D正確向量a與b不共線，a，b，ab與ab均不為零向量若ab與ab平行，則存在實數(shù)，使ab(ab)，即(1)a(1)b，無解，故假設(shè)不成立，即ab與ab不平行，故選D.【防范措施】(1)共線向量定理中，ba要求a0，否則值可能不存在(2)向量的加減及數(shù)乘運算的結(jié)果，仍然是一個向量，而不是一個數(shù)(3)應(yīng)熟練掌握向量不等式|a|b|ab|a|b|等號成立的條件1個防錯練下列說法不正確的有 若ab，則a與b的方向相同或相反；若a0，則0；相反向量必不相等；若ae1e2，b2e1，R，且0，則ab 的充要條件是e20.【解析】不正確，如a0.不正確，a0，則0或a0.不正確，00.不正確，當(dāng)e1e2時該命題也成立【答案】課時限時檢測(二十五)平面向量的基本概念及線性運算(時間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1若ac與b都是非零向量，則“abc0”是“b(ac)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A2已知兩個非零向量a，b滿足|ab|ab|，則下面結(jié)論正確的是()AabBabC|a|b|Dabab【答案】B3如圖411，正六邊形ABCDEF中，() 圖411A0B.C.D.【答案】D4設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，一定能使0成立的是()AabBabCa2bDab【答案】A5設(shè)a，b是兩個非零向量()A若|ab|a|b|，則abB若ab，則|ab|a|b|C若|ab|a|b|，則存在實數(shù)，使得baD若存在實數(shù)，使得ba，則|ab|a|b|【答案】C6已知ABC和點M滿足0.若存在實數(shù)m使得m成立，則m()A2B3C4D5【答案】B二、填空題(每小題5分，共15分)7如圖412所示，向量ab (用e1，e2表示)圖412【答案】e13e28若|8，|5，則|的取值范圍是 【答案】3,139已知向量a，b是兩個非零向量，則在下列四個條件中，能使a、b共線的條件是 (將正確的序號填在橫線上)2a3b4e，且a2b3e；存在相異實數(shù)、，使ab0；xayb0(實數(shù)x，y滿足xy0)【答案】三、解答題(本大題共3小題，共35分)10(10分)設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量(1)若2ab，3ab，a3b，求證：A、B、C三點共線(2)若8akb與ka2b共線，求實數(shù)k的值(3)若ab，2a3b，2akb，且A、C、D三點共線，求k的值【解】(1)證明a2b，a2b.所以，又因為A為公共點，所以A、B、C三點共線(2)設(shè)8akb(ka2b)，則或所以實數(shù)k的值為4.(3)(ab)(2a3b)3a2b，因為A、C、D三點共線，所以與共線從而存在實數(shù)使，即3a2b(2akb)，得解得，k，所以k.11(12分)如圖413所示，在ABC中，P是BN上的一點，若m，求實數(shù)m的值圖413【解】如題圖所示，P為BN上一點，則k，kk()又，即，因此(1k)，所以1km，且，解得k，則m1k.12(13分)設(shè)O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足()，0，)求點P的軌跡，并判斷點P的軌跡通過下述哪一個定點：ABC的外心；ABC的內(nèi)心；ABC的重心；ABC的垂心【解】如圖，記，則，都是單位向量，|，則四邊形AMQN是菱形，AQ平分BAC，由條件知，(0，)，點P的軌跡是射線AQ，且AQ通過ABC的內(nèi)心第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考情展望1.考查用平面向量的坐標(biāo)運算進(jìn)行向量的線性運算.2.考查應(yīng)用平面向量基本定理進(jìn)行向量的線性運算.3.以向量的坐標(biāo)運算及共線向量定理為載體，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底二、平面向量的坐標(biāo)運算及向量平行的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)運算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，則ab(x1x2，y1y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.(3)若a(x，y)，R，則a(x，y)2向量平行的坐標(biāo)表示(1)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件為x1y2x2y10.(2)三點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0.共線向量的坐標(biāo)表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.1下列各組向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2(，)，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是()ABCD【答案】A2若a(3,2)，b(0，1)，則2ba的坐標(biāo)是()A(3，4)B(3,4)C(3,4)D(3，4)【答案】D3已知a(4,5)，b(8，y)且ab，則y等于()A5 B10 C. D15【答案】B4(xx福建高考)在下列向量組中，可以把向量a(3,2)表示出來的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)【答案】B5(xx廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題：給定向量b，總存在向量c，使abc；給定向量b和c，總存在實數(shù)和，使ab c；給定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實數(shù)，使ab c；給定正數(shù)和，總存在單位向量b和單位向量c，使ab c.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是()A1B2C3D4【答案】B6(xx北京高考)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖421所示，若cab(，R)，則 .圖421【答案】4考向一 074平面向量基本定理及其應(yīng)用(1)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點若，其中，R，則 .圖422(2)如圖422，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設(shè)a，b，若2，則 (用向量a和b表示)【答案】(1)(2)ab規(guī)律方法11.解答本例(1)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于，的方程組2(1)利用平面向量基本定理表示向量時，要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向量常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題(2)利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用三角形法則進(jìn)行向量的加減運算，在解題時，注意方程思想的運用對點訓(xùn)練(xx江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12(1，2為實數(shù))，則12的值為 【答案】考向二 075平面向量的坐標(biāo)運算已知O(0,0)，A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)【嘗試解答】a(3(2)，14)(5，5)，b(33，4(1)(6，3)，c(2(3)，4(4)(1,8)(1)3ab3c(15，15)(6，3)(3,24)(1563，15324)(6，42)(2)由ambnc，得(5，5)(6m，3m)(n,8n)(6mn，3m8n)解得(3)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)規(guī)律方法21.向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加減、數(shù)乘運算的法則進(jìn)行若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)，注意方程思想的應(yīng)用2平面向量的坐標(biāo)運算的引入為向量提供了新的語言“坐標(biāo)語言”，實質(zhì)是“形”化為“數(shù)”向量的坐標(biāo)運算，使得向量的線性運算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來對點訓(xùn)練(1)(xx廣東高考)已知向量a(1,2)，b(3,1)，則ba()A(2,1)B(2，1)C(2,0)D(4,3)(2)(xx北京高考)已知向量a(2,4)，b(1,1)，則2ab()A(5,7)B(5,9)C(3,7)D(3,9)【答案】(1)B(2)A考向三 076平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為 (2)向量a，b(cos ，1)，且ab，則cos 2()AB.CD.【答案】(1)(4，2)(2)D規(guī)律方法31.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，則ba.2向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解對點訓(xùn)練(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實數(shù)，(ab)c，則()A.B.C1D2(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是 【答案】(1)B(2)m思想方法之十二待定系數(shù)法在向量運算中的應(yīng)用根據(jù)向量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法列出一個含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù)，找出原來那些系數(shù)之間的關(guān)系，從而使問題得到解決1個示范例如圖423所示，在OAB中，圖423，AD與BC交于點M，設(shè)a，b，利用a和b表示向量.【解】設(shè)manb，則manba(m1)anb.ba.因為A、M、D三點共線，所以存在實數(shù)，使，即(m1)anbab.所以消去，得m2n1，同理manbaanb，ba，因為C、M、B三點共線，所以存在實數(shù)t，使t，即anbt.所以消去t，得4mn1，聯(lián)立，得m，n，所以ab.,1個對點練如圖424所示，M是ABC內(nèi)一點，且滿足條件230，延長CM交AB于N，令a，試用a表示.圖424【解】因為，所以由230，得()2()30，所以3230.又因為A，N，B三點共線，C，M，N三點共線，由平面向量基本定理，設(shè)，所以3230.所以(2)(33)0.由于和不共線，由平面向量基本定理，得所以所以，22a.課時限時檢測(二十六)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(時間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1若向量(2,3)，(4,7)，則()A(2，4)B(2,4)C(6,10)D(6，10)【答案】A2(xx陜西高考)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，則實數(shù)m等于()A B.C或D0【答案】C3已知向量m(2,0)，n.在ABC中，2m2n，2m6n，D是BC邊的中點，則|等于()A2 B4 C6 D8【答案】A4在ABC中，點D在線段BC的延長線上，且，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若x(1x)，則x的取值范圍()A(0,1) B. C(1,0) D.【答案】C5設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c為()A(1，1) B(1,1) C(4,6) D(4，6)【答案】D6ABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，則角C的大小為()A. B. C. D.【答案】B二、填空題(每小題5分，共15分)7若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共線，則的值為 【答案】8在ABC中，若點D是邊AB上靠近點B的三等分點，若a，b，則等于 【答案】ab9已知A(3,0)，B(0，)，O為坐標(biāo)原點，C在第二象限，且AOC30，則實數(shù)的值為 【答案】1三、解答題(本大題共3小題，共35分)10(10分)設(shè)坐標(biāo)平面上有三點A，B，C，i，j分別是坐標(biāo)平面上x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量i2j，imj，那么是否存在實數(shù)m，使A，B，C三點共線【解】法一假設(shè)滿足條件的m存在，由A，B，C三點共線，得，存在實數(shù)，使，即i2j(imj)，m2.當(dāng)m2時，A，B，C三點共線法二假設(shè)滿足條件的m存在，根據(jù)題意可知i(1,0)，j(0,1)(1,0)2(0,1)(1，2)，(1,0)m(0,1)(1，m)，由A，B，C三點共線，得，故1m1(2)0，解得m2.當(dāng)m2時，A，B，C三點共線11(12分)已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且t(tR)，問：(1)t為何值時，點P在x軸上？點P在二、四象限角平分線上？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由【解】(1)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，(1,2)，(3,3)，t(13t,23t)若P在x軸上，只需23t0，t；若P在第二、四象限角平分線上，則13t(23t)，t.(2)(1,2)，(33t,33t)，若OABP是平行四邊形，則，即此方程組無解所以四邊形OABP不可能為平行四邊形12(13分)如圖425，G是OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動點，且P，G，Q三點共線圖425(1)設(shè)，將用，表示；(2)設(shè)x，y，證明：是定值【解】(1)()(1).(2)證明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，().而，不共線，由，得解得3(定值)第三節(jié)平面向量的數(shù)量積考情展望1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì).2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯命題，主要考查運算能力及數(shù)形結(jié)合思想一、平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a|b|cos ，記作ab，即ab|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2向量的投影：設(shè)為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos ；向量b在a方向上的投影是|b|cos .3數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積二、平面向量數(shù)量積的運算律1交換律：abba；2數(shù)乘結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)；3分配律：a(bc)abac.三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|數(shù)量積ab|a|b|cos abx1x2y1y2夾角cos cos ab的充要條件ab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)|x1x2y1y2|1已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，則(bc)a等于()A(26，78)B(28，42)C52D78【答案】A2已知向量a、b滿足|a|1，|b|4，且ab2，則a與b的夾角為()A. B.C. D.【答案】C3已知向量a，b和實數(shù)，下列選項中錯誤的是()A|a|B|ab|a|b|C(ab)abD|ab|a|b|【答案】B4已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|2，則|2ab|()A0B2C4D8【答案】B5(xx湖北高考)已知點A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B.CD【答案】A6(xx課標(biāo)全國卷)已知兩個單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b，若bc0，則t .【答案】2考向一 077平面向量數(shù)量積的運算(1)(xx浙江高考)在ABC中，M是BC的中點，AM3，BC10，則 .(2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為 ；的最大值為 【答案】(1)16(2)11規(guī)律方法11.平面向量的數(shù)量積的運算有兩種形式，一是依據(jù)長度與夾角，二是利用坐標(biāo)來計算2要有“基底”意識，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量，如本例(1)中用、表示、等注意向量夾角的大小，以及夾角0，90，180三種特殊情形對點訓(xùn)練(1)(xx江西高考)設(shè)e1，e2為單位向量， 且e1，e2的夾角為，若ae13e2，b2e1，則向量a在b方向上的投影為 (2)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)2，3，則 .【答案】(1)(2)考向二 078平面向量的夾角與垂直(1)(xx安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為 (2)(xx山東高考)已知向量與的夾角為120，且|3，|2.若，且，則實數(shù)的值為 【答案】(1)(2)規(guī)律方法21.當(dāng)a，b以非坐標(biāo)形式給出時，求a，b的關(guān)鍵是借助已知條件求出|a|、|b|與ab的關(guān)系2(1)非零向量垂直的充要條件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20.(2)本例(2)中常見的錯誤是不會借助向量減法法則把表示成，導(dǎo)致求解受阻對點訓(xùn)練(1)(xx重慶高考)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實數(shù)k()AB0C3D.(2)(xx青島質(zhì)檢)已知向量與的夾角為120，且|3，|2.若，且，則實數(shù)的值是 【答案】(1)C(2)考向三 079平面向量的模及其應(yīng)用(1)設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|()A.B.C2D10【答案】B(2)已知(cos ，sin )，(1sin ，1cos )，其中0，求|的取值范圍及|取得最大值時的值【嘗試解答】(1sin cos ，1cos sin )，|P|2(1sin cos )2(1cos sin )244sin cos 42sin 2.0，1sin 21，|22,6，|，當(dāng)sin 21，即時，|取得最大值規(guī)律方法31.x1y2x2y10與x1x2y1y20不同，前者是a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)共線的充要條件，而后者是它們垂直的充要條件2求解向量的長度問題一般可以從兩個方面考慮：(1)利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解；(2)利用公式|a|及(ab)2|a|22ab|b|2把長度問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算問題解決對點訓(xùn)練(1)(xx江西高考)已知單位向量e1，e2的夾角為，且cos ，若向量a3e12e2，則|a| .(2)(xx四川高考)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m()A2B1C1D2【答案】(1)3(2)D易錯易誤之九忽略向量共線條件致誤1個示范例(xx廣州模擬)已知a(1,2)，b(1,1)，且a與ab的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為 【解析】a與ab均為非零向量，且夾角為銳角，a(ab)0，即(1,2)(1，2)0，(1)2(2)0，當(dāng)a與 ab共線時，存在實數(shù)m，使abma，此處在求解時，常因忽略“a與ab共線”的情形致誤，出現(xiàn)錯誤的原因是誤認(rèn)為ab0與a，b為銳角等價即(1，2)m(1,2)，0，即當(dāng)0時，a與ab共線綜上可知，的取值范圍為【防范措施】1.a，b的夾角為銳角并不等價于ab0，ab0等價于a與b夾角為銳角或0.2依據(jù)兩向量的夾角求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時，要注意0或180的情形其中cos 010，cos 18010.1個防錯練已知a(2，1)，b(，3)，若a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是 【解析】由ab0，即230，解得.又當(dāng)ab時，6，故所求的范圍為且6.【答案】課時限時檢測(二十七)平面向量的數(shù)量積(時間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1(xx遼寧高考)已知點A(1,3)，B(4，1)，則與向量同方向的單位向量為()A.B.C. D.【答案】A2(xx大綱全國卷)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，則()A4B3C2D1【答案】B3若向量a, b，c滿足ab且ac，則c(a2b)()A4B3C2D0【答案】D4已知|a|1，|b|2，a，b60，則|2ab|()A2 B4 C2 D8【答案】A5已知ABC為等邊三角形，AB2.設(shè)點P，Q滿足，(1)，R.若，則()A. B.C. D.【答案】A6已知平面向量|a|2，|b|1，且(ab)，則a與b的夾角為()A. B. C. D.【答案】A二、填空題(每小題5分，共15分)7已知向量a(1,0)，b(1,1)，則向量b3a與向量a夾角的余弦值為 【答案】8已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為60，則ab在a方向上的投影為 【答案】29設(shè)i、j是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量，且2ij，4i3j，則OAB的面積等于 【答案】5三、解答題(本大題共3小題，共35分)10(10分)已知a(1,2)，b(x,1)，(1)若(2ab)(ab)，求x的值；(2)若2ab與ab的夾角是銳角，求x的取值范圍【解】(1)a(1,2)，b(x,1)，2ab(2x,5)，ab(1x,1)由(2ab)(ab)可知2x55x.解得x.(2)由題意可知(2ab)(ab)0且2ab與ab不共線，x且x.即所求x的取值范圍是.11(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，點M滿足，點P在線段BC上運動(包括端點)，如圖圖431(1)求OCM的余弦值；(2)是否存在實數(shù)，使()，若存在，求出滿足條件的實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由【解】(1)由題意可得(6,0)，(1，)，(3,0)，(2，)，(1，)cosOCMcos，.(2)設(shè)P(t，)，其中1t5，(t，)，(6t，)，(2，)，若()，則()0，即122t30(2t3)12，若t，則不存在，若t，則，t，故(，12).12(13分)已知點A(1,0)，B(0,1)，C(2sin ，cos )(1)若|，求的值；(2)若(2)1，其中O為坐標(biāo)原點，求sin cos 的值【解】A(1,0)，B(0,1)，C(2sin ，cos )，(2sin 1，cos )，(2sin ，cos 1)(1)|，化簡得2sin cos ，所以tan ，5.(2)(1,0)，(0,1)，(2sin ，cos )，2(1,2)，(2)1，2sin 2cos 1.(sin cos )2，12sin cos ，sin cos .第四節(jié)平面向量應(yīng)用舉例考情展望1.用向量的方法解決某些簡單的平面幾何證明問題.2.與三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯命題，體現(xiàn)向量運算的工具性一、向量在平面幾何中的應(yīng)用1平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題2用向量解決常見平面幾何問題的技巧問題類型所用知識公式表示線平行、點共線、相似等問題共線向量定理ababx1y2x2y10(b0)其中a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)abab0x1x2y1y20 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cos (為向量a，b的夾角)二、向量在物理中的應(yīng)用1向量的加法、減法在力的分解與合成中的應(yīng)用2向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用3向量的數(shù)量積在合力做功問題中的應(yīng)用：Wfs.1已知三個力f1，f2，f3作用于物體同一點，使物體處于平衡狀態(tài)，若f1(2,2)，f2(2,3)，則|f3|為()A2.5B4C2D5【答案】D2已知O是ABC所在平面上一點，若，則O是ABC的()A內(nèi)心 B重心 C外心 D垂心【答案】D3若20，則ABC為()A鈍角三角形B銳角三角形C等腰直角三角形D直角三角形【答案】D4已知兩個力F1、F2的夾角為90，它們的合力F的大小為10 N，合力與F1的夾角為60，那么F1的大小為 【答案】5 N5在ABC中，AB2，AC3，1，則BC()A. B. C2 D.【答案】A6(xx山東高考)在ABC中，已知tan A，當(dāng)A時，ABC的面積為 【答案】考向一 080向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)在ABC中，已知向量與滿足0，且，則ABC為()A等邊三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形D三邊均不相等的三角形(2)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且a與b不共線，ac，|a|c|，則|bc|的值一定等于()A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B以b，c為兩邊的三角形面積C以a，b為兩邊的三角形面積D以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積(3)已知ABC的三邊長AC3，BC4，AB5，P為AB邊上任意一點，則()的最大值為 【答案】(1)A(2)D(3)9規(guī)律方法11.向量在平面幾何中的三大應(yīng)用：一是借助運算判斷圖形的形狀；二是借助模、數(shù)量積等分析幾何圖形的面積；三是借助向量探尋函數(shù)的最值表達(dá)式，進(jìn)而求最值2平面幾何問題的向量解法(1)坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決(2)基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解對點訓(xùn)練(1)已知點O，N，P在ABC所在平面內(nèi)，且|，0，則點O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B重心、外心、內(nèi)心C外心、重心、垂心D外心、重心、內(nèi)心(注：三角形的三條高線交于一點，此點稱為三角形的垂心)(2)(xx課標(biāo)全國卷)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則 .【答案】(1)C(2)2考向二 081平面向量在解析幾何中的應(yīng)用(xx蘇州模擬)已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動點，作PQl，垂足為Q，且0.(1)求動點P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求的最大值【嘗試解答】(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)由0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化簡得1.所以點P在橢圓上，其方程為1.(2)因()()()()()2221，P是橢圓1上的任一點，設(shè)P(x0，y0)，則有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220.因為y02，2，所以當(dāng)y03時，2取得最大值20，故的最大值為19.規(guī)律方法21.平面向量與解析幾何交匯的題目，向量多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題2向量工具作用：利用abab0(a，b為非零向量)，abab(b0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較優(yōu)越的方法對點訓(xùn)練(xx安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，ab0，點Q滿足(ab)曲線CP|acos bsin ，0<2，區(qū)域P|0<r|R，r<R若C為兩段分離的曲線，則()A1<r<R<3B1<r<3RCr1<R<3 D1<r<3<R【答案】A考向三 082向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用(xx遼寧高考)設(shè)向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值【嘗試解答】(1)由|a|2(sin x)2sin2 x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，從而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，當(dāng)x時，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.規(guī)律方法3平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目的解題思路通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)過坐標(biāo)運算后轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解對點訓(xùn)練已知O為坐標(biāo)原點，向量(sin ，1)，(cos ，0)，(sin ，2)，點P滿足.(1)記函數(shù)f()，求函數(shù)f()的最小正周期；(2)若O、P、C三點共線，求|的值【解】(1)(cos sin ，1)，設(shè)(x，y)，則(xcos ，y)，由得x2cos sin ，y1，故(2cos sin ，1)(sin cos ，1)，(2sin ，1)，f()(sin cos ，1)(2sin ，1)2sin22sin cos 1(sin 2cos 2)sin，f()的最小正周期T.(2)由O、P、C三點共線可得(1)(sin )2(2cos sin )，得tan ，sin 2，|.規(guī)范解答之七平面向量與三角函數(shù)的交匯問題求平面向量與三角函數(shù)的交匯問題的一般步驟：第一步：將向量間的關(guān)系式化成三角函數(shù)式；第二步：化簡三角函數(shù)式；第三步：求三角函數(shù)式的值或求角或分析三角函數(shù)式的性質(zhì)；第四步：明確表述結(jié)論1個示范例(12分)(xx江蘇高考)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值【規(guī)范解答】(1)證明由題意得|ab|22，2分即(ab)2a22abb22.又因為a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.5分(2)因為ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以7分由此得，cos cos()，由0，得0.9分又0，故.代入sin sin 1，得sin sin ，11分而，所以，.12分【名師寄語】(1)熟練掌握平面向量的線性運算及數(shù)量積的運算是求解此類問題的前提(2)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，要利用平面向量的定義和運算法則準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式在此基礎(chǔ)上運用三角函數(shù)的知識求解