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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做04 離散型隨機變量的分布列、均值與方差試題（含解析） 【三年高考】 1. 【xx江蘇，理23】已知一個口袋中有個白球，個黑球()，這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編號為的抽屜內(nèi)，其中第次取出的球放入編號為的抽屜． 1 2 3 （1）試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率； （2）隨機變量表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，是的數(shù)學(xué)期望，證明：． 【答案】（1）；（2）見解析． 試題解析：（1）編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為：． （2）隨機變量X的概率分布為 X … … P … … 隨機變量X的期望為． 所以 ， 即． 【考點】古典概型概率、排列組合、隨機變量及其分布、數(shù)學(xué)期望 【名師點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為： （1）“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義； （2）“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率； （3）“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確； （4）“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得．因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度． 2. 【xx江蘇，理22】盒中共有9個球，其中有4個紅球，3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同. （1）從盒中一次隨機抽出2個球，求取出的2個球的顏色相同的概率； （2）從盒中一次隨機抽出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別為，隨機變量表示的最大數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由題意； （2）隨機變量的取值可能為， ， ， ， 所以的分布列為 2 3 4 . 3．【xx江蘇，理22】設(shè)ξ為隨機變量．從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 【答案】(1) ．(2) ξ 0 1 P(ξ) 【解析】解：(1)若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過任意1個頂點恰有3條棱，所以共有對相交棱，因此. (2)若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對，故， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝， 所以隨機變量ξ的分布列是 ξ 0 1 P(ξ) 因此. 4．【xx山東，理18】（本小題滿分12分）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示. （I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。 （II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX. 【答案】（I）(II)X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是. 【解析】試題分析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計算即得 (II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計算公式 得X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 進一步計算X的數(shù)學(xué)期望. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是 = 【考點】1.古典概型.2.隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.3.超幾何分布. 【名師點睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計算公式、隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運算求解能力等. 5.【xx課標(biāo)1，理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查． （?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到0.01）． 附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則， ，． 【解析】 【考點】正態(tài)分布，隨機變量的期望和方差. 【名師點睛】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機變量中重要的數(shù)學(xué)概念，反應(yīng)隨機變量取值的平均水平.求解離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時，首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散型隨機變量的所有取值，然后根據(jù)概率類型選擇公式，計算每個變量取每個值的概率，列出對應(yīng)的分布列，最后求出數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分布是一種重要的分布，之前考過一次，尤其是正態(tài)分布的原則. 6.【xx課標(biāo)II，理18】海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100 個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下： （1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率； （2） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01） 附： 【答案】(1)； (2) 有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； (3)。 【解析】 ， 故的估計值為0。66 因此，事件A的概率估計值為。 （2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 由于，故有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。 【考點】 獨立事件概率公式；獨立性檢驗原理；頻率分布直方圖估計中位數(shù)。 【名師點睛】利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題作出合理的推斷和預(yù)測。獨立性檢驗就是考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度，隨機變量的觀測值值越大，說明“兩個變量有關(guān)系”的可能性越大。 利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應(yīng)注意三點：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和。 7.【xx北京，理17】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者. （Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率； （Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機.選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）； （Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論） 【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差. 【解析】 （Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C. 所以的所有可能取值為0,1,2. . 所以的分布列為 0 1 2 故的期望. （Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差. 【考點】1.古典概型；2.超幾何分布；3.方差的定義. 【名師點睛】求分布列的三種方法 1．由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量的分布列； 2．由古典概型求出離散型隨機變量的分布列； 3．由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列． 8.【xx天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為. （Ⅰ）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率. 【答案】 (1) (2) 所以，隨機變量的分布列為 0 1 2 3 隨機變量的數(shù)學(xué)期望. 【考點】離散型隨機變量概率分布列及數(shù)學(xué)期望 【名師點睛】求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可取值有那些？當(dāng)隨機變量取這些值時所對應(yīng)的事件的概率有是多少，計算出概率值后，列出離散型隨機變量概率分布列，最后按照數(shù)學(xué)期望公式計算出數(shù)學(xué)期望.；列出離散型隨機變量概率分布列及計算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)必考問題. 9.【xx課標(biāo)3，理18】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. （1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列； （2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？ 【答案】(1)分布列略； (2) n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元. 【解析】 試題分析：(1) 所有的可能取值為200,300,500，利用題意求得概率即可得到隨機變量的分布列； (2)由題中所給條件分類討論可得n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值520元. 試題解析：（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知 ，，. 因此的分布列為 0.2 0.4 0.4 【考點】 離散型隨機變量的分布列；數(shù)學(xué)期望； 【名師點睛】離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量X的取值范圍以及取各值的概率；要理解兩種特殊的概率分布——兩點分布與超幾何分布；并善于靈活運用兩性質(zhì)：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗分布列的正誤. 10．【xx高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù). （I）求的分布列； （II）若要求,確定的最小值； （III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個？ 【答案】（I）見解析（II）19（III） 【解析】 試題分析：（I）先確定X的取值分別為16,17,18,18,20,21,22,,再用相互獨立事件概率模型求概率,然后寫出分布列；（II）通過頻率大小進行比較；（III）分別求出n=9,n=20的期望,根據(jù)時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值,應(yīng)選. 試題解析：（Ⅰ）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而 ； ； ； ； ； ； . 所以的分布列為 16 17 18 19 20 21 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值為19. （Ⅲ）記表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）. 當(dāng)時, . 當(dāng)時, . 可知當(dāng)時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值,故應(yīng)選. 考點：概率與統(tǒng)計、隨機變量的分布列 【名師點睛】本題把隨機變量的分布列與統(tǒng)計及函數(shù)結(jié)合在一起進行考查,有一定綜合性但難度不是太大大,求解關(guān)鍵是讀懂題意,所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問題. 11.【xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 5 保費 0.85 1.25 1.5 1.75 2 設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； （Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率； （Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)互斥事件的概率公式求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（Ⅱ）一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，由條件概率公式求解；（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為，求的分布列，再根據(jù)期望公式求解. 試題解析：（Ⅰ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故 （Ⅱ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故 又，故 因此所求概率為 （Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為 考點： 條件概率，隨機變量的分布列、期望. 【名師點睛】條件概率的求法： (1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求P(B|A)； (2)基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝. 求離散型隨機變量均值的步驟：(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)求X的每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值定義求出E(X)． 12．【xx年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分） 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （I）求直方圖中a的值； （II）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由； （III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計的值，并說明理由. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9． （Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12=36 000． （Ⅲ）因為前6組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85， 而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85， 所以2.5≤x<3． 由0.3(x–2.5)=0.85–0.73， 解得x=2.9． 所以，估計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)． 考點：頻率分布直方圖. 【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計算公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第個小矩形面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識圖的基礎(chǔ)． .13.【xx年高考北京理數(shù)】（本小題13分） A、B、C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）； A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）試估計C班的學(xué)生人數(shù)； （2）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率； （3）再從A、B、C三個班中各隨機抽取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記 ，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 ，試判斷和的大小，（結(jié)論不要求證明） 【答案】（1）40；（2）；（3）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)圖表判斷C班人數(shù)，由分層抽樣的抽樣比計算C班的學(xué)生人數(shù)； （Ⅱ）根據(jù)題意列出“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”的所有事件，由獨立事件概率公式求概率. （Ⅲ）根據(jù)平均數(shù)公式進行判斷即可. 試題解析：（1）由題意知，抽出的名學(xué)生中，來自班的學(xué)生有名，根據(jù)分層抽樣方法，班的學(xué)生人數(shù)估計為；（2）設(shè)事件為“甲是現(xiàn)有樣本中班的第個人”，， 事件為“乙是現(xiàn)有樣本中班的第個人”，， 由題意可知，，；，， ，,. 設(shè)事件為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”，由題意知， 因此 （3）根據(jù)平均數(shù)計算公式即可知，. 考點：1.分層抽樣；2.獨立事件的概率；3.平均數(shù) 【名師點睛】求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法：一是直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件概率的和，運用互斥事件的求和公式計算；二是間接法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式，即運用逆向思維的方法(正難則反)求解，應(yīng)用此公式時，一定要分清事件的對立事件到底是什么事件，不能重復(fù)或遺漏.特別是對于含“至多”“至少”等字眼的題目，用第二種方法往往顯得比較簡便. 14．【xx高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分） 甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求： （I）“星隊”至少猜對3個成語的概率； （Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析， 【解析】 試題分析：（Ⅰ）找出“星隊”至少猜對3個成語所包含的基本事件，由獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得到X的分布列，根據(jù)期望公式求解. 試題解析： (Ⅰ)記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”， 記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”， 記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”. 由題意， 由事件的獨立性與互斥性， , 所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為. (Ⅱ)由題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨立性與互斥性，得 , , , , , . 可得隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望. 考點：1.獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【名師點睛】本題主要考查獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運算求解能力等. 15.【xx高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分） 某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會. （I）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； （II）設(shè)為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先確定從這10人中隨機選出2人的基本事件種數(shù)：，再確定選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4所包含基本事件數(shù)：，最后根據(jù)概率公式求概率（Ⅱ）先確定隨機變量可能取值為再分別求出對應(yīng)概率，列出概率分布，最后根據(jù)公式計算數(shù)學(xué)期望 試題解析：解：由已知，有 所以，事件發(fā)生的概率為. 隨機變量的所有可能取值為 ， ， . 所以，隨機變量分布列為 隨機變量的數(shù)學(xué)期望. 考點：概率，概率分布與數(shù)學(xué)期望 【名師點睛】求均值、方差的方法 1．已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； 2．已知隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解； 3．如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解． 16.【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】下圖是我國xx年至xx年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖 （I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； （II）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測xx年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： ． 【答案】（Ⅰ）理由見解析；（Ⅱ）1.82億噸． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)數(shù)據(jù)后，然后代入公式即可求得的值，最后根據(jù)其值大小回答即可；（Ⅱ）利用最小二乘法的原理提供的回歸方程，準(zhǔn)確求得相關(guān)數(shù)據(jù)即可建立關(guān)于的回歸方程，然后把代入回歸方程求得預(yù)測值． 試題解析：（Ⅰ）由折線圖這數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ，，， ， ． 因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系. （Ⅱ）由及（Ⅰ）得， ， 所以，關(guān)于的回歸方程為：. 將xx年對應(yīng)的代入回歸方程得：， 所以預(yù)測xx年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸. 考點：線性相關(guān)與線性回歸方程的求法與應(yīng)用． 【方法點撥】（1）判斷兩個變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：（1）利用散點圖直觀判斷；（2）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式求出，然后根據(jù)的大小進行判斷．求線性回歸方程時在嚴(yán)格按照公式求解時，一定要注意計算的準(zhǔn)確性． 17．【xx高考福建，理16】某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定. (Ⅰ)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (Ⅱ)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【解析】（Ⅰ）設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則 （Ⅱ）依題意得，X所有可能的取值是1，2，3，又 所以X的分布列為 所以． 18.【xx高考山東，理19】若是一個三位正整數(shù)，且的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如137,359,567等）.在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分. （I）寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ； （II）若甲參加活動，求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】（I）個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有：125，135，145，235，245，345； （II）由題意知，全部“三位遞增烽”的個數(shù)為 ，隨機變量X的取值為：0，-1，1，因此 , , 所以X的分布列為 X 0 -1 1 P 因此 19.【xx高考天津，理16】為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽. (I)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件A發(fā)生的概率； (II)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】(I)由已知，有，所以事件發(fā)生的概率為. (II)隨機變量的所有可能取值為， 所以隨機變量的分布列為 所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望 20.【xx高考四川，理17】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊 （1）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率. （2）某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】（1）由題意，參加集訓(xùn)的男女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中抽?。ǖ葍r于A中沒有學(xué)生入選代表隊）的概率為.因此，A中學(xué)至少1名學(xué)生入選的概率為. （2）根據(jù)題意，X的可能取值為1，2，3.，，，，所以X的分布列為： 因此，X的期望為. 【xx年高考命題預(yù)測】 離散型隨機變量的分布列、均值與方差問題是江蘇高考理科選修內(nèi)容，考試時一般為解答題.第一問主要考查等可能事件的概率計算公式,互斥事件的概率加法公式，對立事件的概率減法公式,相互獨立事件的概率乘法公式,事件在n次獨立重復(fù)試驗種恰好發(fā)生k次的概率計算公式等五個基本公式的應(yīng)用，第二問主要考查分布列、均值與方差問題，特別是離散型隨機變量的分布列、均值與方差也是高考的重點，試題多為課本例題,習(xí)題拓展加工的基礎(chǔ)題或中檔題. 從高考試題來看，頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差、分布列是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，客觀題考查知識點較單一，解答題考查得較為全面，常常和概率、平均數(shù)等知識結(jié)合在一起，考查學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力．根據(jù)這幾年高考試題預(yù)測xx年高考，離散型隨機變量的分布列與期望仍然是考查的熱點，同時應(yīng)注意和概率、平均數(shù)、分布列，期望，二項分布，正態(tài)分布等知識的結(jié)合． 【xx年高考考點定位】 本節(jié)主要有離散型隨機變量的分布列，超幾何分布，數(shù)學(xué)期望，方差等基本公式的應(yīng)用，‘試題多為課本例題,習(xí)題拓展加工的基礎(chǔ)題或中檔題.只要我們理解和掌握五個概率公式及其應(yīng)用,夯實基礎(chǔ),借助排列組合知識和化歸轉(zhuǎn)化思想方法,就能順利解答高考概率與統(tǒng)計試題. 最多的概率與統(tǒng)計問題的分值占整個卷面分值的12%，且本部分題多為中低檔題.從而可以看出近幾年高考中概率與統(tǒng)計所占地位的重要性. 【考點1】離散型隨機變量的分布列 【備考知識梳理】 1．離散型隨機變量的分布列 (1)隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，隨機變量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若是隨機變量，，其中是常數(shù)，則也是隨機變量. 2.常見離散型隨機變量的分布列 (1)兩點分布：若隨機變量服從兩點分布，即其分布列為 0 1 其中，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布．其中稱為成功概率． (2)超幾何分布：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件{}發(fā)生的概率為，，其中，且，稱分布列為超幾何分布列. 0 1 … m … (3)設(shè)離散型隨機變量可能取得值為，，…，，…，取每一個值 ()的概率為，則稱表 … … … … 為隨機變量X的概率分布列，簡稱X的分布列．有時為了表達(dá)簡單，也用等式，表示的分布列． 分布列的兩個性質(zhì)：①，；②. 【規(guī)律方法技巧】 1. 求分布列的三種方法 (1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量的分布列；(1)可設(shè)出隨機變量Y，并確定隨機變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù)；(2)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù)．由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義． (2)由古典概型求出離散型隨機變量的分布列；求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率．而超幾何分布就是此類問題中的一種． (3)由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列． 2. 求離散型隨機變量分布列的步驟 (1)找出隨機變量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確． 3. 解答離散型隨機變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路 (1)明確隨機變量可能取哪些值． (2)結(jié)合事件特點選取恰當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值． (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解． 注意 解題中要善于透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機變量及其分布列的知識來解決實際問題． 【考點針對訓(xùn)練】 1．小王在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個. （Ⅰ）若小王發(fā)放5元的紅包2個，求甲恰得1個的概率； （Ⅱ）若小王發(fā)放3個紅包，其中5元的2個，10元的1個.記乙所得紅包的總錢數(shù)為X，求X的分布列和期望. 【解析】（Ⅰ）設(shè)“甲恰得一個紅包”為事件A，． （Ⅱ）X的所有可能值為0，5，10，15，20．， ，， ，． X的分布列： X 0 5 10 15 20 P E(X)＝0＋5＋10＋15＋20＝． 2.學(xué)校為測評班級學(xué)生對任課教師的滿意度，采用“100分制”打分的方式來計分.現(xiàn)從某班學(xué)生中隨機抽取10名，以下莖葉圖記錄了他們對某教師的滿意度分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）： 規(guī)定若滿意度不低于98分，測評價該教師為“優(yōu)秀”. （I）求從這10人中隨機選取3人，至多有1人評價該教師是“優(yōu)秀”的概率； （II）以這10人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個班級的總體數(shù)據(jù)，若從該班任選3人，記表示抽到評價該教師為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】（Ⅰ）設(shè)表示所取3人中有個人評價該教師為“優(yōu)秀”，至多有1人評價該教師為“優(yōu)秀”記為事件，則 （Ⅱ）的可能取值為0、1、2、3 , ; ; ; . 分布列為 . 【考點2】離散型隨機變量的期望與方差 【備考知識梳理】 1．均值 若離散型隨機變量X的分布列為 … … … … 稱為隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平． 若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且. 若服從兩點分布，則； 若，則. 2.方差 若離散型隨機變量X的分布列為 … … … … 則描述了 ()相對于均值的偏離程度，而為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．稱為隨機變量的方差，其算術(shù)平方根為隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差． 若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且． 若服從兩點分布，則． 若，則． 【規(guī)律方法技巧】. 1. 求離散型隨機變量均值、方差的基本方法 (1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； (2)已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解； (3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解． 2. 求離散型隨機變量均值的步驟 (1)理解隨機變量的意義，寫出可能取得的全部值； (2)求的每個值的概率； (3)寫出的分布列； (4)由均值定義求出． 3. 六條性質(zhì) (1) (為常數(shù)) (2) (為常數(shù)) (3) (4)如果相互獨立，則 (5) (6) 4. 均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算． 【考點針對訓(xùn)練】 1.某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成規(guī)定:至少正確完成其中道題的便可通過.已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響 （1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列，并計算其數(shù)學(xué)期望； （2）請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性大？ 【解析】（1）設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為， 則的取值分別為 ；；； 考生甲正確完成題數(shù)的分布列為 ，設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，則取值分別為 ，； ，， ， 考生乙正確完成題數(shù)的分布列為: （2）因為， ，（或），所以， (或：因為，，所以 ) 綜上所述，從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩人水平相當(dāng)；但從方差來看甲發(fā)揮比較穩(wěn)定，從至少完成兩道題的概率考查，甲的勝算大點 2.某企業(yè)有位員工．?dāng)M在新年聯(lián)歡會中，增加一個摸球兌獎的環(huán)節(jié)，規(guī)定：每位員工從一個裝有個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出個球，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲的中獎額．企業(yè)預(yù)算抽獎總額為元，共提出兩種方案． 方案一：袋中所裝的個球中有兩個球所標(biāo)的面值為元，另外兩個標(biāo)的面值為元； 方案二：袋中所裝的個球中有兩個球所標(biāo)的面值為元，另外兩個標(biāo)的面值為元． （Ⅰ）求兩種方案中，某員工獲獎金額的分布列； （Ⅱ）在兩種方案中，請幫助該企業(yè)選擇一個適合的方案，并說明理由． 【解析】（1）設(shè)方案一某員工獲獎金額為，則的可能取值為， , ，則的分布列為 20 60 100 設(shè)方案二某員工獲獎金額為，則的可能取值為， ,，則的分布列為 40 60 80 （2）, 若回答由于兩種方案的獎勵額的期望相等，希望獎金分配更集中，方案二的方差比方案一的方差小，所以應(yīng)該選擇方案二 若回答由于兩種方案的獎勵額的期望相等，希望獎金分配差距大一些，方案一的方差比方案二的方差大，所以應(yīng)該選擇方案一 【兩年模擬詳解析】 1．【xx學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）】已知袋中裝有大小相同的2個白球、2個紅球和1個黃球.一項游戲規(guī)定：每個白球、紅球和黃球的分值分別是0分、1分和2分，每一局從袋中一次性取出三個球，將3個球?qū)?yīng)的分值相加后稱為該局的得分，計算完得分后將球放回袋中.當(dāng)出現(xiàn)第局得分（）的情況就算游戲過關(guān)，同時游戲結(jié)束，若四局過后仍未過關(guān)，游戲也結(jié)束. （1）求在一局游戲中得3分的概率； （2）求游戲結(jié)束時局?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）（2） 【解析】 解：（1）設(shè)在一局游戲中得3分為事件， 則. 答：在一局游戲中得3分的概率為. （2）的所有可能取值為1，2，3，4. 在一局游戲中得2分的概率為， ； ； ； . 所以 . 2．【南京市、鹽城市xx屆高三年級第一次模擬】（本小題滿分10分） 某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機選擇1節(jié)作為綜合實踐課（上午不排該課程），張老師與王老師分別任教甲、乙兩個班的綜合實踐課程. （1）求這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率； （2）設(shè)這兩個班“在一周中同時上綜合實踐課的節(jié)數(shù)”為X，求X的概率分布表與數(shù)學(xué)期望E(X). 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 解：（1）這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率為. ……4分 （2）由題意得，. …………6分 所以X的概率分布表為： X 0 1 2 3 4 5 P …………8分 所以，X的數(shù)學(xué)期望為. …………10分 3．【xx年第三次全國大聯(lián)考江蘇卷】袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為．現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即終止．若摸出白球，則記2分，若摸出黑球，則記1分．每個球在每一次被取出的機會是等可能的．用表示甲、乙最終得分差的絕對值． （1）求袋中原有白球的個數(shù)； （2）求隨機變量的分布列及期望． 【解析】（1）設(shè)袋中原有個白球，由題意，知， 解之得（負(fù)值舍去），即袋中原有3個白球．………………3分 0 2 4 P 所以的分布列為 ．………………10分 4．【xx年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】已知正四棱柱的底面邊長為，高為，現(xiàn)從該正四棱柱的個頂點中任取個點.設(shè)隨機變量的值為以取出的個點為頂點的三角形的面積. （1）求概率； （2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望 【解析】 （1）因為正四棱柱的底面邊長為，高為， 所以面積為的三角形的個點為頂點只能是同一底面上的頂點，共有個. 因此……………4分 （2）顯然題設(shè)三角形三邊不可能都是正四棱柱的棱. ①若三角形中恰有兩邊為正四棱柱的棱，另一邊為底面對角線時，由（1）知，；若三角形中恰有兩邊為正四棱柱的棱，另一邊為側(cè)面對角線時，且 ②若三角形中恰有一邊為正四棱柱底面的棱時，且 若三角形中恰有一邊為正四棱柱側(cè)棱時，且 ③若三角形中的邊都不是正四棱柱的棱，則三邊中兩條為側(cè)面對角線，一條為底面對角線.于是且 所以隨機變量的分布列是 因此……………10分 5．【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷02（江蘇卷）】某校為了解本校學(xué)生的課后玩電腦游戲時長情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天玩電腦游戲的時長的頻率分布直方圖． （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖估計抽取樣本的平均數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）； （Ⅱ）已知樣本中玩電腦游戲時長在的學(xué)生中，男生比女生多1人，現(xiàn)從中選人進行回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與期望． 【解析】解：（Ⅰ），-----------------------（1分） --------------（3分） （Ⅱ）樣本中玩電腦游戲時長在內(nèi)的學(xué)生為人，---------------------（4分） 其中男生人，女生人，則 的可能取值為，則 --------------（7分） 的分布列為 1 2 3 ---------------------------------------------（8分） 所以.----------------（10分） 6．【揚州市xx學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測】（本小題滿分10分） 為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校決定在每周的同一時間開設(shè)《數(shù)學(xué)史》、《生活中的數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》、《數(shù)學(xué)建?！匪拈T校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門校本課程中隨機選一門進行學(xué)習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一課程都是等可能的. （1）求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率； （2）設(shè)為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】解：⑴甲、乙、丙三人從四門課程中各任選一門，共有種不同的選法，記“甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同”為事件，事件共包含個基本事件，則，所以甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率為. --------------------3分 ⑵方法一：可能的取值為， --------------------4分 ，， ，. --------------------8分 所以的分布列為： X 0 1 2 3 所以的數(shù)學(xué)期望. -------------10分 方法二：甲、乙、丙三人從四門課程中任選一門，可以看成三次獨立重復(fù)試驗，為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，則，所以，， 所以的分布列為： X 0 1 2 3 所以的數(shù)學(xué)期望. 7．【xx南通揚州泰州蘇北四市高三二?！浚ū拘☆}滿分10分） 某樂隊參加一戶外音樂節(jié)，準(zhǔn)備從3首原創(chuàng)新曲和5首經(jīng)典歌曲中隨機選擇4首進行演唱． （1）求該樂隊至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率； （2）假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂隊的互動指數(shù)為a（a為常數(shù)），演唱一首經(jīng)典歌曲觀 眾與樂隊的互動指數(shù)為2a．求觀眾與樂隊的互動指數(shù)之和的概率分布及數(shù)學(xué)期望． 解：（1）設(shè)“至少演唱1首原創(chuàng)新曲”為事件， 則事件的對立事件為：“沒有1首原創(chuàng)新曲被演唱”． 所以． 答：該樂隊至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率為． …… 4分 （2）設(shè)隨機變量表示被演唱的原創(chuàng)新曲的首數(shù)，則的所有可能值為0，1，2，3． 依題意，，故的所有可能值依次為8a，7a，6a，5a． 則， ， ， ． 從而的概率分布為： …… 8分 所以的數(shù)學(xué)期望．…… 10分 8. 【江蘇省揚州中學(xué)xx學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立． （1）求在未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率； （2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系； 年入流量 發(fā)電機最多可運行臺數(shù) 1 2 3 若某臺發(fā)電機運行，則該臺發(fā)電機年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺發(fā)電機年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？ 【答案】（1）0.9477；（2）2臺． 【解析】（1）由題意得：,由二項分布，在未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率為 (2) 設(shè)水電站年總利潤為（萬元） ①安裝1臺發(fā)電機， ②安裝2臺發(fā)電機，的分布列為 4200 10000 0.2 0.8 ③安裝3臺發(fā)電機，的分布列為 3400 9200 15000 0.2 0.7 0.1 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺． 9．【江蘇省蘇中三市（南通、揚州、泰州）xx屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題】（本小題滿分10分）一個摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個大小相同、顏色各異的玻璃球．參加者交費1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時，游戲費被沒收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時，參加者可相應(yīng)獲得游戲費的0倍，1倍，倍的獎勵（），且游戲費仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為元． （1）求概率的值； （2）為使收益的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求的最小值． （注：概率學(xué)源于賭博，請自覺遠(yuǎn)離不正當(dāng)?shù)挠螒颍?