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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.2 函數(shù)值域的求法教案 新課標(biāo) 一、知識(shí)梳理： 1、基本初等函數(shù)的值域： （1）一次函數(shù)的值域：R （2）反比例函數(shù)的值域： （3）二次函數(shù)的值域： 時(shí)，；時(shí)，； 二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域： 由圖象考慮?。? （4）指數(shù)函數(shù)的值域： （5）對(duì)數(shù)函數(shù)的值域：R （6）冪函數(shù)的值域：時(shí)，值域?yàn)榛?，時(shí)，值域?yàn)椋瑫r(shí)，值域?yàn)榛? （7）三角函數(shù)的值域分別為： 2、求函數(shù)值域的方法： （1）直接法：初等函數(shù)或初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍； （2）二次函數(shù)法：形如的函數(shù)利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域； （3）換元法：代數(shù)換元，三角換元，均值換元等。 （4）反表示法：將求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求它的反函數(shù)的值域； （5）判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍； （6）單調(diào)性法：利用函數(shù)在定義域上的單調(diào)性求值域； （7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域； （8）圖象法：當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象可作時(shí)，通過圖象可求其值域； （9）求導(dǎo)法：當(dāng)一個(gè)函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí)，可據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值，再得值域； （10）幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化斜率、距離等求值域。 二、典例討論： 題型一。初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)： 例1、求下列函數(shù)的值域： （1） （2） （3） （4）呢？ （5）已知，求函數(shù)的值域。 解：的定義域?yàn)?，由此可得值域?yàn)閇0，3]； 題型二。其它函數(shù) 例2、求下列函數(shù)的值域： （1）分子常數(shù)化法： 點(diǎn)評(píng)：適用一次分式函數(shù)型 （2）反表示法： 點(diǎn)評(píng)：類似地： （3）法：求函數(shù)y=值域　　　先因式分解，能約先約。 解：∵，∴函數(shù)的定義域R，原式可化為,整理得，若y=1,即2x=0,則x=0；若y1,∵R，即有0，∴,解得且 y1. 綜上：函數(shù)是值域是{y|}. 點(diǎn)評(píng)：適用二次分式函數(shù)型，先因式分解，能約先約。 （4）特殊地：基本不等式法，求導(dǎo)法： （5）配方法： 解：， （6）換元法： 換元法： 三角換元法： （7）函數(shù)單調(diào)性法： 用的單調(diào)性： 點(diǎn)評(píng)：可用導(dǎo)數(shù)法求之 （8）分段函數(shù)圖象法：求 y=|x+1|+|x-2|的值域. 解：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是{y|y3}. （9）幾何意義法、數(shù)形結(jié)合： 解：構(gòu)造點(diǎn) 得： 點(diǎn)評(píng)：亦可用合一法解之。 題型三。給定函數(shù)值域,求參數(shù)的取值范圍 例3、已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，求m,n的值。 解：，，因?yàn)橹涤驗(yàn)閇0，2]，設(shè)，其，， 所以，，驗(yàn)證：得 四、課后作業(yè)： 1． 求下列函數(shù)的最值與值域： （1）y=2x-; (2)y=x+;(4)y=. 解 （1）方法一 令=t(t≥0),則x=.∴y=1-t2-t=-（t+2+. ∵二次函數(shù)對(duì)稱軸為t=-,∴在［0，+∞）上y=-(t+2+是減函數(shù)， 故ymax=-(0+2+=1.故函數(shù)有最大值1，無最小值，其值域?yàn)椋?∞，1］. 方法二 ∵y=2x與y=-均為定義域上的增函數(shù)，∴y=2x-是定義域?yàn)閧x|x≤}上的增函數(shù)， 故ymax=2=1,無最小值.故函數(shù)的值域?yàn)?-∞,1］. (2)方法一 函數(shù)y=x+是定義域?yàn)閧x|x≠0}上的奇函數(shù),故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故只討論x＞0時(shí),即可知x＜0時(shí)的最值. ∴當(dāng)x＞0時(shí),y=x+≥2=4，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得. 當(dāng)x＜0時(shí)，y≤-4,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)取得. 綜上函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4］∪［4，+∞），無最值. 方法二 任取x1,x2,且x1＜x2, 因?yàn)閒(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)= 所以當(dāng)x≤-2或x≥2時(shí)，f(x)遞增,當(dāng)-2＜x＜0或0＜x＜2時(shí)，f(x)遞減. 故x=-2時(shí)，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2時(shí)，f(x)最小值=f(2)=4, 所以所求函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4］∪［4，+∞），無最大（小）值. （3）將函數(shù)式變形為 y=, 可視為動(dòng)點(diǎn)M（x,0）與定點(diǎn)A（0，1）、B（2，-2）距離之和，連結(jié)AB，則直線AB與x軸的交點(diǎn)（橫坐標(biāo)）即為所求的最小值點(diǎn). ymin=|AB|=，可求得x=時(shí)，ymin=. 顯然無最大值.故值域?yàn)椋郏?∞）. 2．若函數(shù)的最大值為4，最小值為-1，求實(shí)數(shù)a，b的值