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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5.4 解斜三角形教案 ●知識(shí)梳理 1.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==. 利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題. （1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角； （2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角.（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角） 2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即 a2=b2+c2－2bccosA； ① b2=c2+a2－2cacosB； ② c2=a2+b2－2abcosC. ③ 在余弦定理中，令C=90，這時(shí)cosC=0，所以c2=a2+b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得 cosA=； cosB=； cosC=. 利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題： （1）已知三邊，求三個(gè)角； （2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角. 特別提示 兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過(guò)向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的實(shí)例.另外，解三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來(lái)幫助理解”. ●點(diǎn)擊雙基 1.（xx年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形 解析：由2cosBsinA=sinC得a=c，∴a=b. 答案：C 2.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是 A.sinA+cosA= B.＞0 C.tanA+tanB+tanC＞0 D.b=3，c=3，B=30 解析：由sinA+cosA=得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角. 由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B為鈍角. 由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0. ∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.由=，得sinC=，∴C=或. 答案：C 3.（xx年全國(guó)Ⅳ，理11）△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30，△ABC的面積為，那么b等于 A. B.1+ C. D.2+ 解析：∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面積為，且∠B=30，故由S△ABC=acsinB=acsin30=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b為邊長(zhǎng)，∴b=1+. 答案：B 4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，則∠A=_______. 解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴=.∴∠A=. 答案： 5.在銳角△ABC中，邊長(zhǎng)a=1，b=2，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是_______. 解析：若c是最大邊，則cosC＞0.∴＞0，∴c＜.又c＞b－a=1， ∴1＜c＜. 答案：（1，） ●典例剖析 【例1】 △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B. 剖析：研究三角形問(wèn)題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊. 證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC－=sinBsin（A+B） （cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B）， 因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B. 評(píng)述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解. 思考討論 （1）該題若用余弦定理如何解決? 解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA===，cos2B=2cos2B－1=2（）2－1=－1=. 所以cosA=cos2B.因?yàn)锳、B是△ABC的內(nèi)角，所以A=2B. （2）該題根據(jù)命題特征，能否構(gòu)造一個(gè)符合條件的三角形，利用幾何知識(shí)解決? 解：由題設(shè)a2=b（b+c），得= ①， 作出△ABC，延長(zhǎng)CA到D，使AD=AB=c，連結(jié)BD.①式表示的即是=，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D. 又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2. 因?yàn)椤螧AC=∠2+∠D=2∠2=2∠1， 所以A=2B. 評(píng)述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點(diǎn)考查正弦、余弦定理，考查的側(cè)重點(diǎn)還在于三角轉(zhuǎn)換.這是的初衷. 【例2】 （xx年全國(guó)Ⅱ，17）已知銳角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=. （1）求證：tanA=2tanB； （2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高. 剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）. （1）證明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=， ∴=2. ∴tanA=2tanB. （2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.∴tan（A+B）=－， 即=－.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（負(fù)值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+. 設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB邊上的高為2+. 評(píng)述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計(jì)算能力. 【例3】 （xx年春季北京）在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值. 剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值. 解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac. 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc. 在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60. 在△ABC中，由正弦定理得sinB=， ∵b2=ac，∠A=60，∴=sin60=. 解法二：在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB. ∵b2=ac，∠A=60，∴bcsinA=b2sinB. ∴=sinA=. 評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理. ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.（xx年浙江，8）在△ABC中，“A＞30”是“sinA＞”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：在△ABC中，A＞300＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30＜A＜150A＞30. 答案：B 2.如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角為 A.75 B.60 C.50 D.45 解析：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽(yáng)光線與地面所成的角，即∠CDE=40，延長(zhǎng)DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽(yáng)棚與地面所成的角，設(shè)為α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，=. ∴DF=. ∵CF為定值，∴當(dāng)α=50時(shí)，DF最大. 答案：C 3.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S=（a2+b2－c2），則∠C的度數(shù)是_______. 解析：由S=（a2+b2－c2）得absinC=2abcosC.∴tanC=1.∴C=. 答案：45 4.在△ABC中，若∠C=60，則=_______. 解析：= =. （*） ∵∠C=60，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2. 代入（*）式得=1. 答案：1 5.在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是 A.b=20，A=45，C=80 B.a=30，c=28，B=60 C.a=14，b=16，A=45 D.a=12，c=15，A=120 解析：由a=14，b=16，A=45及正弦定理，得=，所以sinB=.因而B有兩值. 答案：C 培養(yǎng)能力 6.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍. 解：∵b2=ac，∴cosB===（+）－≥. ∴0＜B≤， y===sinB+cosB=sin（B+）.∵＜B+≤， ∴＜sin（B+）≤1.故1＜y≤. 7.已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圓半徑為. （1）求∠C； （2）求△ABC面積的最大值. 解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB得2（－）=（a－b）. 又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==. 又∵0＜C＜180，∴C=60. （2）S=absinC=ab =2sinAsinB=2sinAsin（120－A） =2sinA（sin120cosA－cos120sinA） =3sinAcosA+sin2A =sin2A－sin2Acos2A+ =sin（2A－30）+. ∴當(dāng)2A=120，即A=60時(shí)，Smax=. 8.在△ABC中，BC=a，頂點(diǎn)A在平行于BC且與BC相距為a的直線上滑動(dòng)，求的取值范圍. 解：令A(yù)B=kx，AC=x（k＞0，x＞0），則總有sinB=，sinC=（圖略），且由正弦定理得sinB=sinA，所以a2=kx2sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA==（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤=.所以k2－k+1≤0，所以≤k≤. 所以的取值范圍為［，］. 探究創(chuàng)新 9.某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過(guò)A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問(wèn)把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短?并求其最短距離.（不要求作近似計(jì)算） 解：在△AOB中，設(shè)OA=a，OB=b. 因?yàn)锳O為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135. 則|AB|2=a2+b2－2abcos135=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立.又O到AB的距離為10，設(shè)∠OAB=α，則∠OBA=45－α.所以a=，b=， ab= = = = =≥， 當(dāng)且僅當(dāng)α=2230′時(shí)，“=”成立. 所以|AB|2≥=400（+1）2， 當(dāng)且僅當(dāng)a=b，α=2230′時(shí)，“=”成立. 所以當(dāng)a=b==10時(shí)，|AB|最短，其最短距離為20（+1），即當(dāng)AB分別在OA、OB上離O點(diǎn)10 km處，能使|AB|最短，最短距離為20（－1）. ●思悟小結(jié) 1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin=cos，cos=sin，tan=cot. 2.∠A、∠B、∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60. 3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 4.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊.并常用正弦（余弦）定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化. 5.用正（余）弦定理解三角形問(wèn)題可適當(dāng)應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長(zhǎng). 6.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時(shí)，需明確向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補(bǔ). ●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 1.一方面要讓學(xué)生體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要讓學(xué)生體會(huì)解三角形是重要的測(cè)量手段，通過(guò)數(shù)值計(jì)算進(jìn)一步提高使用計(jì)算器的技能技巧和解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練. 拓展題例 【例1】 已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，y=cotA+. （1）若任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.（2）求y的最小值. 解：（1）∵y=cotA+ =cot A+ =cot A+ =cotA+cotB+cotC， ∴任意交換兩個(gè)角的位置，y的值不變化. （2）∵cos（B－C）≤1， ∴y≥cotA+=+2tan=（cot+3tan）≥=. 故當(dāng)A=B=C=時(shí)，ymin=. 評(píng)述：本題的第（1）問(wèn)是一道結(jié)論開放型題，y的表達(dá)式的表面不對(duì)稱性顯示了問(wèn)題的有趣之處.第（2）問(wèn)實(shí)際上是一道常見(jiàn)題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥. 【例2】 在△ABC中，sinA=，判斷這個(gè)三角形的形狀. 分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可由三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”. 解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得 a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形. 評(píng)述：恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵.若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosA=0.