2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2-4-3第3課時(shí) 直線與拋物線的位置關(guān)系同步檢測(cè) 新人教版選修2-1一、選擇題1直線yx3與拋物線y24x交于A、B兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為()A48B56C64D72答案A解析由消去y得，x210x90，x1或9，或，|AP|10，|BQ|2或者|BQ|10，|AP|2，|PQ|8，梯形APQB的面積為48，選A.2設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，與x軸正向的夾角為60，則|為()A. B. C.p D.p答案B解析依題意可設(shè)AF所在直線方程為y0(x)tan60，y(x)聯(lián)立，解得x與.與x軸正向夾角為60，x，yp.|.3拋物線y22px與直線axy40的一個(gè)交點(diǎn)是(1,2)，則拋物線的焦點(diǎn)到該直線的距離為()A. B. C. D.答案B解析由已知得拋物線方程為y24x，直線方程為2xy40，拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(1,0)，到直線2xy40的距離d.4設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|等于()A9 B6 C4 D3答案B解析設(shè)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)由題意知F(1,0)，因?yàn)?，所以x1x2x33.根據(jù)拋物線定義，有|x11x21x31336.故選B. 5設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A(2，2) B(1，2)C(1,2) D(2,2)答案B解析設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，y4x0又F(1,0)，(x0，y0)，(1x0，y0)，4，x0xy4解組成的方程組得或.點(diǎn)評(píng)向量與解析幾何相結(jié)合，向量往往要化為坐標(biāo)的形式6(08寧夏、海南)已知點(diǎn)P在拋物線y24x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A. B.C(1,2) D(1，2)答案A解析過點(diǎn)Q作準(zhǔn)線的垂線QM，交拋物線于P點(diǎn)，連結(jié)PF，此時(shí)|PQ|PF|PQ|PM|QM|，此時(shí)|MQ|最小，所以所求坐標(biāo)為.7(09全國(guó)理)已知直線yk(x2)(k>0)與拋物線C：y28x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)若|FA|2|FB|，則k()A. B. C. D.答案D解析設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，由消去y得，k2x24x(k22)4k20，x1x2，x1x24.由拋物線定義得|AF|x12，|BF|x22，又|AF|2|BF|，x122x24，x12x22代入x1x24，得xx220，x21或2(舍去)，x14，5，k2，k>0，k.8過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F作兩弦AB和CD，其所在直線的傾斜角分別為與，則|AB|與|CD|的大小關(guān)系是()A|AB|>|CD| B|AB|CD|C|AB|<|CD| D|AB|CD|答案A解析由拋物線的焦點(diǎn)弦公式l知，|AB|>|CD|，故選A.9(09全國(guó)理)設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線yx21相切，則該雙曲線的離心率等于()A. B2 C. D.答案C解析雙曲線的漸近線方程為yx.漸近線與yx21相切，x2x10有兩相等根，40，b24a2，e.10(09四川理)已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A2 B3 C. D.答案A解析如圖|PA|PB|PF|PB|所求最小值為點(diǎn)F到直線l1：4x3y60的距離d2，故選A.二、填空題11已知當(dāng)拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面2米時(shí)，量得水面寬8米，當(dāng)水面升高1米后，水面寬度是_米答案4解析設(shè)拋物線拱橋的方程為x22py，當(dāng)頂點(diǎn)距水面2米時(shí)，量得水面寬8米，即拋物線過點(diǎn)(4，2)代入方程得164pp4，則拋物線方程是x28y，水面升高1米時(shí)，即y1時(shí)，x2.則水面寬為4米12已知拋物線y24x的一條過焦點(diǎn)的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)(0,2)，則_.答案解析弦AB是過焦點(diǎn)F(1,0)的弦，又過點(diǎn)(0,2)，其方程為x1，2xy20與y24x聯(lián)立得y22y40，y1y22，y1y24，.13在已知拋物線yx2上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N關(guān)于直線ykx對(duì)稱，則k的取值范圍為_答案k>或k<解析設(shè)M(x1，x)，N(x2，x)關(guān)于已知拋物線對(duì)稱，依MNl：ykx，即x1x2.設(shè)MN的中點(diǎn)為(x0，y0)，則x0，y0k()4.因中點(diǎn)在yx2內(nèi)，有4>()2k2>，k>或k<.14(xx重慶理，14)已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y24x上的兩點(diǎn)A、B滿足3，則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_答案解析如右圖，設(shè)|m，|n，由得1，即1，n，m4，AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d.三、解答題15過拋物線y2x上一點(diǎn)A(4,2)，作傾斜角互補(bǔ)的兩直線AB、AC交拋物線于B、C.求證直線BC的斜率為定值證明設(shè)B(x，x1)，C(x，x2)(|x1|x2|)，則kBC；kAB，kAC.AB，AC的傾斜角互補(bǔ)kABkAC.，x12(x22)，x1x24.kBC為定值16已知拋物線y26x的弦AB經(jīng)過點(diǎn)P(4,2)，且OA OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求弦AB的長(zhǎng)解析由A、B兩點(diǎn)在拋物線y26x上，可設(shè)A(，y1)，B(，y2)因?yàn)镺AOB，所以0.由(，y1)，(，y2)，得y1y20.y1y20，y1y236，點(diǎn)A、B與點(diǎn)P(4,2)在一條直線上，化簡(jiǎn)，得，即y1y22(y1y2)24.將式代入，得y1y26.由和，得y133，y233，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(93，33)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(93，33)，所以|AB|6.17設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)是F，有傾角為45的弦AB，|AB|8，求FAB的面積解析設(shè)AB方程為yxb由消去y得：x2(2b8)xb20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x282b，x1x2b2.|AB|x1x2|8，解得：b3.直線方程為yx3.即：xy30焦點(diǎn)F(2,0)到xy30的距離為d.SFAB82.18已知拋物線yx23上存在關(guān)于直線xy0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B，求A、B兩點(diǎn)間的距離分析本題考查拋物線上的對(duì)稱問題，可利用A、B兩點(diǎn)在拋物線上，又在直線上，設(shè)出直線方程利用條件求解解析由題意可設(shè)lAB為：yxb，把直線方程代入yx23中得，x2xb30.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，y1y2x1bx2b(x1x2)2b2b1.AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，b)，則該點(diǎn)在直線xy0上(b)0，得b1.|AB|x1x2| 3.所以A、B兩點(diǎn)間距離為3.