2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料數(shù)學(xué)方法選講2四、從反面考慮解數(shù)學(xué)題，需要正確的思路。對于很多數(shù)學(xué)問題，通常采用正面求解的思路，即從條件出發(fā)，求得結(jié)論。但是，如果直接從正面不易找到解題思路時，則可改變思維的方向，即從結(jié)論入手或從條件及結(jié)論的反面進行思考，從而使問題得到解決。1某次數(shù)學(xué)測驗一共出了10道題，評分方法如下：每答對一題得4分，不答題得0分，答錯一題倒扣1分，每個考生預(yù)先給10分作為基礎(chǔ)分。問：此次測驗至多有多少種不同的分數(shù)？2一支隊伍的人數(shù)是5的倍數(shù)，且超過1000人。若按每排4人編隊，則最后差3人；若按每排3人編隊，則最后差2人；若按每排2人編隊，則最后差1人。問：這支隊伍至少有多少人？3在八邊形的8個頂點上是否可以分別記上數(shù)1，2，8，使得任意三個相鄰的頂點上的數(shù)的和大于13？4有一個1000位的數(shù)，它由888個1和112個0組成，這個數(shù)是否可能是一個平方數(shù)？五、從特殊情況考慮對于一個一般性的問題，如果覺得難以入手，那么我們可以先考慮它的某些特殊情況，從而獲得解決的途徑，使問題得以“突破”，這種方法稱為特殊化。對問題的特殊情況進行研究，一方面是因為研究特殊情況比研究一般情況較為容易；另一方面是因為特殊的情況含有一般性，所以對特殊情況的研究常能揭示問題的結(jié)論或啟發(fā)解決問題的思路，它是探索問題的一種重要方法。運用特殊化方法進行探索的過程有兩個步驟，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。通過第一步驟得到的信息，還要回到一般情況予以解答。5如下圖，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，且邊長均為2cm。又E點是正方形 ABCD的中心，求兩個正方形公共部分（圖中陰影部分）的面積S。6是否在平面上存在這樣的40條直線，它們共有365個交點？7如右圖，正方體的8個頂點處標(biāo)注的數(shù)字為a，b，c，d，e，求（a+b+c+d）-（e+f+g+h）的值。8將n2個互不相等的數(shù)排成下表：a11 a12a13 a1na21 a22a23 a2nan1an2an3 ann先取每行的最大數(shù)，得到n個數(shù)，其中最小數(shù)為x；再取每列的最小數(shù)，也得到n個數(shù)，其中最大數(shù)為y。試比較x和y的大小。六、有序化當(dāng)我們研究的對象是一些數(shù)的時候，我們常常將這些數(shù)排一個次序，即將它們有序化。有序化的假設(shè)，實際上是給題目增加了一個可供使用的條件。9將10到40之間的質(zhì)數(shù)填入下圖的圓圈中，使得3組由“”所連的4個數(shù)的和相等，如果把和數(shù)相等的填法看做同一類填法，請說明一共有多少類填法？并畫圖表示你的填法。10有四個互不相等的數(shù)，取其中兩個數(shù)相加，可以得到六個和：24，28，30，32，34，38。求此四數(shù)。11互不相等的12個自然數(shù)，它們均小于36。有人說，在這些自然數(shù)兩兩相減（大減?。┧玫降牟钪?，至少有3個相等。你認為這種說法對嗎？為什么？12有8個重量各不相同的物品，每個物品的重量都是整克數(shù)且都不超過15克。想以最少的次數(shù)用天平稱出其中最重的物品。他用了如下的測定法：（1）把8個物品分成2組，每組4個，比較這2組的輕重；（2）把以上2組中較重的4個再分成2組，即每組2個，再比較它們的輕重；（3）把以上2組中較重的分成各1個，取出較重的1個。稱了3次天平都沒有平衡，最后便得到一個物品?？墒菍嶋H上得到的是這8個物品當(dāng)中從重到輕排在第5的物品。問：找出的這個物品有多重？并求出第二輕的物品重多少克？課后練習(xí)1.育才小學(xué)40名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競賽，用15分記分制（即分數(shù)為0，1，2，15）。全班總分為209分，且相同分數(shù)的學(xué)生不超過5人。試說明得分超過12分的學(xué)生至多有9人。2.今有一角紙幣、二角紙幣、五角紙幣各1張，一元幣4張，五元幣2張，用這些紙幣任意付款，一共可以付出多少種不同數(shù)額的款項？3.求在8和98之間（不包括8和98），分母為3的所有最簡分數(shù)的和。4.如右圖，四邊形ABCD的面積為3，E，F(xiàn)為邊AB的三等分點，M，N是CD邊上的三等分點。求四邊形EFNM的面積。5.直線上分布著xx個點，我們標(biāo)出以這些點為端點的一切可能線段的中點。問：至少可以得到多少個互不重合的中點？6.假定100個人中的每一個人都知道一個消息，而且這100個消息都不相同。為了使所有的人都知道一切消息，他們一共至少要打多少個電話？7.有4個互不相等的自然數(shù)，將它們兩兩相加，可以得到6個不同的和，其中較小的4個和是64，66，68，70。求這4個數(shù)。8.有五個砝碼，其中任何四個砝碼都可以分成重量相等的兩組。問：這五個砝碼的重量相等嗎？為什么？課后練習(xí)答案1.若得分超過12分的學(xué)生至少有10人，則全班的總分至少有5（12+13）+5（0+1+2+3+4+5）=210（分），大于條件209分，產(chǎn)生了矛盾，故得分超過12分的學(xué)生至多有9人。2.119種。解：從最低幣值1角到最高幣值14元8角，共148個不同的幣值。再從中剔除那些不能由這些紙幣構(gòu)成的幣值。經(jīng)計算，應(yīng)該剔除的幣值為（i+0.4）元（i=0，1，2，14）及（j+0.9）元（j=1，2，3，13），一共29種幣值。所以，一共可以付出148-29=119（種）不同的幣值。3.9540。=2（8+9+97）+（97-8+1）=9540。4.1。解：先考慮ABCD是長方形的特殊情況，顯然此時EFNM的面積是1。下面就一般情況求解。連結(jié)AC，AM，F(xiàn)M，CF，則5.3993個。解：為了使計算互不重復(fù)，我們?nèi)【嚯x最遠的兩點A，B。先計算以A為左端點的所有線段，除B外有1996條，這些線段的中點有1996個，它們互不重合，且到點A的距離小于AB長度的一半。同樣，以B為右端點的所有線段，除A外有1996條，這些線段的中點有1996個，它們互不重合，且到點A的距離小于AB長度的一半。這兩類中點不會重合，加上AB的中點共有1996+1996+1=3993（個），即互不重合的中點不少于3993個。另一方面，當(dāng)這xx個點中每兩個相鄰點的間隔都相等時，不重合的中點數(shù)恰為3993。這說明，互不重合的中點數(shù)至少為3993個。6.198個。解：考慮一種特殊的通話過程：先由99人每人打一個電話給A，A再給99人每人打一個電話，這樣一共打了198個電話，而且每人都知道了所有的消息。下面我們說明這是次數(shù)最少的?？紤]一種能使所有人知道一切消息的通話過程中的關(guān)鍵性的一次通話，這次通話后，有一個接話人A知道了所有的消息，而在此之前還沒有人知道所有的消息。除了A以外的99人每人在這個關(guān)鍵性的通話前，必須打出電話一次，否則A不可能知道所有的消息；又這99人每人在這個關(guān)鍵性的通話后，又至少收到一個電話，否則它們不可能知道所有的消息。7.30，34，36，38或31，33，35，39。解：設(shè)4個數(shù)為a，b，c，d，且abcd，則6個和為a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d。于是有a+ba+ca+db+dc+d和a+ba+cb+cb+dc+d。分別解這兩個方程組，得8.相等。解：設(shè)這五個砝碼的重量依次為abcde。去掉e，則有a+d=b+c； 去掉d，則有a+e=b+c。 比較，得d=e。去掉a，則有b+e=c+b； 去掉b，則有a+e=c+d。 比較，得a=b。將a=b代入得c=d，將d=e代入得b=c。所以e=b=c=d=e。例題答案：1分析：最高的得分為50分，最低的得分為0分。但并不是從0分到50分都能得到。從正面考慮計算量較大，故我們從反面考慮，先計算有多少種分數(shù)達不到，然后排除達不到的分數(shù)就可以了。解：最高的得分為50分，最低的得分為0分。在從0分到50分這51個分數(shù)中，有49，48，47，44，43，39這6種分數(shù)是不能達到的，故此次測驗不同的分數(shù)至多有51-6=45（種）。2分析：從條件“若按每排4人編隊，則最后差3人”的反面來考慮，可理解為“若按每排4人編隊，則最后多1人”。同理，按3人、2人排隊都可理解為多1人。即總?cè)藬?shù)被12除余1。這樣一來，原題就化為：一個5的倍數(shù)大于1000，且它被12除余1。問：這個數(shù)最小是多少？解：是5的倍數(shù)且除以12余1的最小自然數(shù)是25。因為人數(shù)超過1000，3，4，5=60，所以最少有25+6017=1045（人）。3解：將八邊形的8個頂點上的數(shù)依次記為a1，a2，a3，a8，則有S=a1+a2+a3+a8=1+2+3+8=36。假設(shè)任意3個相鄰頂點上的數(shù)都大于13，因為頂點上的數(shù)都是整數(shù)，所以a1+a2+a314；a2+a3+a414；a7+a8+a114；a8+a1+a214。將以上 8個不等式相加，得3S112，從而 S 37，這與S=36矛盾。故結(jié)論是否定的。4解：假設(shè)這個數(shù)為A，它是自然數(shù)a的平方。因為A的各位數(shù)字之和888是3的倍數(shù)，所以a也應(yīng)是3的倍數(shù)。于是a的平方是9的倍數(shù)，但888不是9的倍數(shù)，這樣就產(chǎn)生了矛盾，從而A不可能是平方數(shù)。5. 分析：我們先考慮正方形EFGH的特殊位置，即它的各邊與正方形ABCD的各邊對應(yīng)平行的情況（見上圖）。此時，顯然有得出答案后，這個問題還得回到一般情況下去解決，解決的方法是將一般情況變成特殊情況。解：自E向AB和AD分別作垂線EN和EM（右圖），則有S=SPME+S四邊形AMEQ又SPME=SEQN，故 S=SEQN+S四邊形AMEQ =S正方形AMEN 6. 分析與解：先考慮一種特殊的圖形：圍棋盤。它有38條直線、361個交點。我們就從這種特殊的圖形出發(fā)，然后進行局部的調(diào)整。先加上2條對角線，這樣就有40條直線了，但交點仍然是361個。再將最右邊的1條直線向右平移1段，正好增加了4個交點（見上圖）。于是，我們就得到了有365個交點的40條直線。7. 分析：從這8個數(shù)都相等的特殊情況入手，它們滿足題目條件，從而得所求值為0。這就啟發(fā)我們?nèi)フf明a+b+c+d=e+f+g+h。解：由已知得3a=b+e+d，3b=a+c+f，3c=b+d+g，3d=a+c+h，推知3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h，a+b+c+d=e+f+g+h，（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0。8. 分析：先討論n=3的情況，任取兩表：1 37123256456894789左上表中x=6，y=4；右上表中x=3，y=3。兩個表都滿足xy，所以可以猜想xy。解：設(shè)x是第i行第j列的數(shù)aij，y是第l行第m列的數(shù)alm?？紤]x所在的行與y所在的列交叉的那個數(shù)，即第i行第m列的數(shù)aim。顯然有aijaimalm，當(dāng)i=l，j=m時等號成立，所以xy。9. 解：10到40之間的8個質(zhì)數(shù)是11，13，17，19，23，29，31，37。根據(jù)題目要求，除去最左邊和最右邊的2個質(zhì)數(shù)之外，剩下的6個質(zhì)數(shù)在同一行的2個質(zhì)數(shù)的和應(yīng)分別相等，等于這6個數(shù)中最小數(shù)（記為a）與最大數(shù)（記為b）之和a+b。根據(jù)a，b的大小可分為6種情況：當(dāng)a=11，b=29時，無解；當(dāng)a=11，b=31時，有11+31=13+29=19+23，得到如下填法：當(dāng)a=11，b=37時，有11+37=17+31=19+29，得到如下填法：當(dāng)a=13，b=31時，無解；當(dāng)a=13， b=37時，無解；當(dāng)a=17，b=37時，無解。所以，共有2類填法。10. 解：設(shè)四個數(shù)為a，b，c，d，且abcd，則六個和為a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d，其中a+b最小，a+c次小，c+d最大，b+d次大，a+d與b+c位第三和第四。分別解這兩個方程組，得11.解：設(shè)這12個自然數(shù)從小到大依次為a1，a2，a3，a12，且它們兩兩相減最多只有2個差相等，那么差為1，2，3，4，5的都最多只有2個。從而a12-a11，a11-a10，a10-a9，a2-a1，這11個差之和至少為2（1+2+3+4+5）+6=36，但這11個差之和等于a12-a136。這一矛盾說明，兩兩相減的差中，至少有3個相等。12.解：設(shè)這8個物品的重量從重到輕依次排列為：15a1a2a3a4a5a6a7a81。找出的這個物品重量為a5，第二輕的物品重量為a7。由于a5加上一個比它輕的物品不可能大于兩個比a5重的物品重量之和，因而第一次必須篩去3個比a5重的物品。這樣就有以下四種可能：先考慮第一種情況。根據(jù)式，a4比a1至少輕3克，a5比a2，a6比a3也都至少輕3克，則a7比a8至少重 10克。根據(jù)式，a5比a4至少輕1克，則a6比a7至少重 18克。與已知矛盾，第一種情況不可能出現(xiàn)。按同樣的推理方法，可以說明第二種和第三種情況也不可能出現(xiàn)。最后，考慮第四種情況。a1比a2至少重1克；a5比a3，a6比a4都至少輕1克，則a7比a8至少重4克。根據(jù)式，a5比a4至少輕4克，則a6比a7至少重5克。這樣得到的這8個物品的重量分別為：a1=15克， a2=14克， a3=13克， a4=12克，a5=11克， a6=10克， a7=5克， a8=1克。因此，找出的這個物品重11克，第二輕的物品重5克。