2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料立體圖形，空間向量一. 直線,平面之間的平行與垂直的證明方法1運用定義證明(有時要用反證法); 2運用平行關系證明; 3運用垂直關系證明; 4建立空間直角坐標系,運用空間向量證明.例如,在證明:直線直線時.可以這樣考慮(1)運用定義證明直線與所成的角為; (2)運用三垂線定理或其逆定理;(3)運用“若平面,則”; (4)運用“若且,則”;(5)建立空間直角坐標系,證明.二. 空間中的角和距離的計算1求異面直線所成的角(1)(平移法)過P作,則與的夾角就是與的夾角;(2)證明(或),則與的夾角為(或);(3)求與所成的角(),再化為異面直線與所成的角().2,求直線與平面所成的角(1) (定義法)若直線在平面內(nèi)的射影是直線,則與的夾角就是與的夾角;(2) 證明(或),則與的夾角為(或);(3) 求與的法向量所成的角,則與所成的角為或.3求二面角(1) (直接計算)在二面角的半平面內(nèi)任取一點,過P作AB的垂線,交AB于C,再過P作的垂線,垂足為D,連結(jié)CD,則,故為所求的二面角.(2) (面積射影定理)設二面角的大小為(),平面內(nèi)一個平面圖形F的面積為,F在內(nèi)的射影圖形的面積為,則.(當為鈍角時取“”).(3) (異面直線上兩點的距離公式):,其中是二面角的平面角,EA在半平面內(nèi)且于點A,BF在半平面內(nèi)且FBAB于B,而,.(4) (三面角的余弦定理),三面角中,又二面角,則.(5)(法向量法)平面的法向量與平面的法向量所成的角為,則所求的二面角為 (同類)或(異類).4.求兩點A,B間距離(1)構造三角形進行計算; (2),導面直線上兩點間的距離公式; (3),求.5.求點到直線的距離(1)構造三角形進行計算; (2)轉(zhuǎn)化為求兩平行紅色之間的距離.6.求點到平面的距離(1)直接計算從點到平面所引垂線段的長度; (2)轉(zhuǎn)化為求平行線面間的距離或平行平面間的距離; (3) (體積法)轉(zhuǎn)化為求一個棱錐的高,其中V為棱錐體積,S為底面面積,為底面上的高.(4)在平面上取一點A,求與平面的法向量的夾角的余弦,則點P到平面的距離為.7.求異面直線的距離(1)(定義法)求異面直線公垂線段的長; (2)(體積法)轉(zhuǎn)化為求幾何體的高; (3)(轉(zhuǎn)化法)轉(zhuǎn)化為求平行線面間的距離或平行平面間的距離; (4)(最值法)構造異面直線上兩點間距離的函數(shù),然后求函數(shù)的最小值; (5)(射影法)如果兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影分別是一個點P和一條直線,則與的距離等于P到的距離; (6)(公式法).8.求平行的線線,線面,面面之間的距離的方法,通常是轉(zhuǎn)化為求點與線或點與面之間的距離.三.多面體與旋轉(zhuǎn)體1.柱體(棱柱和圓柱)(1)側(cè)面積(為直截面周長,為側(cè)棱或母線長)(2)體積(為底面積,為高)2.錐體(棱錐與圓錐)(1)正棱錐的側(cè)面積(為底面周長,為斜高)(2)圓錐的側(cè)面積:(為底面周長,為母線長)(3)錐體的體積:(為底面面積,為高).3.錐體的平行于底面的截面性質(zhì):.4.球的表面積:; 球的體積:.四.解題思想與方法導引1.空間想象能力; 2.數(shù)形結(jié)合能力; 3.平幾與立幾間的相互轉(zhuǎn)化; 4.向量法例題講解1正四面體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為( )A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:92由曲線,圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為;滿足,的點組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為,則( )ABCDA, B, C, D,3如右圖,底面半徑,被過A,D兩點的傾斜平面所截,截面是離心 率為的橢圓,若圓柱母線截后最短處,則截面以下部分的幾何體體積是( )A, B, C, D,4在四面體ABCD中,設,直線AB與CD的距離為2,夾角為,則四 面體ABCD的體積等于( )A, B, C, D,5三個圓柱側(cè)面兩兩相切,且它們的軸也兩兩相互垂直,如果每個圓柱底面半徑都是1, 那么,與這三個圓柱側(cè)面都相切的最小球的半徑是( )A, B, C, D,6四面體ABCD的頂點為A,B,C,D,其6條棱的中點為,共10個 點,任取4個點,則這4個點不共面的概率是( ) A, B, C, D,7正方體的棱長為,則異面直線C與BD間的距離等于 .8正四棱錐中,二面角為且,(, 為整數(shù)),則 .9在正三棱錐中,過A作平面分別交平面PBC于DE.當截面 的周長最小時, ,P到截面ADE的距離為 .10空間四個球,它們的半徑分別是2,2,3,3.每個球都與其他三個球外切.另一個小球與這 四個球都相切,則這個小球的半徑等于 .11三個的正方形都被連接兩條鄰邊的中點的直線分成A,B兩AB 片,如圖,把這六片粘在一個正六邊形的外面,然后折成多面體,則這個多面體的體積為 .12直三棱柱中,平面平面,且= ,則AC與平面所成的角的取值范圍是 .ABCA1B1C113如圖,直三棱柱中,連接, ,若,求證:ABCDMKNS14如圖,設是一個高為3,底面邊長為2的正四棱錐, K是棱SC的中點,過AK作平面與線段SB,SD分別交于M,N(M,N可以是線段的端點).試求四棱錐的體積V的最大值與最小值.15有一個的長方體盒子,另有一個的長方體盒子, 其中均為正整數(shù)(),并且前者的體積是后者一半,求的最大值.課后練習1甲烷分子由一個碳原子和四個氫原子組成,其空間構型為一正四面體,碳原子位于該正四面體的中心,四個氫原子分別位于該正四面體的四個頂點上.若將碳原子和氫原子均視為一個點(體積忽略不計),且已知碳原子與每個氫原子間的距離都為,則以四個氫原子為頂點的這個正四面體的體積為( )A, B, C, D,2夾在兩個平行平面之間的球,圓柱,圓錐在這兩個平面上的射影都是圓,則它們的體積之比為( )A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33設二面角的大小是,P是二面角內(nèi)的一點,P點到的距離分別為1cm,2cm,則點P到棱的距離是( )A, B, C, D,ABCDEF4如圖,E,F分別是正三棱錐ABCD的棱AB,BC的中點,且DEEF.若BC=,則此正三棱錐的體積是( )A, B,C, D,5棱長為的正八面體的外接球的體積是( )A, B, C, D,6若線段AB的兩端點到平面的距離都等于2,則線段AB所在的直線和平面 的位置關系是 .7若異面直線所原角為,AB是公垂線,E,F分別是異面直線上到A,B距離為2和平共處的兩點,當時,線段AB的長為 .8如圖(1),在直四棱柱中,當?shù)酌嫠倪呅螡M足條件 時,有C(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)ABCDABCD圖(1)ABENM圖(2)CDF9如圖(2),是一個正方體的展開圖,在原正方體中,有下列命題:AB與EF所連直線平行; AB與CD所在直線異面;MN與BF所在直線成; MN與CD所在直線互相垂直.其中正確命題的序號為 .(將所有正確的都寫出)10如圖,在中,AB=AC=13,BC=10,DE/BC分別交AB,AC于D,E.將沿 DE折起來使得A到,且為的二面角,求到直線BC的最小距離.ABOCDEOA11如圖,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)問BC邊上是否存在點Q使得PQQD?并說明理由;(2)若邊上有且只有一個點Q,使得PQQD,求這時二面角Q的正切.ABCDPQ課后習題答案1過頂點A,V與高作一截面交BC于點M,點O為正四面體的中心,為底面ABC的中心,設正四面體VABC的棱長為,則AM=VM,=,得在中,即,得.則,有.選B.溫馨提示:正四面體外接球的半徑:內(nèi)切球的半徑=.2 ,選B.3設PA棱于點A,PM平面于點M,PN平面于點N,PA=,則,得,有或(舍去),所以,選B.4由DEEF,EF/AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.由對稱性得,于是.,選B.5可由兩個相同的四棱錐底面重合而成,有,得,外接球的體積,選D.6當時,AB/;當時,AB/或AB;當時,AB/或與斜交.7由,得(1)當時,有,得;(2)當時,有,得.8 ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)9將展開的平面圖形還原為正方體,可得只,正確.10解:設的高AO交DE于點,令,由AO=,有,在中,有得.當時,到直線BC的最小距離為6.11解:(1)(如圖)以A為原點建立空間直角坐標系,設,則Q,P(0,0,1),D得,由,有,得 若方程有解,必為正數(shù)解,且小于.由,得.(i)當時,BC上存在點Q,使PQQD;(ii)當時, BC上不存在點Q,使PQQD.(2)要使BC邊上有且只有一個點Q,使PQQD,則方程有兩個相等的實根,這時,得,有.又平面APD的法向量,設平面PQD的法向量為而,由,得,解得有,則,則所以二面角的正切為.例題答案：1,B 設棱長為,外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為,則解得,有:R=1:3.2,C 設,則過A的兩個截面都是圓環(huán),面積分別是和 ,于是.3,B 在橢圓中,又,得,所求的體積4,B 過C作,以為底面,BC為側(cè)棱作棱柱,則所求四面體的體 積等于上述棱柱體積的,而的面積,AB與CD 的公垂線MN就是棱柱的高,于是= ,因此.5,A 三個圓柱的軸為三條兩兩垂直的異面直線,而異面直線的距離都為2,則所求球的半徑為 .6,D .7, 設E是上的點,過E作EH于H,所以EH面ABCD,過H在面ABCD內(nèi)作HF,連接EF,所以EFBD,令,所以EF=.8,5 因各側(cè)面為全等的等腰三角形.在內(nèi)作高AE,則CE也是的高,故 .設則,=.,得.9, ; 將三棱錐的側(cè)棱PA剪開,當?shù)闹荛L最小時,其展開圖如圖ABCDEAP的周長即是展開圖中線段的長.易證,又PA=2AB=,故,.中,DE上的高.于是; 從P向底面作高PO.則PO=.于是.又,得.設P到截面的距離ABCDEFO為,則,于是.10, 設半徑為3的球心為A,B,半徑為2的球心為C,D.則易知AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.設小球中心為O,半徑為,則O在四面體ABCD內(nèi)且AO=BO=3+,CO=DO=2+.取AB中點E,連結(jié)CE,DE,則CEAB,DEAB,故平面CDE為線段AB的垂直平分面,所以O在平面CDE內(nèi),又由OC=OD=2+知O在CD的垂直平分面內(nèi),故O在等腰底邊CD上的高EF上(F為CD中點),易算出ED=EC=,得為等邊三角形.于是EF=.而=.OE=,代入OE+OF=EF=2得,解得.11,864 將幾何體補成一個棱長為12的正方體,幾何體的體積為正方體體積的一半,為.12, 作AD于D,易證AD平面,所以.設,則,故.易證BC平面,故,從而,即,于是,又,得.13,證明:設D,分別為AB,的中點.連結(jié)CD,及,.因為,所以四邊形為平行四邊形,得/.因AC=BC,于是.又D, 分別為AB,的中點,故CDAB,而在平面ABC(或)內(nèi)的射影為AB(或),得CD,又已知,所以平面B,從而,又/,所以.又,得平面CD,從而得證.ABCA1B1C1SHH114,解:為了建立V與原四棱錐的關系.我們先引用下面的事實:(如圖)設分別在三棱錐的側(cè)棱SA,SB,SC上,又與的體積分別是和V,則.事實上,設C,在平面SAB的射影分別是H,.則,又,所以.下面回到原題.設,因的體積為.于是由上面的事實有.得=,于是,而由,得.則,().又得.所以(1)當時,V為減函數(shù),(2)當時,V為增函數(shù).所以得,又,得.15,解:由題意,得.(1)當時,由,則,矛盾!(2)當時,矛盾!(3)當時,則,即.所以的最大值為130;(4)當時,則,即.所以的最大值為54;(5)當時,得.綜上所述:的最大值為130.