專題 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 【考情分析】 1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念 2.能進行弧度與角度的互化 3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切 )的定義. 【重點知識梳理】 知識點一 角的概念 1角的定義 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形 2角的分類 角的分類Error! 3終邊相同的角 所有與角 終邊相同的角，連同角 在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合：S |k360，k Z或 |2k，k Z 知識點二 弧度制及應(yīng)用 1弧度制的定義 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角，弧度記作 rad. 2弧度制下的有關(guān)公式 角 的弧度數(shù)公式 | (弧長用 l 表示) lr 角度與弧度的換算 1 rad；1 rad 180 (180) 弧長公式 弧長 l| |r 扇形面積公式 S lr |r2 12 12 知識點三 任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 設(shè) 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點 P(x，y)，那么 定義 叫做 的正弦，記作y sin 叫做 的余弦，x 記作 cos 叫做 的正切，記 yx 作 tan 各象 限符 號 三角函數(shù)線 有向線段 MP 為正弦線 有向線段 OM 為余弦線 有向線段 AT 為正切線 【典型題分析】 高頻考點一 象限角的判斷 【例 1】（2020新課標(biāo)）若 為第四象限角，則（ ） A. cos20 B. cos20 D. sin20 【答案】D 【解析】當(dāng) 時， ，選項 B 錯誤；當(dāng) 時，6 cos2033 ，選項 A 錯誤；由 在第四象限可得： ，則 2cos03 sin0,cos ，選項 C 錯誤，選項 D 正確；inicos 【方法技巧】象限角的兩種判斷方法 圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角； 轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為 k360(0 360，kZ)的形式，即找出與已知角終邊相同的角 ， 再由角 終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角 【變式探究】 （2020吉林省遼源市實驗中學(xué)模擬）設(shè) 是第三象限角，且 cos ，則 是()| cos 2| 2 2 A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 【答案】B 【解析】 是第三象限角， 2k 2k，k Z， 32 k k ，k Z， 2 2 34 的終邊落在第二、四象限， 2 又 cos ，cos 0，| cos 2| 2 2 是第二象限角 2 高頻考點二扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用 【例 2】 （2020北京 101 中學(xué)模擬）已知一扇形的圓心角為 ，半徑為 R，弧長為 l. (1)若 60，R 10 cm，求扇形的弧長 l； (2)已知扇形的周長為 10 cm，面積是 4 cm2，求扇形的圓心角； (3)若扇形周長為 20 cm，當(dāng)扇形的圓心角 為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ 【解析】(1)60 rad， 3 所以 l R 10 (cm) 3 103 (2)由題意得Error! Error!(舍去 )或Error! 故扇形圓心角為 rad. 12 (3)由已知得 l2R 20， 所以 S lR (202R )R10RR 2(R5) 225， 12 12 所以當(dāng) R5 cm 時，S 取得最大值 25 cm2， 此時 l10 cm， 2 rad. 【方法技巧】 (1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度 (2)求扇形面積的最大值時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決 (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形 【變式探究】 （2020 湖南衡陽八中模擬）已知扇形弧長為 20 cm，圓心角為 100，則該扇形的面積 為 cm2. 【答案】 360 【解析】由弧長公式 l| r， 得 r ， 20100 180 36 所以 S 扇形 lr 20 . 12 12 36 360 高頻考點三 三角函數(shù)的概念 【例 3】(2018浙江卷)已知角 的頂點與原點 O 重合，始邊與 x 軸的非負半軸重合，它的終邊過點 P .( 35， 45) (1)求 sin()的值； (2)若角 滿足 sin( ) ，求 cos 的值。 513 【解析】(1)由角 的終邊過點 P ，( 35， 45) 得 sin . 45 所以 sin() sin . 45 (2)由角 的終邊過點 P ，( 35， 45) 得 cos . 35 由 sin() ，得 cos() . 513 1213 由 ( )， 得 cos cos()cos sin()sin ， 所以 cos 或 cos . 5665 1665 【方法技巧】三角函數(shù)定義解題的技巧 (1)已知角 終邊上一點 P 的坐標(biāo)，可求角 的三角函數(shù)值先求點 P 到原點的距離，再用三角函數(shù) 的定義求解 (2)已知角 的某三角函數(shù)值，可求角 終邊上一點 P 的坐標(biāo)中的參數(shù)值，根據(jù)定義中的兩個量列方程 求參數(shù)值 (3)已知角 的終邊所在的直線方程或角 的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角 終邊上某特定點的坐 標(biāo) (4)已知一角的三角函數(shù)值(sin ，cos ，tan ) 中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位 置，二者的交集即為該角的終邊位置注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況 【變式探究】(2017北京卷)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角 與角 均以 Ox 為始邊，它們的終邊關(guān)于 y 軸對稱若 sin ，則 sin _。 13 【解析】 (1)方法一當(dāng)角 的終邊在第一象限時，取角 終邊上一點 P1(2 ，1)，其關(guān)于 y 軸的對稱2 點(2 ，1) 在角 的終邊上，此時 sin ；當(dāng)角 的終邊在第二象限時，取角 終邊上一點2 13 P2( 2 ，1) ，其關(guān)于 y 軸的對稱點(2 ，1)在角 的終邊上，此時 sin .綜合可得 sin .2 2 13 13 方法二令角 與角 均在區(qū)間 (0，)內(nèi)，故角 與角 互補，得 sin sin . 13 【答案】 13 高頻考點四 三角函數(shù)線的應(yīng)用 【例 4】(2018北京卷)在平面坐標(biāo)系中， ， ， ， 是圓 x2y 21 上的四段弧(如圖)，點 P 在其中AB CD EF GH 一段上，角 以 Ox 為始邊，OP 為終邊，若 tan cos sin ，則 P 所在的圓弧是() A BAB CD C DEF GH 【答案】C 【解析】當(dāng)點 P 在 或 上時，由三角函數(shù)線易知，sin tan ，不符合題意；當(dāng)點 P 在 上時，AB CD GH tan 0，sin 0，不符合題意；進一步可驗證，只有點 P 在 上時才滿足條件。EF 【方法技巧】利用三角函數(shù)線求解三角不等式的方法 對于較為簡單的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數(shù)線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態(tài)，注意 實線與虛線)，再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解集 【變式探究】 （2020江蘇省啟東中學(xué)模擬）若 ，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察 sin ，cos 34 2 ，tan 的大小是() Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin cos 【答案】C 【解析】如圖，作出角 的正弦線 MP， 余弦線 OM，正切線 AT， 觀察可知 sin cos tan .