精品資源歡迎下載課題： 3.1.2用二分法求方程的近似解教學目標：知識與技能 通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方 程近似解的常用方法，從中體會函數與方程之間的聯系及其在實際問題中的應用.過程與方法 能借助計算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數學思想，為 學習算法做準備.情感、態(tài)度、價值觀體會數學逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一.教學重點：重點 通過用二分法求方程的近似解，體會函數的零點與方程根之間的聯系，初步形成用函數觀點處理問題的意識.難點 恰當地使用信息技術工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解.教學程序與環(huán)節(jié)設計:由二分查找及高次多項式方程的求問題引入.二分法的意義、算法思想及方法步驟.體會函數零點的意義，明確二分法的適用范圍.二分法的算法思想及方法步驟，初步應用二分法 解決簡單問題.二分法應用于實際.1 .二分法為什么可以逼近零點的再分析；2 .追尋阿貝爾和伽羅瓦.教學過程與操作設計環(huán)節(jié)教學內容設計師生雙邊互動材料一：二分查找(binary-search)(第六屆全國青少年信息學(計算機)奧林匹克分區(qū)聯賽提高組初賽試題第15題)某數列有1000個各不相同的單兀，由低至高按序排列；現要對該 數列進行二分法檢索(binary-search ),在最壞的情況 下，需檢索()個單元。A. 1000 B. 10 C. 100 D. 500二分法檢索(二分查找或折半查找)逋底.師：從學生感興趣的計 算機編程問題，引導學 生分析二分法的算法 思想與方法，引入課 題.生：體會二分查找的思創(chuàng)材料二：高次多項式方程公式解的探索史料 由于實際問題的需要，我們經常需要尋求函數想與方法.設情境y=f(X)的零點(即f(X)=0的根)，對于f(X)為 一次或二次函數，我們有熟知的公式解法 (二次時， 稱為求根公式).在十六世紀，已找到了三次和四次函數的求根 公式，但對于高于 4次的函數，類似的努力卻一直 沒有成功，到了十九世紀，根據阿貝爾(Abel)和伽羅瓦(Galois)的研究，人們認識到高于4次的代數方程不存在求根公式，亦即，不存在用四則運 算及根號表示的一般的公式解.同時，即使對于3次和4次的代數方程，其公式解的表示也相當復雜， 一般來講并不適宜作具體計算.因此對于高次多項 式函數及其它的一些函數，有必要尋求具零點的近 似解的方法，這是一個在計算數學中十分重要的課 題.師：從高次代數方程的 解的探索歷程，引導學 生認識引入二分法的 意義.組織探究二分法及步驟：對于在區(qū)間a, b上連續(xù)不斷，且滿足f (a) f (b) <0的函數y= f(x),通過不斷地把 函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的 兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方 法叫做二分法.給定精度 8，用二分法求函數f(x)的零點近師：闡述二分法的逼近 原理，引導學生理解二 分法的算法思想，明確 二分法求函數近似零 點的具體步驟.似值的步驟如下：1 .確定區(qū)間a , b,驗證 f (a) f (b) <0, 給定精度8；2 .求區(qū)間(a , b)的中點x1；3 .計算 f (x1)：分析條件“ f (a) f (b) <0“精度名”、“區(qū)間中 點”及“ |ab|<名" 的意義.環(huán)節(jié)呈現教學材料師生互動設計C1若f （Xi） = 0 ,則Xi就是函數的零點；生：結合引例“二分查C2 若 f(a)f(X)<0,則令 b：=X1 （此時零找”理解二分法的算法點 X0 匚(a, xi);思想與計算原理.C3 若 f(Xi) f (b)<0,則令 a：=X1 （此時零點 Xo w（Xi，b）；師：引導學生分析理解4.判斷是否達到精度 名；求區(qū)間（a , b）的中點即若|a b卜:名，則得到零點零點值a (或 b )；a + b否則重復步驟24.的方法X1.2例題解析：師：引導學生利用二分例1.求函數f（X）=X3+X 2x 2的一個法逐步尋求函數零點正數零點（精確到0.1 ).的近似值，注意規(guī)范方分析：首先利用函數性質或借助計算機、計算法、步驟與書寫格式.器畫出函數圖象，確定函數零點大致所在的區(qū)間，然后利用二分法逐步計算解答.生：根據二分法的思想組用牛：3旬.與步驟獨立完成解答，注息：并進行交流、討論、評Art。第一步確定零點所在的大致區(qū)間(a , b),析.織可利用函數性質，也可借助計算機或計算器，但盡探量取端點為整數的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通?？纱_定一個長度為1的區(qū)間；究CD建議列表樣式如下：零點所在區(qū)間中點函數值區(qū)間長度1, 2f(1.5)>01師：引導學生應用函數 單調性確定方程解的1, 1.5f(1.25) <00.51.25, 1.5f (1.375) <00.25個數.如此列表的優(yōu)勢：計算步數明確，區(qū)間長度小于精度時，即為計算的最后一步.生：認真思考，運用所例2.借助計算器或計算機用二分法求方程學知識尋求確定方程2X +3x = 7的近似解（精確到 0.1）.解的個數的方法，并進解：（略）.行、討論、交流、歸納、概括、評析形成結論.思考：本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數？結論：圖象在閉區(qū)間a , b上連續(xù)的單調函數 f(X),在(a,b）上至多"-個零點.環(huán)節(jié)呈現教學材料師生互動設計探 究 與 發(fā) 現1)函數零點的性質從“數”的角度看：即是使 f(x)=0的實數；從“形”的角度看：即是函數f(x)的圖象與x 軸交點的橫坐標；若函數f (x)的圖象在x = %處與x軸相切， 則零點通常稱為小變號零點；若函數f (x)的圖象在 x = %處與x軸相交， 則零點小通常稱為變號零點.2)用二分法求函數的變號零點二分法的條件f(a) f(b)<0表明用二分法 求函數的近似零點都是指變號零點.師：引導學生從“數” 和“形”兩個角度去體 會函數零點的意義， 掌 握常見函數零點的求 法，明確二分法的適用 范圍.嘗 試 練 習1)教材P106練習1、2題；2)教材P108習題3. 1 (A組)第1、2題；3)求方程log3 x+x = 3的解的個數及其大 致所在區(qū)間；V 24)求方程0.9x-一x=0的實數解的個數；215)探究 函數y = 0.3x與函數y = log0.3 x的 圖象后無交點，如后交點，求出交點，或 給出一個與交點距離不超過0.1的點.作 業(yè) 回 饋1)教材P108習題3. 1 (A組)第36題、(B 組)第4題；2)提高作業(yè)：Q已知函數2f (x) =2(m +1)x +4mx + 2m -1 .(1) m為何值時，函數的圖象與 x軸后兩個 交點？(2)如果函數的一個零點在原點，求m的值.借助于計算機或計算器，用二分法求函數-，、3-，f(x) =x 2的零點(精確到0.01 )； 用二分法求知3的近似值(精確到 0.01).環(huán)節(jié)呈現教學材料師生互動設計課 外 活 動查找有美系資料或利用internet查找有美高次代數方程的解的研究史料，追尋阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois）,增強探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.收獲與體會說說方程的根與函數的零點的關系，并給出判定方程在某個區(qū)間存在根的基本步驟，及方程根的個數的判定方法；談談通過學習求函數的零點和求方程的近似解，對數學有了哪些新的認識？