單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,*,第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系與向量的概念,一、空間直角坐標(biāo)系,二、向量的概念及其線性運(yùn)算,三、向量的坐標(biāo)表示,,1.,空間直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)面:在空間直角坐標(biāo)系中,每?jī)奢S所確定的平面稱為,坐標(biāo)平面,,簡(jiǎn)稱,坐標(biāo)面,.,面,面,面,一、空間直角坐標(biāo)系,,在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)與三元數(shù)組之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.,,各卦限中點(diǎn)的坐標(biāo)情況:,,2.兩點(diǎn)間的距離,,例1,已知兩點(diǎn) 與 ,在 軸上求一點(diǎn) ,,,使,解,因?yàn)? 在 軸上,所以設(shè) 點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題設(shè) ,得,解得,所求點(diǎn) 為,,1.向量的概念,向量的模:向量的大小(有向線段的長(zhǎng)度),,,記作 , ,,,單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,記為,0,或,向量的表示: 或,,或,二、向量的概念及其線性運(yùn)算,,2.向量的線性運(yùn)算,(1),向量的加法,b,a,a+b,a,b,a+b,d,a,b,c,a,+,b,+,c,+,d,,向量的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律:,（,1,）,,（,2,）,（,3,）,（,4,）,,(2)數(shù)與向量的乘積(數(shù)乘向量),定義2,設(shè) 是一個(gè)非零向量, 是一個(gè)非零實(shí)數(shù),則,,與 的乘積仍是一個(gè)向量,記作 ,且,,①,②,,數(shù)與向量的乘積滿足下列運(yùn)算規(guī)律:,（,1,）,,（,2,）,,（,3,）,,（,4,）,,,1.向徑及其坐標(biāo)表示,,向徑,:在空間直角坐標(biāo)系中,起點(diǎn)在原點(diǎn) ,終點(diǎn)為 的向量 稱為點(diǎn) 的向徑.記為 或,基本單位向量:,稱上式為向量 的坐標(biāo)表達(dá)式,記作,三、向量的坐標(biāo)表示,,2.向量 的坐標(biāo)表示式,,3.向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式,,,4.向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示,,例2,設(shè) ,求 的方向余弦.,解,,,例3,設(shè)向量 的兩個(gè)方向余弦為,,,又 ,求向量 的坐標(biāo).,解,由 得,,所以,即,或,,第二節(jié) 向量的數(shù)量積與向量積,,一、向量的數(shù)量積,,二、向量的向量積,,一、向量的數(shù)量積,,1.數(shù)量積的概念,,,定義1,兩向量 的模及其夾角余弦的乘積，稱為向量的數(shù)量積,記為,,,即,,說(shuō)明:,(1)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量而不是向量；,(3),(2)兩非零向量,,夾角的余弦,(4)設(shè),,為兩個(gè)非零向量,由定義1,有,,,數(shù)量積滿足如下運(yùn)算規(guī)律：,(1)交換律：,,(2)結(jié)合律：,,(其中 為常數(shù)),,(3)分配律：,,另外,由(2)(3)可得,,2.數(shù)量積的坐標(biāo)表示式,,,３.兩非零向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式,,設(shè) 均為非零向量,由兩向量的數(shù)量積定義可知,,解,,例1,已知,,求,,例2,設(shè)力,,作用在一質(zhì)點(diǎn)上,質(zhì)點(diǎn)由 沿直線移動(dòng)到,,.求,:(1)力 所作的功;,,(2)力,,與位移 的夾角(力的單位為 ,位移的單位為,,).,,解,因?yàn)?,又因?yàn)?,所以,,所以,力,,所作的功,(,J,),,例3,求在 坐標(biāo)面上與向量,,垂直的單位向量,,解,設(shè)所求向量為 ,因?yàn)樗? 坐標(biāo)面上,所以 ,又因?yàn)?,是單位向量且與,,垂直,所以,即,,解之得,,故所求向量,或,,,二、向量的向量積,1.向量積的概念,,,定義2 兩向量 的向量積定義為,記作,;,其中,,是同時(shí)垂直于,,和 的單位向量,其方向按從,,到 的右手規(guī)則確定.,,說(shuō)明:,(1)兩向量的向量積是一個(gè)向量而不是數(shù);,(4),(2),,的模等于以,,為鄰邊的平行四邊形的面積,(3)設(shè),,為兩個(gè)非零向量,則,a,∥,b,,向量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律:,,(1) 反交換律：,,(2) 結(jié)合律:,,(其中 為常數(shù)),,(3) 分配律:,,,2.向量積的坐標(biāo)表示式,,,a,∥,對(duì)于兩個(gè)非零向量,,解,,例4 設(shè) 求,,,例5,求垂直于 和 的單位向量.,,解,因?yàn)? 同時(shí)垂直 和 ,所以,,,=,=,例6,已知三角形 的頂點(diǎn)是,,,求三角形的面積.,解,根據(jù)向量積的定義,可知三角形 的面積,,第三節(jié) 平面與直線,一、平面的方程,二、直線的方程,三、平面、直線的位置關(guān)系,,,,,1．平面的點(diǎn)法式方程,法向量,,因?yàn)?,所以有,,該方程稱為平面 的,點(diǎn)法式方程,,,一、平面的方程,,解,由平面方程的點(diǎn)法式得所求平面方程為,例1,求過(guò)點(diǎn),,且垂直于向量,的平面方程,即,,且和平面,,例2,求過(guò)點(diǎn),,垂直的平面方程．,,解,因?yàn)? 在該平面上,已知平面的法向量,故,,所求平面的法向量 與向量 和 都垂直,,即,,由公式得該平面的方程為,,,例3,求過(guò)點(diǎn) 和 三點(diǎn)的平面方程,,故,,解,所求平面的法向量 與向量 和 都垂直，而,,由公式 得該平面方程為,,即,,從平面的點(diǎn)法式方程得,令,該方程稱為平面的,一般式方程.,則,———,①,2．平面的一般式方程,,①,—,②,得,它表示過(guò)點(diǎn) 且以 為法向量的平面,可見(jiàn)，任一三元一次方程①（ 不全為零）都表示一個(gè)平面.系數(shù) 為平面法向量的坐標(biāo),設(shè) 是其任一組解，即,———,②,,,平面通過(guò)原點(diǎn)(圖9.16),,圖,9.16,(2)當(dāng) 時(shí)，,,圖9.17,,方程 的特殊情況:,(,1)當(dāng) 時(shí)，,,該平面平行于 軸（圖9.17）,,,圖,9.18,(3)當(dāng) 時(shí),,,表示的平面通過(guò) 軸(圖9.18),,同理,方程,,分別表示平行于 軸和 軸的平面;,,分別表示通過(guò),,軸和,,軸的平面.,,(4)當(dāng),,時(shí),，,圖,9.19,當(dāng) 時(shí),,該平面平行于 坐標(biāo)面(圖9.19),,它表示 坐標(biāo)面,,同理，方程 和 分別表示平行 面和 面的平面;方程 和 分別表示 面和 面.,方程為,,,,代入原方程并化簡(jiǎn),得所求平面方程為,例4,求通過(guò) 軸和點(diǎn) 的平面方程.,解,因平面通過(guò),,軸,由以上討論,可設(shè)其方程為,,又點(diǎn) 在平面上,因此,即,,解,設(shè)所求平面方程為,,例5,一平面經(jīng)過(guò) 三點(diǎn)，求此平面的方程.,,又因,,三點(diǎn)都在平面上,所以有,,后兩個(gè)方程分別減去第一個(gè)方程,得,,所以,,代入第一個(gè)方程得,即,因?yàn)?,不能同時(shí)為零,所以,,,于是有,即得所求平面方程為,,,3．平面的截距式方程,,解此方程組得,,,,,設(shè)一平面過(guò)三點(diǎn) (圖9.20),求此平面方程．,,圖9.20,,設(shè)平面方程為 ，,因?yàn)?,三點(diǎn)在該平面上,所以有,,,即得所求平面方程為,,,此方程稱為平面的,截距式方程,,其中,,分別稱為平面在,,軸、,,軸、,,軸上的截距.,,代入所設(shè)方程(因平面不過(guò)原點(diǎn),,),得,,解,方程兩邊同除以5,得平面的截距式方程為,,其中,,例6,將平面 化為截距式方程．,,得,,由,,1．直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程,方向向量:,向向量為,,,它的一個(gè)方,,,已知直線,L,上任意一點(diǎn),求直線,L,的方程（圖9.21）．,,圖9.21,二、直線的方程,,所以由兩向量平行的充要條件可知,,,此方程組稱為直線的,點(diǎn)向式方程,（或稱,標(biāo)準(zhǔn)方程,）,,,設(shè)點(diǎn),,為直線,L,上任意一點(diǎn)則點(diǎn) 在直線 上的充要條件是,∥,因?yàn)?注：,當(dāng) 中有一個(gè)或兩個(gè)為零時(shí)，就理解為相應(yīng)的分子也為零．,,記其比值為,t,,則有,,此式稱為直線,L,的,參數(shù)方程,，,t,為參數(shù)．,,例7,求過(guò)點(diǎn),的直線方程．,方向向量,,故所求直線的方程為,,上式也稱為直線的,兩點(diǎn)式方程,．,,解,,解,因所求直線平行于兩平面.故直線的方向向量,s,垂直于兩平面的法向量 及,例8,求過(guò)點(diǎn) 且平行于兩平面 及,,的直線方程.,所以取,,因此,所求直線方程為,即,,,2．直線的一般方程,,設(shè)平面 的方程分別為：,,,則兩個(gè)平面 的交線,L,的方程為,,,,此方程稱直線的,一般方程,．,,,例10,將直線方程,,化為點(diǎn)向式方程及參數(shù)方程．,,解,先求直線上的一點(diǎn),不妨令 ,代入原方程組得,,解得,，即點(diǎn) 在直線上,,再求該直線的一個(gè)方向向量,,因?yàn)? 分別垂直于,平面,及,的法向量,,所以可取,,所以直線的點(diǎn)向式方程為,,,令上式為,,,可得已知直線的參數(shù)方程為,,,1．平面與平面的位置關(guān)系,,兩平面的夾角:兩平面法向量的夾角(通常取銳角).,法向量,,三、平面、直線的位置關(guān)系,,因此 與 的夾角的余弦為：,,特別地,,∥,∥,,例11,求兩平面,,的夾角．,兩平面的法向量分別為,,所以兩平面的夾角的余弦為,,所以兩平面夾角,,解,,2．直線與直線的位置關(guān)系,,兩直線的夾角:兩直線方向向量的夾角(取銳角).,方向向量,,因此 與 的夾角的余弦為,,∥,∥,,例12,求直線,,和直線,,的夾角．,的方向向量分別為,解,則兩直線 與 的夾角的余弦為,,所以兩直線的夾角,,,3．直線與平面的位置關(guān)系,,直線與平面的夾角:直線和它在平面上的投影直線的夾角,,設(shè)直線 與平面 的垂直線的夾角為 ，與 的夾角為 ,則 .求直線與平面夾角．,,設(shè)直線 的方向向量為,,,平面,的法向量為,,由兩向量夾角的余弦公式,有,,∥,,∥,,例13,已知直線,和平面,,求 與 的夾角．,,的方向向量為,,解,,與 的垂線的夾角 的余弦為,因此， 與 的夾角,,,第四節(jié) 曲面與空間曲線,一、曲面方程的概念,二、旋轉(zhuǎn)曲面,三、幾種常見(jiàn)的二次曲面,四、空間曲線,,定義:如果曲面 上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程,,而不在曲面 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程,則稱方程,,為曲面 的方程,而稱曲面,,為此方程的圖形.,圖9.23,一、曲面方程的概念,,圖9.24,例1,建立球心在點(diǎn) ,半徑為 的球面方程.,解,設(shè) 是球面上的任一點(diǎn),則,而,所以,這就是球心在點(diǎn) ,,,半徑為 的球面方程.,當(dāng) 時(shí),得球心在原點(diǎn),半徑為 的球面方程為,,柱面:直線 沿定曲線 平行移動(dòng)所形成的曲面稱為,柱面,.定曲線 稱為柱面的,準(zhǔn)線,,動(dòng)直線 稱為柱面的,母線,.,,例2,建立母線平行于 軸的柱面方程.,圖9.26,解,設(shè)準(zhǔn)線 是 面上的一條曲線,,,是柱面上的任意一點(diǎn).過(guò)點(diǎn) 的母線與 面的交點(diǎn) 一定在準(zhǔn)線 上,點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,不論點(diǎn) 的豎坐標(biāo) 取何值,它的橫,,坐標(biāo) 和縱坐標(biāo) 都滿足方程,,,因此所求柱面方程為,,在空間直角坐標(biāo)系中,方程 表示以 面上的曲線 為準(zhǔn)線,母線平行于 軸的柱面.,類似地,方程 表示以 面上的曲線,,為準(zhǔn)線,母線平行于 軸的柱面.,方程 表示以 面上的曲線,,為準(zhǔn)線,母線平行于 軸的柱面.,,用 面和 面去截曲面,其截痕為,,它們都是雙曲線.,,也表示單葉雙曲面,中心軸分別是 軸、 軸.,,旋轉(zhuǎn)曲面:平面曲線 繞同一平面上定直線 旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.定直線 稱為,旋轉(zhuǎn)軸,.,圖9.31,二、旋轉(zhuǎn)曲面,,例3,建立 面上一條曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.,因?yàn)?所以,又因?yàn)? 在曲線 上,所以,解,設(shè) 為旋轉(zhuǎn)曲面上任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn) 作平面垂直于 軸,交 軸于點(diǎn) 交曲線 于點(diǎn) 則,所以旋轉(zhuǎn)曲面方程為,,同理,曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為,面上的曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為,面上的曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為,,例4,將 坐標(biāo)面上的直線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程.,解,將 保持不變, 換成 得,即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為,圖9.32,由上時(shí)表示的曲面稱為圓錐面.點(diǎn) 稱為圓錐的頂點(diǎn).,,二次曲面:在空間直角坐標(biāo)系中,若 是二次方程,則它的圖形稱為,二次曲面,.,截痕法:用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面,求得一系列的交線,對(duì)這些交線進(jìn)行分析從而把握曲面的輪廓特征,這種方法稱為,截痕法,.,,三、幾種常見(jiàn)的曲面,,1.橢球面,,用三個(gè)坐標(biāo)面分別去截橢球面,交線為:,圖9.33,這些交線都是橢圓.,,用平行于 面的平面 截橢球面,交線為,是平面 上的橢圓.,用平行其它兩個(gè)坐標(biāo)面的平面去截橢球面,分析的結(jié)果類似.,,,2.單葉雙曲面,,用三個(gè)坐標(biāo)面截曲面,所得截線分別為,,圖9.34,,3.雙葉雙曲面,,圖9.35,用 和 面截曲面,所得截線分別為,它們都是以 軸為實(shí)軸,虛軸分別為 軸和 軸的雙曲線.,,,用平行于 面的平面 截曲面,得,當(dāng) 時(shí),其截痕是一橢圓;,,當(dāng) 時(shí),其截痕縮為一點(diǎn) 和 ;,當(dāng) 時(shí),沒(méi)有圖形.,也表示雙葉雙曲面.,,4.橢圓拋物面,圖9.36,用 和 面截曲面,所得截線分別為,它們都是開(kāi)口向上的拋物線.,,,用平面 截曲面,得,當(dāng) 時(shí),沒(méi)有圖形;,當(dāng) 時(shí),相交于一點(diǎn) ;,當(dāng) 時(shí),所得截線為,,,5.雙曲拋物面,,用三個(gè)坐標(biāo)面截曲面,所得截線分別為,,它們分別表示兩條相交直線、開(kāi)口向上的拋物線和開(kāi)口向下的拋物線.,圖9.37,,用平行于 和 面的平面 和 截曲面,所得截線分別為,用平行于 面的平面 截曲面,所得截線為,,1.空間曲線的一般方程,四、空間曲線,,例5,下列方程組表示什么曲線？,(1),,(2),,解,(1) 是球心在原點(diǎn),半徑為5的球面. 是平行于 面的平面,它們的交線是在平面 上的圓,,(2)方程 表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn) ,半徑為 的上半球面;方程 表示母線平行于 軸的圓柱面,方程組表示上半球面與圓柱面的交線.,,圖9.39,,2.空間曲線的參數(shù)方程,,( 為參數(shù)),例6,設(shè)空間一動(dòng)點(diǎn) 在圓柱面 上以角速度 繞 軸旋轉(zhuǎn),同時(shí)又以線速度 沿平行于 軸的正方向上升(其中 都是常數(shù)),則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡叫做螺旋線,試求其參數(shù)方程.,,則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程即螺旋線的參數(shù)方程為:,圖9.40,如果令 ,以 為參數(shù), 則螺旋線的參數(shù)方程為,其中 ．,,解,取時(shí)間 為參數(shù),設(shè) 時(shí),動(dòng)點(diǎn)在 處,經(jīng)過(guò)時(shí)間 ,動(dòng)點(diǎn)由 運(yùn)動(dòng)到,,3.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,設(shè)空間曲線 的一般方程為,消去 ,得,,稱為曲線 關(guān)于 面的,投影柱面,.,,它與 面的交線就是空間曲線在 面上的,投影曲線,,簡(jiǎn)稱,投影,,其方程為,,同理,分別消去 和 ,得到 和 ,則曲線 在 和 面上的投影曲線方程分別為,,圖9.41,,,例7,求曲線,在 面上的投影曲線方程.,解,從曲線 的方程中消去 得,曲線 在 面上的投影曲線,,方程為,,