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變換和操作（A） 年級(jí) 班 姓名 得分 一、填空題 1. 黑板上寫著8,9,10,11,12,13,14七個(gè)數(shù),每次任意擦去兩個(gè)數(shù),再寫上這兩個(gè)數(shù)的和減1.例如,擦掉9和13,要寫上21.經(jīng)過(guò)幾次后,黑板上就會(huì)只剩下一個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)是_____. 2. 口袋里裝有99張小紙片,上面分別寫著1~99.從袋中任意摸出若干張小紙片,然后算出這些紙片上各數(shù)的和,再將這個(gè)和的后兩位數(shù)寫在一張新紙片上放入袋中.經(jīng)過(guò)若干次這樣的操作后,袋中還剩下一張紙片,這張紙片上的數(shù)是_____. 3. 用1~10十個(gè)數(shù)隨意排成一排.如果相鄰兩個(gè)數(shù)中,前面的大于后面的,就將它們變換位置.如此操作直到前面的數(shù)都小于后面的數(shù)為止.已知10在這列數(shù)中的第6位,那么最少要實(shí)行_____次交換.最多要實(shí)行_____次交換. 4. 一個(gè)自然數(shù),把它的各位數(shù)字加起來(lái)得到一個(gè)新數(shù),稱為一次變換,例如自然數(shù)5636,各位數(shù)字之和為5+6+3+6=20,對(duì)20再作這樣的變換得2+0=2.可以證明進(jìn)行這種變換的最后結(jié)果是將這個(gè)自然數(shù),變成一個(gè)一位數(shù). 對(duì)數(shù)123456789101112…272829作連續(xù)變換，最終得到的一位數(shù)是_____. 5. 5個(gè)自然數(shù)和為100,對(duì)這5個(gè)自然數(shù)進(jìn)行如下變換,找出一個(gè)最小數(shù)加上2,找出一個(gè)最大數(shù)減2.連續(xù)進(jìn)行這種變換,直至5個(gè)數(shù)不發(fā)生變化為止,最后的5個(gè)數(shù)可能是_____. 6. 在黑板上寫兩個(gè)不同的自然數(shù),擦去較大數(shù),換成這兩個(gè)數(shù)的差,我們稱之為一次變換.比如(15,40),40-15=25,擦去40,寫上25,兩個(gè)數(shù)變成(15,25),對(duì)得到的兩個(gè)數(shù)仍然可以繼續(xù)作這樣的變換,直到兩個(gè)數(shù)變得相同為止,比如對(duì)(15,40)作這樣的連續(xù)變換: (15,40) (15,25) (15,10) (5,10) (5,5). 對(duì)(1024,111…1)作這樣的連續(xù)變換，最后得到的兩個(gè)相同的 20個(gè)1 數(shù)是_____. 7. 在一塊長(zhǎng)黑板上寫著450位數(shù)123456789123456789…（將123456789重復(fù)50次）.刪去這個(gè)數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字:再刪去所得的數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字:再刪去…，并如此一直刪下去.最后刪去的數(shù)字是_____. 8. 將100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)字串,依次完成以下五項(xiàng)工作叫做一次操作: ① 將左邊第一個(gè)數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊； ② 從左到右兩位一節(jié)組成若干這兩位數(shù)； ③ 劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)； ④ 所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保留左邊的一個(gè)，其余劃去； ⑤ 所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個(gè)新的數(shù)字串。 經(jīng)過(guò)1997次操作，所得的數(shù)字串是_____. 9. 一個(gè)三角形全涂上黑色,每次進(jìn)行一次操作,即把全黑三角形分成四個(gè)全等的小三角形,中間的小正三角形涂上白色,經(jīng)過(guò)5次操作后,黑色部分是整個(gè)三角形的_____. (1) (2) 10. 口袋里裝著分別寫有1,2,3,…，135的紅色卡片各一 張，從口袋里任意摸出若干張卡片，并算出這若干張卡片上各數(shù)的和除以17的余數(shù)，再把這個(gè)余數(shù)寫在另一張黃色的卡片上放回口袋內(nèi).經(jīng)過(guò)若干次這樣的操作后，口袋內(nèi)還剩下兩張紅色卡片和一張黃色卡片.已知這兩張紅色卡片上寫的數(shù)分別是19和97.那么這張黃色卡片上寫的數(shù)是_____. 二、解答題 11．請(qǐng)說(shuō)明例1中，對(duì)1980的連續(xù)變換中一定會(huì)出現(xiàn)重復(fù).對(duì)其它的數(shù)作連續(xù)變換是不是也會(huì)如此? 12. 將33方格紙的每一個(gè)方格添上奇數(shù)或偶數(shù),然后進(jìn)行如下操作:將每個(gè)方格里的數(shù)換成與它有公共邊的幾個(gè)方格里的數(shù)的和,問(wèn)是否可以經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的操作,使得所有九個(gè)方格里的數(shù)都變成偶數(shù)?如果可以,需要幾次? 13. 在左下圖中,對(duì)任意相鄰的上下或左右兩格中的數(shù)字同時(shí)加1或減1算作一次操作,經(jīng)過(guò)若干次操作后變?yōu)橄聢D.問(wèn):下圖A格中的數(shù)字是幾?為什么? 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 14. 在19971997的方形棋盤上每格都裝有一盞燈和一個(gè)按鈕,按鈕每按一次,與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態(tài),即由亮變不亮,不亮變亮.如果原來(lái)每盞燈都是不亮的,請(qǐng)說(shuō)明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮? ———————————————答 案—————————————————————— 1. 71 所剩之?dāng)?shù)等于原來(lái)的七個(gè)數(shù)之和減6,故這個(gè)數(shù)是(8+9+10+11+12+13+14)-6=71. 2. 50 每次操作都不改變袋中所有數(shù)之和除以100的余數(shù),所以最后一張紙片上的數(shù)等于1~99的和除以100的余數(shù). (1+2+…+99)100=100 =4950100 =49100+50 故這張紙片上的數(shù)是50. 3. 4次；40次. 當(dāng)排列順序?yàn)?,2,3,4,5,10,6,7,8,9時(shí),交換次數(shù)最少,需交換4次；當(dāng)排列順序?yàn)?，8，7，6，5，10，4，3，2，1時(shí)，交換次數(shù)最多，需交換40次. 4. 3 一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9除的余數(shù),如果這個(gè)整數(shù)不是9的倍數(shù),就可以根據(jù)這一點(diǎn)來(lái)確定題目要求的一位數(shù). (1+2+…+9)3+110+210被9除余3，可見(jiàn)最終得到的一位數(shù)是3. 5. 20,20,20,20,20,或19,20,20,20,21 或19,19,20,21, 21. 仿例2，5個(gè)數(shù)的差距會(huì)越來(lái)越小，最后最大與最小數(shù)最多差2.最終的5個(gè)數(shù)可能是20，20，20，20，20，或者19，20，20，20，21或19，19，20，21，21. 6. 1 變換中的兩個(gè)數(shù),它們的最大公約數(shù)始終末變,是后得到的兩個(gè)相同的數(shù)即為它們的最大公約數(shù).因?yàn)?024=210,而11…1 20個(gè)1 沒(méi)有質(zhì)因子2，它們是互質(zhì)的.所以最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)是1. 7. 4 事實(shí)上,在第一次刪節(jié)之后.留下的皆為原數(shù)中處于偶數(shù)位 置上的數(shù)；在第二次刪節(jié)之后，留下的數(shù)在原數(shù)中所處的位置可被4整除；如此等等.于是在第八次刪節(jié)之后,原數(shù)中只留下處于第28k=256k號(hào)位置上的數(shù),這樣的數(shù)在所給的450位數(shù)中只有一個(gè),即第256位數(shù).由于256=928+4,所以該數(shù)處于第29組“123456789”中的第4個(gè)位置上.即為4. 8. 1731 第1次操作得數(shù)字串711131131737； 第2次操作得數(shù)字串11133173； 第3次操作得數(shù)字串111731； 第4次操作得數(shù)字串1173； 第5次操作得數(shù)字串1731第6次操作得數(shù)字串7311； 第7次操作得數(shù)字串3117； 第8次操作得數(shù)字串1173； 以下以4為周期循環(huán)，即4k次操作均為1173. 1996=4499,所以第1996次操作得數(shù)字串1173,因此第1997次操作得數(shù)字串1731. 9. 每一次黑三角形個(gè)數(shù)為整個(gè)的,所以5次變換為= 10. 3 卡片上的數(shù)字之和除以17的余數(shù)始終不變. (1+2+3+…+135)17=918017=540. (19+97)17=11617=6……14， 因?yàn)辄S色卡片上的數(shù)都小于17，所以黃色卡片上的數(shù)是17-14=3. 11. 對(duì)1980的連續(xù)變換中,每個(gè)數(shù)都不大于1980+1991=3971,所以在3971步之內(nèi)必定會(huì)出現(xiàn)重復(fù),對(duì)其它的數(shù)作連續(xù)變換也會(huì)如此. 12. 如圖,用字母a,b,c,d,e,f,g,h,I代表9個(gè)方格內(nèi)的數(shù)字,0代表偶數(shù). a b c b+d a+e+c b+f g+c b+h a+i d e f a+e+g d+b+h+f c+e+i d+f 0 d+f g h i d+h g+e+i h+f a+i b+h g+c d+f+b+h g+c+a+i b+h+d+f 0 0 0 g+c+a+i 0 g+c+a+i 0 0 0 d+f+b+h a+I+g+c b+h+d+f 0 0 0 可見(jiàn)經(jīng)過(guò)四次操作后,所有九個(gè)方格中的數(shù)全變?yōu)榕紨?shù). 13. 每次操作都是在相鄰的兩格,我們將相鄰的兩格染上不同的顏色(如右下圖),因?yàn)槊看尾僮骺偸且粋€(gè)黑格與一個(gè)白格同時(shí)加1或減1,所以無(wú)論進(jìn)行多少次操作,白格內(nèi)的數(shù)字之和減去黑格內(nèi)的數(shù)字之和總是常數(shù).由原題左圖知這個(gè)常數(shù)是8,再由原題右圖可得(A+7)-8=8,由此解得A=9. 14. 1997次 將第一列中的每一格都按一次,則除第一列外,每格的燈都只改變一次狀態(tài),由不亮變亮.而第一列每格的燈都改變1997次狀態(tài),由不亮變亮. 如果少于1997次,則至少有一列和至少有一行沒(méi)有被按過(guò),位于這一列和這一行相交處的燈保持原狀,即不亮的狀態(tài).