理學院,極限存在準則,兩個重要極限,小結,第六節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限,第一章 函數(shù)與極限,1.,夾逼準則,證,準則,滿足下列條件,:,一、極限存在準則,極限存在準則 兩個重要極限,如果數(shù)列,那末數(shù)列,的極限存在,且,n,n,n,z,y,x,及,上兩式同時成立,上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到,函數(shù),的極限,.,極限存在準則 兩個重要極限,稱為,如果,那末,存在,且等于,A,.,夾逼準則,.,有,準則,和,例,解,由,夾逼準則,得,極限存在準則 兩個重要極限,注,利用夾逼準則是求極限的一個重要手段,將,復雜的函數(shù),f,(,x,),做適當?shù)姆糯蠛涂s小化簡,找出有共同極限值又容易求極限的函數(shù),g,(,x,),和,h,(,x,),即可,.,極限存在準則 兩個重要極限,2.,單調(diào)有界準則,單調(diào)增加,單調(diào)減少,單調(diào)數(shù)列,幾何解釋,:,單調(diào)有界,數(shù)列必有極限,.,單調(diào)有界,有極限,有界,極限存在準則 兩個重要極限,例,證,極限存在,.,顯然,(1),是,單調(diào)增加的,;,(2),極限存在準則 兩個重要極限,是,有界的,;,存在,.,(,舍去,),(3),極限存在,.,解得,極限存在準則 兩個重要極限,(1),作為準則,的應用,極限存在準則 兩個重要極限,二、兩個重要極限,即,夾逼定理,該,極限的特點,:,極限存在準則 兩個重要極限,例,極限存在準則 兩個重要極限,解,由于,以及,夾逼定理,極限存在準則 兩個重要極限,.,lim,0,n,n,n,n,n,n,x,c,b,a,x,c,b,a,+,+,=,求,設,n,x,例,(2),作為準則,的應用,現(xiàn)證明數(shù)列,x,n,單調(diào)增加,按,牛頓二項公式,有,且,有界,.,極限存在準則 兩個重要極限,類似地,顯然,極限存在準則 兩個重要極限,單調(diào)增加,;,無理數(shù),單調(diào)有界數(shù)列必有極限,極限存在準則 兩個重要極限,有界,;,當,x,取實數(shù)趨向 或 時,因此,中的底就是這個常數(shù),從而,的極限都存在且等于,函數(shù),可證明,指數(shù)函數(shù),以及自然對數(shù),極限存在準則 兩個重要極限,“以,1,加非零無窮小為底,指數(shù)是無窮小的,倒數(shù),其極限為數(shù),e,”,.,該,極限的特點,:,(2),括號中,1,后的變量,(,包括符號,),與冪互為倒數(shù),.,注,若,極限呈,但第二個特點不具備,通常,湊,指數(shù)冪使,(2),成立,.,這個重要極限應靈活的記為,:,則,極限存在準則 兩個重要極限,一般有,例,極限存在準則 兩個重要極限,例,例,解,原,式,=,極限存在準則 兩個重要極限,2.,兩個重要極限,夾逼準則,;,單調(diào)有界準則,.,極限存在準則 兩個重要極限,三、小結,1.,極限存在準則,=,sin,lim,1,