Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第四節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn),一、曲線的凹凸性,二、曲線的拐點(diǎn),對(duì)于任意的 ，曲線弧,y,=,f,(,x,)過(guò)點(diǎn) 的切線總位于曲線弧,y=f,(,x,)的下方，則稱曲線弧,y=f,(,x,)在,a,b,上為,凹,的.,定義,設(shè)函數(shù),f,(,x,)在,a,b,上連續(xù)，在(,a,b,)內(nèi)可導(dǎo).,(2)若對(duì)于任意的 ，曲線弧,y,=,f,(,x,)過(guò)點(diǎn) 的切線總位于曲線弧,y=f,(,x,)的上方，則稱曲線弧,y=f,(,x,)在,a,b,上為,凸,的.,一、,曲線的凹凸性,如果,y=f,(,x,)在(,a,b,)內(nèi)二階可導(dǎo)，則可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定曲線的凹凸性.,定理(曲線凹凸的判定法),設(shè)函數(shù),y=f,(,x,)在,a,b,上連續(xù)，在(,a,b,)內(nèi)二階可導(dǎo).,(1)若在(,a,b,)內(nèi) ，則曲線弧,y=f,(,x,)在,a,b,上為凹的.,(2)若在(,a,b,)內(nèi) ，則曲線弧,y=f,(,x,)在,a,b,上為凸的.,判定曲線弧,y=x,arctan,x,的凹凸性.,故,y=x,arctan,x,在 內(nèi)為凹的.,例1,所給曲線在 內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于,解,判定曲線弧 的凹凸性.,因此當(dāng),x,0時(shí)，可知曲線弧 為凹的.,例2,所給曲線在 內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于,解,定義,連續(xù)曲線弧上的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)，稱為該曲線弧的,拐點(diǎn),.,二、曲線的拐點(diǎn),試判定點(diǎn),M,(0,0)是否為下列曲線弧的拐點(diǎn).,例3,分析,從而知點(diǎn)(0,0)為曲線弧 的拐點(diǎn).,(1)在,f,(,x,)所定義的區(qū)間內(nèi)，求出二階導(dǎo)數(shù) 等于零的點(diǎn).,(2)求出二階導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn).,判斷連續(xù)曲線弧拐點(diǎn)的步驟：,(3)判定上述點(diǎn)兩側(cè)，是否異號(hào).如果 在 的兩側(cè)異號(hào)，則 為曲線弧的,y=f,(,x,)的拐點(diǎn).如果 在 的兩側(cè)同號(hào)，則 不為曲線弧,y=f,(,x,)的拐點(diǎn).,討論曲線弧 的凹凸性，并求其拐點(diǎn).,x,1,(1,2),2,+,0,0,+,y,凹,拐點(diǎn),(1,3),凸,拐點(diǎn),(2,6),凹,例4,所給函數(shù),內(nèi)連續(xù).,解,可知所給曲線弧在 內(nèi)為凹的.在(1,2)為凸的.,拐點(diǎn)為點(diǎn)(1,3)與點(diǎn)(2,6).,討論曲線 的凹凸性，并求其拐點(diǎn).,例5,所給函數(shù),內(nèi)為連續(xù)函數(shù).,解,0,+,不存在,+,y,凸,拐點(diǎn),凹,非拐點(diǎn),凹,可知所給曲線在 為凸的.,在 內(nèi)為凹的.,