單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,微積分課后答案第2章(復旦大學版),n,(1),lim,2 2 2,=0,；,x,n,1,x,n n,),0,(,n,1)(2,n,),n n,n n n,(,x,n,(,x,n,2,2 2 2 2 2 4,0,，,lim,1 3 1 3,x,n,2,),1 1 1,n,n,(,n,1)(2,n,),(2),lim,n,2,n,!,=0.,證：（,1,）因為,1 1 1 1,n,1,n,n,2,2 2 2 2 2 2,而且,1,2,lim,n,2,n,n,0,，,所以由夾逼定理，得,n,n,（,2,）,因為,0,n,!,1 2 3,n,1,n,n,4,，而且,lim,n,n,0,，,所以，由夾逼定理得,2,n,lim,n,n,!,0,5.,利用單調(diào)有界數(shù)列收斂準則證明下列數(shù)列的極限存在,.,(1),x,1,0,x,n,+1,=,1,3,2,x,n,),，,n,=1,2,；,(2),x,1,=,2,x,n,+1,2,x,n,n,=1,2,；,(3),設,x,n,單調(diào)遞增，,y,n,單調(diào)遞減，且,lim,(,x,n,-,y,n,)=0,證明,x,n,和,y,n,的極限均存在,.,n,1,3,2,x,n,證：（,1,）由,x,1,0,及,x,n,),知，有,x,n,0,（,n,1,2,）即數(shù)列,x,n,有下界。,1,3,1,(,x,n,2,x,n,2,x,n,2,3,x,n,3,又,x,n,1,(,n,1,2,),(,x,2,x,n,2,x,n,即,x,n,1,x,n,所以,x,n,為單調(diào)遞減有下界的數(shù)列，故,x,n,有極限。,（,2,）因為,x,1,2,2,，不妨設,x,k,2,，則,此文檔由天天,learn,（）為您收集整理。,x,k,1,2,x,k,2 2,2,故有對于任意正整數(shù),n,，有,x,n,2,，即數(shù)列,x,n,有上界，,2,天天,learn,（）為您提供大學各個學科的課后答案、視頻教程在線瀏覽及下載。,2,又,x,n,1,x,n,x,n,(2,x,n,),，而,x,n,0,x,n,2,，,所以,x,n,1,x,n,0,即,x,n,1,x,n,，,n,即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。,綜上所述，數(shù)列,x,n,是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故其極限存在。,（,3,）由數(shù)列,x,n,單調(diào)遞增，,y,n,單調(diào)遞減得,x,n,x,1,，,y,n,y,1,。,又由,lim(,x,n,y,n,),0,知數(shù)列,x,n,y,n,有界，于是存在,M,0,，使,x,n,y,n,M,由,x,n,y,n,M,及,y,n,1,得，,x,n,y,n,M,y,1,M,，,由,x,n,y,n,M,及,x,n,x,1,得，,y,n,x,n,M,x,1,M,，,于是，數(shù)列,x,n,是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，,y,n,是單調(diào)遞減有下界的數(shù)列，所以它,們的極限均存在。,習題,2-2,1.,證明：,lim,f,(,x,)=,a,的充要條件是,f,(,x,),在,x,0,處的左、右極限均存在且都等于,a,.,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,0,1,0,當,0,x,0,x,1,時，有,f,(,x,),a,，,2,0,當,0,x,x,0,2,時，有,f,(,x,),a,。,取,min,1,2,，則當,0,x,0,x,或,0,x,x,0,時，有,f,(,x,),a,，,而,0,x,0,x,或,0,x,x,0,就是,0,x,x,0,，,于是,0,0,，當,0,x,x,0,時，有,f,(,x,),a,，,所以,lim,f,(,x,),a,.,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,由,0,x,x,0,就 是,0,x,0,x,或,0,x,x,0,，于 是,0,0,，當,此文檔由天天,learn,（）為您收集整理。,3,天天,learn,（）為您提供大學各個學科的課后答案、視頻教程在線瀏覽及下載。,3,lim,f,(,x,),lim,f,(,x,),a,lim,f,(,x,),lim(,x,2,a,),lim(,x,2,a,),a,，,所以,0,x,x,x,x,0,綜上所述，,lim,f,(,x,)=,a,的充要條件是,f,(,x,),在,x,0,處的左、右極限均存在且都等于,a,.,x,x,0,2.,證明：若,lim,f,(,x,)=,a,則,lim,f,(,x,)=|,a|,.,并舉例說明該命題之逆命題不真,.,x,x,0,x,x,0,x,x,0,0,0,，當,0,x,x,0,時，,f,(,x,),a,，而,f,(,x,),a,f,(,x,),a,，,于是,0,0,，當,0,x,x,0,時，有,f,(,x,),a,f,(,x,),a,由函數(shù)極限的定義知,lim,f,(,x,),a,。,x,x,0,例,f,(,x,),sin,x,，,lim,sin,x,1,，而,lim,sin,x,1,3,3,2,2,故逆命題不真。,1,x,0,1,x,2,x,0,2,2,x,0,1 1,x,x,x,0,f,(,x,),lim,x,0,x,0,x,0,由（,1,）知,x,0,x,0,x,0,x,0,x,0,此文檔由天天,learn,（）為您收集整理。,0,x,0,x,或,0,x,x,0,時，有,f,(,x,),a,.,1,lim,f,(,x,),lim e,x,0,所以，當,a,0,時，,lim,f,(,x,),存在。,x,0,4.,利用極限的幾何意義說明,lim,sin,x,不存在,.,x,解：因為當,x,時，,sin,x,的值在,-1,與,1,之間來回振擺動，即,sin,x,不無限接近某一,定直線,y,A,，亦即,y,f,(,x,),不以直線,y,A,為漸近線，所以,lim sin,x,不存在。,x,4,天天,learn,（）為您提供大學各個學科的課后答案、視頻教程在線瀏覽及下載。,4,（,5,）,錯誤，例如當,x,0,時，,與,(,),0,不,f,(2,k,+),(2,k,+)sin(2,k,+),2,k,+,sin,x,tan,x,cos,x,（當,x,0,時，,解：例,1,：當,x,0,時，,tan,x,sin,x,都是無窮小量，但由,cos,x,1,）不是無窮大量，也不是無窮小量。,例,2,：當,x,時，,2,x,與,x,都是無窮大量，但,2,x,x,2,不是,無窮大量，也不是無窮,小量。,是無窮大量，也不是無窮小量。,2.,判斷下列命題是否正確：,(1),無窮小量與無窮小量的商一定是無窮小量；,(2),有界函數(shù)與無窮小量之積為無窮小量；,(3),有界函數(shù)與無窮大量之積為無窮大量；,(4),有限個無窮小量之和為無窮小量；,(5),有限個無窮大量之和為無窮大量；,(6),y,=,x,sin,x,在,(-,，,+),內(nèi)無界，但,lim,x,sin,x,；,x,(7),無窮大量的倒數(shù)都是無窮小量；,(8),無窮小量的倒數(shù)都是無窮大量,.,解：（,1,）錯誤，如第,1,題例,1,；,（,2,）正確，見教材,2.3,定理,3,；,（,3,）錯誤，例當,x,0,時，,cot,x,為無窮大量，,sin,x,是有界函數(shù)，,cot,x,sin,x,cos,x,不是無窮大量；,（,4,）正確，見教材,2.3,定理,2,；,1,x,1,x,都是無窮大量，但它們之和,1,1,x,x,是無窮大量；,2,（,6,）,正 確，因 為,M,0,，,正,整 數(shù),k,，,使,2,k,+,M,，從,而,2 2 2 2,M,，即,y,x,sin,x,在,(,),內(nèi)無界，,此文檔由天天,learn,（）為您收集整理。,習題,2-3,1.,舉例說明：在某極限過程中，兩個無窮小量之商、兩個無窮大量之商、無窮小量與,無窮大量之積,都不一定是無窮小量，也不一定是無窮大量,.,又,M,0,，無論,X,多么大，總存在正整數(shù),k,，使,k,X,，使,f,(2,k,),k,sin(,k,),0,M,，,即,x,時，,x,sin,x,不無限增大，即,lim,x,sin,x,；,x,（,7,）正確，見教材,2.3,定理,5,；,（,8,）錯誤，只有非零的無窮小量的倒數(shù)才是無窮大量。零是無窮小量，但其倒數(shù)無意,義。,3.,指出下列函數(shù)哪些是該極限過程中的無窮小量，哪些是該極限過程中的無窮大量,.,5,天天,learn,（）為您提供大學各個學科的課后答案、視頻教程在線瀏覽及下載。,5,x,4,（,4,）,lim,(,解：（,1,）,因為,lim(,x,4),0,，即,x,2,時，,x,4,是無窮小量，所以,x,4,x,4,x,是無窮小量，,1,2,是有界變量，,1,(1),f,(,x,)=,2,3,x,2;,(2),f,(,x,)=ln,x,，,x,0,+,，,x,1,x,+,；,1,(3),f,(,x,)=,e,x,x,0,+,，,x,0,-,；,(4),f,(,x,)=,2,-arctan,x,x,+;,(5),f,(,x,)=,1,x,sin,x,x,;,(6),f,(,x,)=,1,x,2,1,x,2,1,，,x,.,x,2,2 2,2,1,是無窮,小量，因而,2,3,也是無窮大量。,x,1,x,x,0,x,0,x,0,（,2,）從,f,(,x,),ln,x,的圖像可以看出，,lim ln,x,lim ln,x,0,lim ln,x,，,當,x,1,時，,f,(,x,),ln,x,是無窮小量。,1 1 1,（,3,）從,f,(,x,),e,x,的圖可以看出，,lim,e,x,lim e,x,0,，,1,x,1,x,2,arctan,x,),0,，,2,（,5,）,當,x,時，,1,x,是無窮小量，,sin,x,是有界函數(shù)，,1,x,sin,x,是無窮小,量。,（,6,）,當,x,時，,1,2,1,x,1 1,x,2,x,2,是無窮小量。,此文檔由天天,learn,（）為您收集整理。,習題,2-4,1.,若,lim,f,(,x,),存在，,lim,g,(,x,),不存在，問,lim,f,(,x,),g,(,x,),lim,f,(,x,),g,(,x,),是否存在，,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,為什么,?,解：若,lim,f,(,x,),存在，,lim,g,(,x,),不存在，則,x,x,0,x,x,0,6,天天,learn,（）為您提供大學各個學科的課后答案、視頻教程在線瀏覽及下載。,6,lim sin,x,0,，,lim,不存在，但,lim,f,(,x,),g,(,x,),=,lim sin,x,0,存在。,x,0,x,x,0,x,，則,lim sin,x,1,，,lim,cos,x,x,x,a,1,a,2,a,m,=,A,A,n,n,a,1,a,2,a,m,n,m A,n,，即,1,x,，則,x,0,x,x,0,（,2,）,lim,f,(,x,),g,(,x,),可能存在，也可能不存在，如：,f,(,x,),sin,x,，,g,(,x,),x,x,0,1 1,1,cos,x,又 如：,f,(,x,),sin,x,，,g,(,x,),2,2,1,不存在，而,lim,f,(,x,),g,(,x,),lim,tan,x,不存在。,2,2.,若,lim,f,(,x,),和,lim,g,(,x,),均存在，且,f,(,x,),g,(,x,),，證明,lim,f,(,x,),lim,g,(,x,).,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,0,x,x,0,1,時，有,A,f,(,x,),，當,0,x,x,0,2,時，有,g,(,x,),B,令,min,1,2,，則當,0,x,x,0,時，有,A,f,(,x,),g,(,x,),B,從而,A,B,2,，由,的任意性推出,A,B,即,lim,f,(,x,),lim,g,(,x,),.,x,x,0,x,x,0,3.,利